江苏省南京市2016届高三第三次模拟考试数学试卷含答案 全部Word版,质量超高

一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合M ＝{0，2，4}，N ＝{x |x ＝2a，a ∈M }，则集合M ∩N ＝ ▲ ． 【答案】{0,2}.考点：集合运算2.已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 ▲ ．【答案】 【解析】试题分析：由题意得(1 考点：复数的模3.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ． 【答案】2.3【解析】试题分析：由题意得：232.1243m m m --=≠⇒=- 考点：两直线位置关系4.某学校有A ，B 错误！未找到引用源。

两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ． 【答案】3.4【解析】试题分析：甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐共有8种基本事件，其中三人在同一个食堂用餐包含两种基本事件，因此所求概率为231.84-= 考点：古典概型概率5.如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．（第5题）【答案】20.考点：循环结构流程图6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出▲ 人.【答案】25 【解析】试题分析：由题意得：0.000550010025⨯⨯= 考点：频率分布直方图7.已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号)①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ② 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β ③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④ 若l ⊥α，l //β，则 α⊥β 【答案】④ 【解析】试题分析：①若l ∥α，l ∥β，则l 可平行两平面的交线，所以为假命题；②若α⊥β，l ∥α，则l 可平行两平面的交线，所以为假命题；③若l ∥α，α∥β，则l 可在平面β内，所以为假命题；④若l ⊥α，l //β，则l 必平行平面β内一直线m ，所以m ⊥α，因而α⊥β为真命题 考点：线面关系判定8.如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．【答案】80.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距（第6题）（第8题）考点：抛物线方程9.已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0错误！未找到引用源。

南京市2016届高三年级第三次模拟考试数 学 2016.05注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题．．纸．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑n x i ．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________． 2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一个红球的概率是▲________．5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④l ⊥β⇒m∥α．其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)． 7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8a 6＝ ▲ ．8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．（第5题图）9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是▲________．10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________．13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为▲________．14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y5x 2－2xy ＋2y 2的最大值为▲________．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1tan C 的值．（第11题图）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BDDC的值．17． (本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．（第16题图）ABCDA 1B 1C1（第17题图）如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从A 地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．19．(本小题满分16分)设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)． （1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n．（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求ad的值；②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2r ＋2，求q的值．（第18题图）CB AD南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题 2016.05注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知半圆O 的半径为2，P 是直径BC 延长线上的一点，P A 与半圆O 相切于点A ， H 是OC 的中点，AH ⊥BC ．（1）求证：AC 是∠P AH 的平分线； （2）求PC 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 所对应的变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程设极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．已知椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ（θ为参数），点M 的极坐标为(1，π2)．若P 是椭圆C 上任意一点，试求PM 的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．D ．选修4—5：不等式选讲求函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从0，1，2，3，4这五个数中任选三个不同的数组成一个三位数，记X为所组成的三位数各位数字之和．（1）求X是奇数的概率；（2）求X的概率分布列及数学期望．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，P n(x n0，y n0)，n∈N*．记直线AP n的斜率为k n．（1）若k1＝2，求P1的坐标；（2）若k1为偶数，求证：k n为偶数．南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．5 2．3－i 3．0.02 4．35 5．8 6．①④7．4 8． 5 9．4 10．[－1，3] 11．32 12．313．(－1－1e 2，2) 14．24二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）因为m ·n ＝3b cos B ，所以a cos C ＋c cos A ＝3b cos B ．由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin B cos B ，···························································3分 所以sin(A ＋C )＝3sin B cos B ，所以sin B ＝3sin B cos B ．因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B ＝13．····················································7分（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sin A ·sin C ． ·········································································9分 因为cos B ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sin B ＝223．