第一部份：运动学公式之马矢奏春创作第一章1、平均速度界说式：t x ∆∆=/υ① 当式中t ∆取无限小时,υ就相当于瞬时速度.② 如果是求平均速率,应该是路程除以时间.请注意平均速率是标量；平均速度是矢量.2、两种平均速率表达式（以下两个表达式在计算题中不成直接应用）③ 如果物体在前一半时间内的平均速率为1υ,后一半时间内的平均速率为2υ,则整个过程中的平均速率为221υυυ+=④ 如果物体在前一半路程内的平均速率为1υ,后一半路程内的平均速率为2υ,则整个过程中的平均速率为21212υυυυυ+= 3、加速度的界说式：t a ∆∆=/υ⑤ 在物理学中,变动量一般是用变动后的物理量减去变动前的物理量.⑥ 应用该式时尤其要注意初速度与末速度方向的关系.⑦ a 与υ同向,标明物体做加速运动；a 与υ反向,标明物体做减速运动.⑧ a 与υ没有肯定的年夜小关系.第二章1、匀变速直线运动的三个基本关系式⑨ 速度与时间的关系at +=0υυ⑩ 位移与时间的关系2021at t x +=υ (涉及时间优先选择,必需注意对匀减速问题中给出的时间纷歧定就是公式中的时间,首先运用at +=0υυ,判断出物体真正的运动时间)⑪ 位移与速度的关系ax t 2202=-υυ （不涉及时间,而涉及速度）一般规定0v 为正,a 与v0同向,a ＞0(取正)；a 与v0反向,a ＜0（取负)同时注意位移的矢量性,抓住初、末位置,由初指向末,涉及到x 的正负问题.注意运用逆向思维： 当物体做匀减速直线运动至停止,可等效认为反方向初速为零的匀加速直线运动.（1）深刻理解：（2）公式 （会“串”起来）根据平均速度界说V =t x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯++=++=+=+200000202122)(2121t t v t a v v v at v v at v t at t v ∴Vt/2 =V =V V t 02+=tx 推导： 第一个T 内 2021aT T v x +=I 第二个T 内 2121aT T v x +=∏ 又aT v v +=01 ∴x =xⅡ-xⅠ=aT2故有,下列经常使用推论：a,平均速度公式：()v v v +=021b,一段时间中间时刻的瞬时速度即是这段时间内的平均速度：()v v v v t +==0221c,一段位移的中间位置的瞬时速度：22202v v v x +=d,任意两个连续相等的时间间隔（T ）内位移之差为常数（逐差相等）：()2aT n m x x x n m -=-=∆关系：不论是匀加速还是匀减速,都有：220220t t v v v v +>+中间位移的速度年夜于中间时刻的速度 .以上公式或推论,适用于一切匀变速直线运动,记住一定要规定正方向！选定参照物！注意：上述公式都只适用于匀变速直线运动,即：加速度年夜小、方向不变的运动.注意,在求解加速度时,若计数点间间距不满足“任意两个连续相等的时间间隔（T）内位移之差为常数”,一般用逐差法求加速度比力精确.2、2x=∆和逐差法求加速度应用分析aT（1）、由于匀变速直线运动的特点是：物体做匀变速直线运动时,若加速度为a,在各个连续相等的时间T内发生的位移依次为X1、X2、X3、……Xn,则有X2-X1=X3-X2=X4-X3=……=Xn-Xn-1=aT2 即任意两个连续相等的时间内的位移差相符,可以依据这个特点,判断原物体是否做匀变速直线运动或已知物体做匀变速直线运动,求它的加速度.例4：某同学在研究小车的运动的实验中,获得一条点迹清楚的纸带,已知打点计时器每隔0.02s打一个计时点,该同学选A、B、C、D、E、F六个计数点,对计数点进行丈量的结果记录在下图中,单元是cm.试计算小车的加速度为多年夜？解：由图知：x1=AB=, x2=BC=, x3=CD=, x4=DE=, x5=EF= 则： x2-x1= x3-x2= x4-x3= x5-x4= 小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差相等,小车的运动是匀加速直线运动.即:cm x 32.0=∆ 又2aT x =∆2222/0.2)02.02(1032.0s m T x a =⨯⨯=∆=- 说明：该题提供的数据可以说是理想化了,实际中很难呈现x2-x1= x3-x2= x4-x3= x5-x4,因为实验总是有误差的.例5：如下图所示,是某同学丈量匀变速直线运动的加速度时,从若干纸带中选出的一条纸带的一部份,他每隔4个点取一个计数点,图上注明了他对各计算点间距离的丈量结果.试验证小车的运动是否是匀变速运动？ 