人教A版高中数学选修4-1 第二讲 一 圆周角定理 课件(共30张PPT)

[再练一题] 3.如图 2-1-6，AB 是圆 O 的直径，D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点，连 接 BD 并延长至点 C，使 BD＝DC，连接 AC，AE，DE. 求证：∠E＝∠C.
图 2-1-6
【证明】 如图，连接 OD，因为 BD＝DC，O 为 AB 的中点，
所以 OD∥AC，于是∠ODB＝∠C. 因为 OB＝OD，所以∠ODB＝∠B. 于是∠B＝∠C. 因为点 A，E，B，D 都在圆 O 上，且 D，E 为圆 O 上位于 AB 异侧的两点， 所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角， 故∠E＝∠B，所以∠E＝∠C.
在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所 对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度，又可 以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.
[再练一题]
2.如图 2-1-4，已知等腰三角形 ABC 中，以腰 AC 为直径
作半圆交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，若∠BAC＝50°，则 的
如图 2-1-1，在⊙O 中，∠BAC＝60°，则∠BDC＝( )
A．30° C．60°
图 2-1-1 B．45° D．75°
【解析】 在⊙O 中，∠BAC 与∠BDC 都是
＝∠BAC＝60°. 【答案】 C
所对的圆周角，故∠BDC
教材整理 2 圆心角定理 阅读教材 P25～P26，完成下列问题． 圆心角的_度__数___等于它所对弧的_度__数___．
(1)求证：DB 平分∠ADC； (2)若 BE＝3，ED＝6，求 AB 的长． 【解】 (1)证明：∵AB＝BC， ∴＝， ∴∠BDC＝∠ADB， ∴DB 平分∠ADC.
图 2-1-11
(2)由(1)可知 ＝ ， ∴∠BAC＝∠ADB. ∵∠ABE＝∠ABD. ∴△ABE∽△DBA，∴BAEB＝BADB. ∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9， ∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27， ∴AB＝3 3.

3 解析：因为 AB 与 CE 相交于 F 点，且 AF＝3，EF＝ ，FB 2 AF· FB 3×1 ＝1， 所以 CF＝ EF ＝ ＝2， 因为 EC∥BD， 所以△ACF 3 2 AF CF AC AD－CD 3 ∽△ABD，所以 AB ＝ BD ＝ AD ＝ AD ＝ ，所以 BD＝ 4 CF· AB 2×4 8 AF ＝ 3 ＝3，且 AD＝4CD，又因为 BD 是圆的切线，所 4 2 2 以 BD ＝CD· AD＝4CD ，所以 CD＝ . 3
由切割线定理得：BC2＝BD· AB， 16 16 9 ∴BD＝ ，AD＝5－ ＝ . 5 5 5 BD 16 ∴DA＝ . 9
[答案] 16 9
[例5]
△ABC中，AB＝AC，以AB为
直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是
⊙O的切线交AC于M(如图)．
求证：DC2＝AC· CM.
[证明] 连接AD、OD. ∵AB是直径，∴AD⊥BC. ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ODA.
两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；
③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．
1．(2012· 天津高考)如图，已知AB和AC 是圆的两条弦，过点B作圆的切线与 AC的延长线相交于点D.过点C作BD的 平行线与圆相交于点E，与AB相交于 3 点F，AF＝3，FB＝1，EF＝ ， 2 则线段CD的长为________．
圆内接四边形是中学教学的主要研究问题之一， 近几年各地的高考选做题中常涉及圆内接四边形的判 定和性质． [例1] 已知四边形ABCD为平行四边形，过点A和
点B的圆与AD、BC分别交于E、F.
求证：C、D、E、F四点共圆．
[证明] 连接EF，
因为四边形ABCD为平行四边形， 所以∠B＋∠C＝180°. 因为四边形ABFE内接于圆， 所以∠B＋∠AEF＝180°.

直线与圆的位置关系 一 圆周角定理
复习：圆心角和圆周角定义及关系
• 探究：在⊙o中作一个顶点为A的圆周角∠BAC,连 接OB、OC,得圆心角∠BOC。度量∠BAC和∠BOC 的度数，它们之间有什么关系？改变圆周角的大小， 这种关系会改变吗
可以发现，无论圆周角的大小怎样改变，都有 A 1
∠BAC= 2 ∠BOC
于点D，求证：D是AB的中点。 B
D
A
•
•
C
O
例4 BC为⊙ O的直径，AD⊥BC, 垂足为D，A⌒B=A⌒F，BF和AD相交于
E，求证：AE=BE
A F
E
•
C
B
D
O
• 作业 • 第26页1、2、3
例1 如图，AD是△ABC的高，AE 是△ABC的外接圆直径。
A
求证：AB•AC =AE •AD
B E
•O
DHale Waihona Puke C例2 如图，AB与CD相交于圆内一 点P。求证：A⌒D的度数与B⌒C的度数
和的一半等于∠APD的度数。
D
B
P C
A
E
例3 如图，OA是⊙ O的半径，以 OA为直径的⊙ C与⊙ O的弦AB相交
O
B
C
圆周角定理：
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对
圆心角的一半。
已知：在⊙o中BC弧所对的圆周角和圆心角分别是
∠BAC、 ∠BOC
求证： ∠BAC= 1 ∠ BOC
A
2
•
O
B
C
D
我们知道，一个周角是360°。把周 角等分360份，每一份叫做1°的弧 由此，n°的圆心角所对的弧是n° 的弧；反之，n°的弧所对的圆心角

所以∠AEB＝12×240°＝120°. 所以此弦所对的圆周角为 60°或 120°. 反思感悟 弦所对的圆周角有两个，易丢掉120°导致错误，另 外求圆周角时易应用到解三角形的知识．
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【变式 1】 如图，点 A、B、C、D 都在⊙O 上，若∠C＝34°，求 ∠AOB 和∠ACB 的度数． 解 ∵∠C 和∠AOB 分别是 AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB＝2∠C＝68°. ∵周角是 360°，∴ACB 的度数为 292°. ∴∠ADB＝12×292°＝146°.
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自学导引 1．圆周角定理
(1)圆心角及圆周角的概念：顶点在圆上，并且两边和圆相交 的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角． (2)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
．
圆心角的一半
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2．圆心角定理 (1)定理：圆心角的度数等于 它所对弧的度数 ． (2)圆心角的表示：圆心角∠AOB与其所对 的AB所对的度数是相等的，如图所示， 可以记为：∠AOB的度数＝AB的度数， 不能写成∠AOB＝AB.
第二讲 直线与圆的位置关系
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• 讨论直线与圆的位置关系，涉及圆周角、圆的内接四边形、 圆的切线、弦切角，与圆有关的线段间的度量关系等内容．其 中有的概念同学们在初中阶段已经学习过、本讲力求使这些知 识融为一体，对相关定理进行严格论证，并注重知识的应用．
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