······················································11分又1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝cos A ·sin C ＋sin A ·cos C sin A ·sin C＝sin(A ＋C )sin A ·sin C ＝sin B sin A ·sin C ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝324．·································································14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AB ＝AC ，点D 为BC 中点，所以AD ⊥BC ． ·················································2分因为ABC －A 1B 1C 1 是直三棱柱，所以BB 1⊥平面ABC ． 因为AD ⊂平面ABC ，所以BB 1⊥AD ． ···················································4分 因为BC ∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1， 所以AD ⊥平面BCC 1B 1．因为AD ⊂平面ADC 1，所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1． ·············································6分(2)连结A 1C ，交AC 1于O ，连结OD ，所以O 为AC 1中点． ·············································8分 因为A 1B ∥平面ADC 1，A 1B ⊂平面A 1BC ，平面ADC 1∩平面A 1BC ＝OD ，所以A 1B ∥OD ． ··················································12分 因为O 为AC 1中点，所以D 为BC 中点，所以BDDC ＝1． ··································································14分17．(本小题满分14分)解：（1）由题意，得c a ＝22，4a 2＋1b2＝1，解得a 2＝6，b 2＝3．所以椭圆的方程为x 26＋y 23＝1． ··································································2分（2）①解法一 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．······························4分由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －3)，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧x ＝43＋325，y ＝－6＋65，或⎩⎨⎧x ＝43－325，y ＝－6－65．所以点P ，Q 的坐标分别为(43＋325，－6＋65)，(43－325，－6－65)，所以PQ ＝665． ·································6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，△O PQ 的面积也为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法二 椭圆C 的右焦点F (3，0)． 设切线方程为y ＝k (x －3)，即kx －y －3k ＝0，所以|－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝±2，所以切线方程为y ＝±2(x －3)．·······························4分把切线方程 y ＝2(x －3)代入椭圆C 的方程，消去y 得5x 2－83x ＋6＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝835．由椭圆定义可得，PQ ＝PF ＋FQ ＝2a －e( x 1＋x 2)＝2×6－22×835＝665．·····················6分因为O 到直线PQ 的距离为2，所以△O PQ 的面积为635．因为椭圆的对称性，当切线方程为y ＝－2(x －3)时，所以△O PQ 的面积为635．综上所述，△O PQ 的面积为635． ·································8分 ②解法一：(i)若直线PQ 的斜率不存在，则直线PQ 的方程为x ＝2或x ＝－2． 当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ·································10分(ii) 若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． 因为直线与圆相切，所以|m |1＋k2＝2，即m 2＝2k 2＋2． 将直线PQ 方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2) x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0.设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2．·································12分因为OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)×2m 2－61＋2k 2＋km ×(－4km 1＋2k2)＋m 2．将m 2＝2k 2＋2代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分解法二：设切点T (x 0，y 0)，则其切线方程为x 0x ＋y 0y －2＝0，且x 20＋y 20＝2．(i)当y 0＝0时，则直线PQ 的直线方程为x ＝2或x ＝－2．当x ＝2时，P (2，2)，Q (2，－2)．因为OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．当x ＝－2时，同理可得OP ⊥OQ ． ··································10分(ii) 当y 0≠0时，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 0x ＋y 0y －2＝0，x 26＋y 23＝1，消去y 得(2x 20＋y 20)x 2－8x 0x ＋8－6y 20＝0．设P (x 1，y 1) ，Q (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8x 02x 20＋y 20，x 1x 2＝8－6y 202x 20＋y 20． ······························12分所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(2－x 0x 1)( 2－x 0x 2)y 02＝－8(x 02＋y 20)＋16y 02(2x 20＋y 20)． 因为x 20＋y 20＝2，代入上式可得OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ． ·····································14分 18．(本小题满分16分)解：(1)由题意，可得AD ＝12千米．由题可知|126－16v |≤14， ··············································2分解得649≤v ≤647． ··············································4分(2) 解法一：经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v ＜2，即v ＞8． ················································6分①当0＜vt ≤5，即0＜t ≤5v时，f (t )＝(6t )2＋(vt )2－2×6t ×vt ×cos ∠DAB ＝(v 2－485v ＋36) t 2．因为v 2－485v ＋36＞0，所以当t ＝5v时，f (t )取最大值，所以(v 2－485v ＋36)×(5v )2≤25，解得v ≥154． ·········································9分②当5＜vt ≤13，即5v ＜t ≤13v 时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋9＝(v －6) 2 (t －1v －6)2＋9． 