解：x2-x1=1.60 x3-x2=1.55 x4-x3=1.62 x5-x4=1.53 x6-x5=1.63故可以得出结论：小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差不相等,可是在实验误差允许的范围内相等,小车的运动可认为是匀加速直线运动.上面的例2只是要求我们判断小车在实验误差内做什么运动.若进一步要我们求出该小车运动的加速度,应怎样处置呢？此时,应用逐差法处置数据.由于题中条件是已知x1、x2、x3、x4、x5、x6共六个数据,应分为3组.21413T x x a -= , 22523T x x a -= , 23633Tx x a -= 即)333(31)(31236225214321Tx x T x x T x x a a a a -+-+-=++=212365433)()(Tx x x x x x a ⨯++-++= 即全部数据都用上,这样相当于把2n 个间隔分成n 个为第一组,后n 个为第二组,这样起到了减小误差的目的.而如若不用逐差法而是用：25652454234322322121,,,,T x x a T x x a T x x a T x x a T x x a -=-=-=-=-=再求加速度有：21621654321551)(51Tx x T x x a a a a a a -=-=++++= 相当于只用了S6与S1两个数据,这样起不到用多组数据减小误差的目的.很显然,若题目给出的条件是偶数段.都要分组进行求解,分别对应：（即：年夜段之和减去小段之和）(2)、若在练习中呈现奇数段,如3段、5段、7段等.这时我们发现不能恰好分成两组.考虑到实验时中间段的数值较接近真实值（不分析中间段）,应分别采纳下面求法：(3)、另外,还有两种特殊情况,说明如下：①如果题目中数据理想情况,发现S2-S1=S3-S2=S4-S3=……此时不需再用逐差法,直接使用即可求出.②若题设条件只有像此时又如此时2、一组比例式初速为零的匀加速直线运动规律(典例：自由落体运动)（1）在1T末、2T末、3T末……ns末的速度比为1：2：3……n；（2）在1T内、2T内、3T内......nT内的位移之比为12：22：32 (2)（3）在第1T 内、第 2T内、第3T内……第nT内的位移之比为1：3：5……(2n-1); (各个相同时间间隔均为T)（4）从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为： 1：()-：3221--1)-)…… (n n（5）从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比：（6）通过连续相等位移末速度比为1：2：3……n 3、自由落体运动的三个基本关系式（1）速度与时间的关系gt =υ（2）位移与时间的关系221gt h =（3）位移与速度的关系gh 22=υ4、竖直上抛运动：(速度和时间的对称)分过程：上升过程匀减速直线运动,下落过程初速为0的匀加速直线运动.全过程：是初速度为V0加速度为g 的匀减速直线运动.适用全过程x= Vo t －12g t2 ; Vt = Vo －g t ;Vt2－Vo2 = －2gx (x 、Vt 的正、负号的理解)上升最年夜高度:H = V g o22 上升的时间:t= Vg o对称性：①上升、下落经过同一位置时的加速度相同,而速度等值反向②上升、下落经过同一段位移的时间相等 g v t t 0==下上. 从抛出到落回原位置的时间: t = 下上t t + = 2gV o 注意：自由落体运动就是初速为零的匀加速直线运动规律,故有下列比例式均成立：（1）在1T末、2T末、3T末……ns末的速度比为1：2：3……n；（2）在1T内、2T内、3T内......nT内的位移之比为12：22：32 (2)（3）在第1T 内、第 2T内、第3T内……第nT内的位移之比为1：3：5……(2n-1); (各个相同时间间隔均为T)（4）从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为： 1：()-：3221--1)-)…… (n n（5）从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比：（6）通过连续相等位移末速度比为1：2：3……n 5、一题多解分析：学完运动学一章后,问题是公式多,解题时无法选用合适公式.并用多种解法求解,达到巩固公式、灵活运用公式的目的.【例题】屋檐按时滴出雨滴,当第5滴正欲淌下时,第1滴刚好达到空中,而第3滴与第2滴正分别位于高为1m的窗户的上下沿.取g=10m/s2,问（1）此屋檐离空中的高度.（2）滴水的时间间隔是几多？首先,要画出题设情景的示意图,如图所示,然后在图中标注有关物理量,从中找出几何关系.要引入一个参数,即设两滴雨滴之间的时间间隔为T,然后列方程求解.解法一：惯例方法,学会做减法第2滴与第3滴雨滴之间的距离即是这两个雨滴的位移之差.即s32=s2－s3.雨滴2下落的时间为3T,运动的位移为221(3)2s g T =⋅ （1） 雨滴3下落的时间为2T,运动的位移为231(2)2s g T =⋅ （2） 由几何关系,有 s32=s2－s3 （3）由（1）（2）（3）解得 0.2s T === （4）此屋檐离空中的高度为22111(4)100.8m=3.2m 22s g T =⋅=⨯⨯ （5） 对本题也可以这么看：把图中同一时刻5个雨滴的位置,看成一个雨滴在5个分歧时刻的位置.即某一雨滴在t=0时在位置5,达到位置4、3、2、1的时间分别为T 、2T 、3T 、4T,因此本题又有以下解法.解法二：用初速为零的匀变速直线运动的规律求解——比例法初速为零的匀变速直线运动的物体,在连续相等时间内的位移比为1：3：5：…因此有 s54：s43：s32：s21=1：3：5：7所以 323215443322155135716s s s s s s s ===++++++ 得 13216161m=3.2m 55s s ==⨯ 由 211(4)2s g T =⋅,得T == 解法三：用位移公式求解雨滴经过位置3时,速度为 v3=g·(2T)=2gT（1）由位移公式,有 232312s v T gT =+（2）由（1）（2）得 0.2s T === （3）此屋檐离空中的高度为 22111(4)100.8m=3.2m 22s g T =⋅=⨯⨯ （4） 解法四：用速度位移公式求解雨滴经过位置3时,速度为 v3=g·(2T)=2gT （1）雨滴经过位置2时,速度为 v2=g·(3T)=3gT （2）由速度位移公式,有 2223322v v gs -= （3）由（1）（2）（3）得 0.2s T === （4）此屋檐离空中的高度为 22111(4)100.8m=3.2m 22s g T =⋅=⨯⨯ （5） 解法五：用平均速度即是速度的平均值求解雨滴经过位置3时,速度为 v3=g·(2T)=2gT （1）雨滴经过位置2时,速度为 v2=g·(3T)=3gT （2）则雨滴经过位置3、2时间内的平均速度为32322v v v += （3）又 3232s v T =⋅（4）由（1）（2）（3）（4）得 0.2s T === （5）此屋檐离空中的高度为 22111(4)100.8m=3.2m 22s g T =⋅=⨯⨯ （6） 解法六：用平均速度即是中间时刻速度求解（先求时间间隔）此时雨滴的速度为 vt=gt=2.5gT（1）由于中间时刻的速度即是这段时间内的平均速度,所以雨滴在位置3、2间运动的平均速度为32t v v = （2）又 3232s v T =⋅（3）由（1）（2）（3）得 0.2s T === （4）此屋檐离空中的高度为 22111(4)100.8m=3.2m 22s g T =⋅=⨯⨯ （5） 解法七：用平均速度即是中间时刻速度求解（先求高度）雨滴在位置3、2间运动的平均速度即是该段过程中间时刻的速度,即32(2.5) 2.5v g T gT =⋅=（1）雨滴在整个运动中的平均速度即是全过程中间时刻的速度,即51(2)2v g T gT =⋅=（2）有32321514s v T s v T ⋅=⋅ （3）由（1）（2）（3）得 13216161m=3.2m 55s s ==⨯ （4）由 211(4)2s g T =⋅,得T == （5） 解法八：用图象法求解 画出某一雨滴运动的v-t 图象如图.在v-t面积即是位移.由图可知 23223) 2.512gT gT T s s gT +⨯====阴（（1） 屋檐离空中高度为 214482T gT s s gT ∆⨯=== （2） 由（1）（2）解得 T=0.2s s1=（3）从以上解题过程可以看出,用运动学公式解题,方法具有多样性.要注意以下几点：一、首先要画出运动的示意图,并注意几何关系；二、公式要熟练,才华灵活运用；三、可以适当引入一个参数,便于求解.第二部份：专题 追击问题分析追及、相遇问题的特点：讨论追及、相遇的问题,其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否达到相同的空间位置问题.一定要抓住两个关系：即时间关系和位移关系.一个条件：即两者速度相等,它往往是物体t/s -10 T 2T 3T 4T 234间能否追上、追不上或（两者）距离最年夜、最小的临界条件,也是分析判断的切入点.提示：在分析时,最好结合t v -图像来分析运动过程.一、掌控实质：1、相遇和追击问题的实质研究的两物体能否在相同的时刻达到相同的空间位置的问题.2、 解相遇和追击问题的关键画出物体运动的情景图,理清三年夜关系（1）时间关系 ：t t t B A ∆±=（t ∆为先后运动的时间差）（2）位移关系：x x x B A ∆±=（其中x ∆为运动开始计时的位移之差）（3）速度关系：两者速度相等.