因为v ＞8，所以1v －6＜5v，(v －6) 2＞0，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，所以(v －6) 2 (13v －1v －6)2＋9≤25，解得398≤v ≤394． ········································13分③当13≤vt ≤16， 13v ≤t ≤16v 时，f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2，因为12－6t ＞0，16－vt ＞0，所以当f (t )在(13v ，16v )递减，所以当t ＝13v 时，f (t )取最大值，(12－6×13v )2＋(16－v ×13v )2≤25，解得398≤v ≤394．因为v ＞8，所以 8＜v ≤394． ·············································16分解法二：设经过t 小时，甲、乙之间的距离的平方为f (t )．由于先乙到达D 地，故16v＜2，即v ＞8． ·················································6分以A 点为原点，AD 为x 轴建立直角坐标系， ①当0＜vt ≤5时，f (t )＝(45vt －6t )2＋(35vt )2．由于(45vt －6t )2＋(35vt )2≤25，所以(45v －6)2＋(35v )2≤25t 2对任意0＜t ≤5v都成立，所以(45v －6)2＋(35v )2≤v 2，解得v ≥154． ···············································9分②当5＜vt ＜13时，f (t )＝(vt －1－6t )2＋32．由于(vt －1－6t )2＋32≤25，所以－4≤vt －1－6t ≤4对任意5v ＜t ＜13v 都成立，即⎩⎨⎧v －6≤5t ，－3t≤v －6，对任意5v ≤t ≤13v 都成立，所以⎩⎨⎧v －6≤5v 13，－3v 13≤v －6，解得398≤v ≤394． ···············································13分 ③当13≤vt ≤16即13v ≤t ≤16v ，此时f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2．由①及②知：8＜v ≤394，于是0＜12－6t ≤12－78v ≤12－78394＝4，又因为0≤16－vt ≤3，所以f (t )＝(12－6t )2＋(16－vt )2≤42＋32＝25恒成立．综上①②③可知8＜v ≤394． ·············································16分19．(本小题满分16分)解：（1）当m ＝1时，f (x )＝－x 3＋x 2－1．f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)． 由f ′(x )＜0，解得x ＜0或x ＞23．所以函数f (x )的减区间是(－∞，0)和(23，＋∞)． ······································2分（2）依题意m ＞0．因为f (x )＝－x 3＋mx 2－m ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2mx ＝－x (3x －2m )． 由f ′(x )＝0，得x ＝2m3或x ＝0．当0＜x ＜2m 3时，f ′(x )＞0，所以f (x )在上为增函数；上为减函数； 所以，f (·················································4分．···············································6分·······8分y －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(x －x 1)，y －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(x －x 2)． ···········································10分 将(2，t )代入两条切线方程，得t －(－x 13＋mx 12－m )＝(－3x 12＋2mx 1)(2－x 1)，t －(－x 23＋mx 22－m )＝(－3x 22＋2mx 2)(2－x 2)． 因为函数f (x )图象上有且仅有两个不同的切点，所以方程t －(－x 3＋mx 2－m )＝(－3x 2＋2mx )(2－x )有且仅有不相等的两个实根．···········12分 整理得t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ．设h (x )＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m ，h ′(x )＝6x 2－2(6＋m )x ＋4m ＝2(3x －m )(x －2)． ①当m ＝6时，h ′(x )＝6(x －2)2≥0，所以h (x )单调递增，显然不成立． ②当m ≠6时， h ′(x )＝0，解得x ＝2或x ＝m 3．列表可判断单调性，可得当x ＝2或x ＝m3，h (x )取得极值分别为h (2)＝3m －8，或h (m 3)＝－127m 3＋23m 2－m ．要使得关于x 的方程t ＝2x 3－(6＋m )x 2＋4mx －m 有且仅有两个不相等的实根，则t ＝3m －8，或t ＝－127m 3＋23m 2－m ． ·······························14分因为t ≤0，所以3m －8≤0，（*），或－127m 3＋23m 2－m ≤0．（**）解（*），得m **·································16分20．(本小题满分16分)解：（1）①因为3b 1，2b 2，b 3成等差数列，所以4b 2＝3b 1＋b 3，即4×3a ＋3d 2＝3(2a ＋d )＋4a ＋6d 3，解得，a d ＝34． ····································4分② 由a n ＋1≤b n ＜a n ＋2，得a ＋nd ≤(n ＋1)a ＋(n ＋1)nd2n＜a ＋(n ＋1)d ，整理得⎩⎨⎧n 2－n －2ad≤0，n 2＋n －2a d＞0，········································6分解得－1＋1＋8a d 2＜n ≤1＋1＋8a d2， ········································8分由于1＋1＋8a d2－－1＋1＋8a d2＝1且－1＋1＋8ad2＞0．因此存在唯一的正整数n ，使得a n ＋1≤b n ＜a n ＋2． ·········································10分 （2）因为b tb r ＝a 1(1－q t ＋1)t (1－q )a 1(1－q r ＋1)r (1－q )＝t ＋2r ＋2，所以q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)．设f (n )＝q n ＋1－1n (n ＋2)，n ≥2，n ∈N *．则f (n ＋1)－f (n )＝q n ＋2－1(n ＋1)(n ＋3)－q n ＋1－1n (n ＋2)＝q n ＋1[(q －1)n 2＋2(q －2)n －3]＋2n ＋3n (n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)，因为q ＞2，n ≥2，所以(q －1)n 2＋2(q －2)n －3＞n 2－3≥1＞0，所以f (n ＋1)－f (n )＞0，即f (n ＋1)＞f (n )，即f (n )单调递增．··································12分 所以当r ≥2时，t ＞r ≥2，则f (t )＞f (r )，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q r ＋1－1r (r ＋2)，这与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q r ＋1－1r (r ＋2)互相矛盾．所以r ＝1，即q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13． ···································14分若t ≥3，则f (t )≥f (3)＝q 4－115 ＝q 2－13·q 2＋15＞q 2－13，即q t ＋1－1t (t ＋2)＞q 2－13，与q t ＋1－1t (t ＋2)＝q 2－13相矛盾．于是t ＝2，所以q 3－18＝q 2－13，即3q 2－5q －5＝0．又q ＞2，所以q ＝5＋856． ···········································16分南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准 2016.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：(1)连接AB ．因为P A 是半圆O 的切线，所以∠P AC ＝∠ABC ． 因为BC 是圆O 的直径，所以AB ⊥AC ．又因为AH ⊥BC ，所以∠CAH ＝∠ABC ，所以∠P AC ＝∠CAH ，所以AC 是∠P AH 的平分线． ···········································5分 (2)因为H 是OC 中点，半圆O 的半径为2，所以BH ＝3，CH ＝1． 又因为AH ⊥BC ，所以AH 2＝BH ·HC ＝3，所以AH ＝3．在Rt △AHC 中，AH ＝3，CH ＝1，所以∠CAH ＝30°．由(1)可得∠P AH ＝2∠CAH ＝60°，所以P A ＝23．由P A 是半圆O 的切线，所以P A 2＝PC ·PB ，所以PC ·(PC ＋BC )＝(23)2＝12，所以PC ＝2． ···········································10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设曲线C 上的任意一点P (x ，y )，P 在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 对应的变换下得到点Q (x ′，y ′)．则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2 1 0 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′， 即x ＋2y ＝x ′，x ＝y ′，所以x ＝y ′，y ＝x ′－y ′2． ················································5分代入x 2＋2xy ＋2y 2＝1，得y ′2＋2y ′·x ′－y ′2＋2(x ′－y ′2)2＝1，即x ′2＋y ′2＝2， 所以曲线C 1的方程为x 2＋y 2＝2． ···········································10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：M 的极坐标为(1，π2)，故直角坐标为M (0，1)，且P (2cos θ，sin θ)，所以PM ＝(2cos θ)2＋(sin θ－1)2＝－3sin 2θ－2sin θ＋5，sin θ∈[－1，1]． ·················5分当sin θ＝－13时，PM max ＝433，此时cos θ＝±223．所以，PM 的最大值是433，此时点P 的坐标是(±423，－13)．·······························10分D ．选修4—5：不等式选讲解：函数定义域为[0，4]，且f (x )≥0．由柯西不等式得[52＋(2)2][(x )2＋(4－x )2)]≥(5·x ＋2·4－x )2，······················5分 即27×4≥(5·x ＋2·4－x )2，所以5x ＋8－2x ≤63． 当且仅当2x ＝54－x ，即x ＝10027时，取等号．所以，函数f (x )＝5x ＋8－2x 的最大值为63． ··································10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）记“X 是奇数”为事件A ，能组成的三位数的个数是48． ·································2分 X 是奇数的个数有28，所以P (A )＝2848＝712．答：X 是奇数的概率为712． ·································4分（2） X 的可能取值为3，4，5，6，7，8，9．当 X ＝3时，组成的三位数只能是由0，1，2三个数字组成，所以P (X ＝3)＝448＝112；当 X ＝4时，组成的三位数只能是由0，1，3三个数字组成，所以P (X ＝4)＝448＝112；当 X ＝5时，组成的三位数只能是由0，1，4或0，2，3三个数字组成，所以P (X ＝5)＝848＝16；当 X ＝6时，组成的三位数只能是由0，2，4或1，2，3三个数字组成，所以P (X ＝6)＝1048＝524；当 X ＝7时，组成的三位数只能是由0，3，4或1，2，4三个数字组成，所以P (X ＝7)＝1048＝524；当 X ＝8时，组成的三位数只能是由1，3，4三个数字组成，所以P (X ＝8)＝648＝18；当 X ＝9时，组成的三位数只能是由2，3，4三个数字组成，所以P (X ＝9)＝648＝18；······························8分所以X 的概率分布列为：。

南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{4，5}2．四3．304．345．－56．257．348．69．－110．211．1412．57713．210＋214．(－∞，1]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)解：（1）由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入a cos B ＋b cos A ＝c cos A cos C ，得(sin A cos B ＋sin B cos A )cos C ＝sin C cos A ，······2分即sin(A ＋B )cos C ＝sin C cos A ．因为A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos C ＝sin C cos A ，·······························································4分因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A ．又因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C ．·········································6分（2）由（1）知，因为A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a 2．·········8分因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3．·························10分所以cos B ＝13．···············································································12分因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223．····································14分16．(本小题满分14分)证明：（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．·············································································2分因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60º，由余弦定理，得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos60º＝3．····4分因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB ．······················6分又因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB ．又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB ．····································8分（2）因为BC ∥AD ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD ．····································································10分又因为BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l ．················································································14分17．(本小题满分14分)解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B (0，0)，Q (45，15)，C (160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ，设l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34，或k ＝0（舍）．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0．…………………………………………4分点C (160，75)到l 的距离ABC PQHM Nxy（第17题图）CH ＝|3×160－4×75|32＋(－4)2＝36．