它往往是物体间能否追上或（两者）距离最年夜、最小的临界条件,也是分析判断的切入点.二、特征分析：3. 相遇和追击问题剖析：（一）追及问题1、追及问题中两者速度年夜小与两者距离变动的关系.甲物体追赶前方的乙物体,若甲的速度年夜于乙的速度,则两者之间的距离.若甲的速度小于乙的速度,则两者之间的距离.若开始甲的速度小于乙的速渡过一段时间后两者速度相等,则两者之间的距离（填最年夜或最小）.2、分析追及问题的注意点：⑴ 要抓住一个条件,两个关系：①一个条件是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最年夜、最小,恰好追上或恰好追不上等.②两个关系是时间关系和位移关系,通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口.⑵若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动.⑶仔细审题,充沛挖掘题目中的隐含条件,同时注意v t 图象的应用.三、追击、相遇问题的分析方法:A. 画出两个物体运动示意图,根据两个物体的运动性质,选择同一参照物,列出两个物体的位移方程;B. 找出两个物体在运动时间上的关系C. 找出两个物体在运动位移上的数量关系D. 联立方程求解.说明: 追击问题中经常使用的临界条件:⑴速度小者追速度年夜者,追上前两个物体速度相等时,有最年夜距离;⑵速度年夜者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度相等时,有最小距离.即必需在此之前追上,否则就不能追上.四、追击类型：（分析6种模型）（1）．匀加速运动追匀速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时,两者距离变年夜；v1= v2时,两者距离最年夜；v1>v2时,两者距离变小,相遇时满足x1= x2+Δx,全程只相遇(即追上)一次.课堂练习1：一小汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶,恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过．求：(1)小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是几多？ (2)小汽车什么时候追上自行车,此时小汽车的速度是几多？（2）．匀速运动追匀加速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时,两者距离变小；v1= v2时,①若满足x1< x2+Δx,则永远追不上,此时两者距离最近；②若满足x1=x2+Δx,则恰能追上,全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx,则后者撞上前者（或超越前者）,此条件下理论上全程要相遇两次.课堂练习2：一个步行者以6m/s的最年夜速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车,当他距离公共汽车25m 时,绿灯亮了,汽车以1m/s2的加速度匀加速启动前进,问：人能否追上汽车？若能追上,则追车过程中人共跑了几多距离？若不能追上,人和车最近距离为几多？（3）．匀减速运动追匀速运动的情况（开始时v1> v2）：v1> v2时,两者距离变小；v1= v2时,①若满足x1<x2+Δx,则永远追不上,此时两者距离最近；②若满足x1= x2+Δx,则恰能追上,全程只相遇一次；③若满足x1> x2+Δx,则后者撞上前者（或超越前者）,此条件下理论上全程要相遇两次.课堂练习3：在一条平直的公路上,乙车以10m/s的速度匀速行驶,甲车在乙车的后面作初速度为15m/s,加速度年夜小为/s2的匀减速运动,则两车初始距离L满足什么条件时可以使（1）两车不相遇；（2）两车只相遇一次；（3）两车能相遇两次（设两车相遇时互不影响各自的运动）.课堂练习4：汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进,突然发现正前方有一辆自行车以4m/s 的速度做同方向的匀速直线运动,汽车立即关闭油门做加速度年夜小为 6 m/s2的匀减速运动,汽车恰好不碰上自行车.求关闭油门时汽车离自行车多远？（4）．匀速运动追匀减速运动的情况（开始时v1< v2）：v1< v2时,两者距离变年夜；v1= v2时,两者距离最远；v1>v2时,两者距离变小,相遇时满足x1= x2+Δx,全程只相遇一次.