········································································6分因为在Rt △CHM 中，CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12．················8分又因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3MCN ＝2∠MCH ＝2π3，·········12分所以所用时长为30×2π32π＝10min ．····························································13分答：该游客能看到点B 的时长为10min ．····················································14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．·························································2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．①····································4分因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23．·································································6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263．······························8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，x ＋m ，y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23．…………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m3＋m (x 2－x 1)＝1m ．·······························································14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m ＝1．……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，x －x 0＋y 0，y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分19．(本小题满分16分)解：（1）f ′(x )＝1x －a x 2，则f ′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f (x )＝ln x －1x＋1，此时f (1)＝ln1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2，所以a ＝－1，b ＝－2．·····································································2分（2）g (x )＝f (x )＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x )＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2．①当a ＝0时，g ′(x )＝1x ＞0，则g (x )在区间(0，12)上为增函数，则g (x )在区间(0，12)上无最小值．…………………………………………4分②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2.设函数m (x )＝ax 2＋x －a (x ＞0)，（i ）若a ＞0，若x 2∈(0，12)，则m (0)＝－a ＜0，m (12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23．此时x ∈(0，x 2)时，m (x )＜0，则g (x )递减；x ∈(x 2，12)时，m (x )＞0，则g (x )递增，当x ＝x 2时，g (x )取极小值，即为最小值．若x 2≥12，则x ∈(0，12)，m (x )＜0，g (x )在(0，12)单调减，无最小值．·····························································································6分（ii ）若a ＜0，x ∈(0，x 2)时，m (x )＞0，则g (x )递增；x ∈(x 2，＋∞)时，m (x )＜0，则g (x )递减，在区间(0，12)上，g (x )不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g (x )在区间(0，12)上有最小值．…………………………8分（3）当a ＝0时，由方程f (x )＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0，记h (x )＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h ′(x )＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x．①当b ≤0时，h ′(x )＞0恒成立，即h (x )在(0，＋∞)上为增函数，则函数h (x )至多只有一个零点，即方程f (x )＝bx 2至多只有一个实数根，所以b ≤0不符合题意．………………………………………………………10分②当b ＞0时，当x ∈(0，12b)时，h ′(x )＞0，所以函数h (x )递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x )＜0，所以函数h (x )递减，则h (x )max ＝h (12b)＝ln 12b ＋12．要使方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根，则h (12b)＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2．………………………………12分（i ）当0＜b ＜e 2时，h (1e )＝－be 2＜0．又(1e)2－(12b )2＝2b －e 22b e 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h (x 1)＝0．…………………………14分（ii ）h (1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k (b )＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e2，因为k ′(b )＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k (b )在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k (b )max ＝k (1)＝0，则h (1b )≤0．又(1b)2－(12b )2＝2－b 2b2＞0，即1b ＞12b，所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h (x 2)＝0，综上，当0＜b ＜e2时，方程f (x )＝bx 2有两个不相等的实数根．………………16分20．(本小题满分16分)解：（1）因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ．由S r ＝2r ，得3r ＋r (r －1)2d ＝2r ．因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2(*)；由S 2r ＝r ，得6r ＋2r (2r －1)2d ＝r ，因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5(**)；由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1．·······················································2分（2）①（i ）若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1．因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)，由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1．······················3分（ii ）当q ≠1，因为{a n }是M (r ，2r )数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝2r (*)，a 1(1－q 2r)1－q＝r (**)，由(*)和(**)，得q r ＝－12．