课堂练习5：当汽车B在汽车A前方7m时,A正以vA=4m/s的速度向前做匀速直线运动,而汽车B此时速度vB=10m/s,并关闭油门向前做匀减速直线运动,加速度年夜小为a=2m/s2.此时开始计时,则A追上B需要的时间是几多？（5）．匀减速运动的物体追同向匀减速运动的物体追赶者纷歧定能追上被追者,但在两物体始终不相遇,当后者初速度年夜于前者初速度时,它们间有相距最小距离的时候,两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻.课堂练习6：甲、乙两物体相距s,在同一直线上同方向做匀减速运动,速度减为零后就坚持静止不动.甲物体在前,初速度为v1,加速度年夜小为a1.乙物体在后,初速度为v2,加速度年夜小为a2且知v1<v2,但两物体一直没有相遇,求甲、乙两物体在运动过程中相距的最小距离为几多？（提示：若不考虑速度年夜小的关系,可做三种tv-图像分析）（6）．初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的匀速运动的物体乙,只要时间足够长,追赶着一定能追上被追赶者发生碰撞.追上前有最年夜距离的条件：两物体速度相等,即v v.若位移相等即追上（同一地址=乙甲动身）.课堂练习7：一辆值勤的警车停在公路旁,当警员发现从他旁边以v＝8m/s的速度匀速行驶的货车有违章行为时,决定前去拦截,经 2.5s,警车发动起来,以a＝2m/s2加速度匀加速开出,警车以加速度a维持匀加速运动能达到的最年夜速度为126km/h,试问：（1）警车要多长时间才华追上违章的货车？（2）在警车追上货车之前,两车间的最年夜距离是几多？(二)、相遇问题：⑴ 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题,分析同上.在此不作分析.⑵ 相向运动的物体,当各自发生的位移绝对值的和即是开始时两物体间的距离时即相遇.五、具体方法分析：经常使用4种方法：基本公式法、图像法、相对运动法、数学方法.（1）基本公式法——根据运动学公式,把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解.（2）图像法——正确画出物体运动的v--t 图像,根据图像的斜率、截距、面积的物理意义结合三年夜关系求解. 在利用v t -求解时,两图线与t 轴围成的面积之差暗示相对位移,即：B A x x x -=∆.（3）相对运动法——巧妙选择参考系,简化运动过程、临界状态,根据运动学公式列式求解.（4）数学方法——根据运动学公式列出数学关系式（要有实际物理意义）利用二次函数的求根公式中Δ判别式求解,是否相遇,根据判别式确定：0>∆有解；0<∆无解.提示：在处置实际问题时,可假设两物体相遇,列方程,然后作判断.典范例题分析：A 火车以v1=20m/s 速度匀速行驶,司机发现前方同轨道上相距100m 处有另一列火车B 正以v2=10m/s 速度匀速行驶,A 车立即做加速度年夜小为a 的匀减速直线运动.要使两车不相撞,a 应满足什么条件？解1：（公式法）两车恰好不相撞的条件是两车速度相同时相遇.由A 、B 速度关系： 21v at v =-由A 、B 位移关系： 022121x t v at t v +=-解2：（图像法） 在同一个v-t 图中画出A 车和B 车的速度时间图像图线,根据图像面积的物理意义,两车位移之差即是图中梯形的面积与矩形面积的差,当t=t0时梯形与矩形的面积之差最年夜,为图中阴影部份三角形的面积.根据题意,阴影部份三角形的面积不能超越100 .5.0201020tan =-==αa 解3：（相对运动法）以B 车为参照物, A 车的初速度为v0=10m/s,以加速度年夜小a 减速,行驶x=100m 后“停下”,末速度为vt=0.02022ax v v t =-备注：以B 为参照物,公式中的各个量都应是相对B 的物理量.注意物理量的正负号.解4：（二次函数极值法）若两车不相撞,其位移关系应为代入数据得：010010212>+-t at（包括了时间关系）物体的v-t 图像的斜率暗示加速度,面积暗示位移.（由于不涉及时间,所以选用速度位移公式. ）其图像(抛物线)的极点纵坐标必为正值,故有例:一辆汽车在十字路口等待绿灯,当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶,恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来,从后边超越汽车.试求：汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是几多？(用上述4种求解)。