························································5分当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132．综上，q ＝－12或q ＝－132．·····························································6分②因为{a n }是M (r ，t )数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ，即a 1(1－q r )1－q ＝t ，且a 1(1－q t)1－q＝r ，两式作商，得1－q r1－q t ＝t r，即r (1－q r )＝t (1－q t )．·····································8分（i ）若r 为偶数，t 为奇数，则r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )．因为r ＜t ，0＜1－|q |r ＜1，1＋|q |t ＞1，所以r (1－|q |r )＜t (1＋|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1＋|q |t )矛盾，所以假设不成立．·························10分（ii ）若r 为偶数，t 为偶数，则r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )．设函数y ＝x (1－a x )，0＜a ＜1,则y '＝1－a x －xa x ln a ，当x ＞0时，1－a x ＞0，－xa x ln a ＞0，所以y ＝x (1－a x )在(0，＋∞)为增．因为r ＜t ，所以r (1－|q |r )＜t (1－|q |t )，这与r (1－|q |r )＝t (1－|q |t )矛盾，所以假设不成立．··························12分(iii)若r 为奇数，t 为奇数，则r (1＋|q |r )＝t (1＋|q |t )．设函数y ＝x (1＋a x )，0＜a ＜1,则y '＝1＋a x ＋xa x ln a ．设g (x )＝1＋a x ＋xa x ln a ，则g '(x )＝a x ln a (2＋x ln a )，令g '(x )＝0，得x ＝－2ln a．因为a x ＞0，ln a ＜0，所以当x ＞－2ln a ，g '(x )＞0，则g (x )在区间(－2ln a，＋∞)递增；当0＜x ＜－2ln a ，g '(x )＜0，则g (x )在区间(0，－2ln a)递减，所以g(x)min＝g(－2ln a)＝1－a－2ln a．因为－2ln a ＞0，所以a－2ln a＜1，所以g(x)min＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)恒成立，所以y＝x(1＋a x)，0＜a＜1在(0，＋∞)上单调递增．因为r＜t，所以r(1＋|q|r)＜t(1＋|q|t)，这与r(1－|q|r)＝t(1－|q|t)矛盾，所以假设不成立．··························14分(iv)若r为奇数，t为偶数．由①知，存在等比数列{a n}为“M(1，2)数列”．综上，r为奇数，t为偶数．·································································16分南京市2019届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准2019.05说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．题．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）M 2＝21122112＝5445．························································4分（2）矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝|λ－2－1－1λ－2|＝(λ－1)(λ－3)．令f (λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3．·········································6分①当λ＝1时，2112[x y ]＝[x y ]＋y ＝0，＋y ＝0．令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为[1－1]．··················8分②当λ＝3时，2112[x y ]＝3[x y ]－y ＝0，－y ＝0．令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为[11]．因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为[1－1]，[11]．·····10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l 的直角坐标方程为：x －3y －2＝0．··················································2分曲线C 的普通方程为：(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2．………………………………………4分圆心C (2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，……………………………6分所以r ＝d 2＋(AB2)2＝3．………………………………………………………10分C ．选修4—5：不等式选讲解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z )2．·······················4分因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z )2≤36，·············································6分所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6．当且仅当x 1＝2y 1＝3z2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23，或x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，·································8分所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6．································································10分22．（本小题满分10分）解：（1）因为l 过M (2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1．…………………………………2分（2）设直线l 方程为：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2＝2x ，＝k (x －2)，消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝－4．··································································4分因为C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1方程为：y ＝1k ．···································································6分因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则l 2方程为：y ＝－1k(x －2)，＝1k ，＝－1k (x －2)，·········································································8分＝1，＝1k，即P (1，1k )，所以，点P 在定直线x ＝1上．·····························································10分23．（本小题满分10分）解：（1）在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010，所以f(3)＝1．···················································································2分在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010，所以f(4)＝2．···················································································4分（2）当n≥5且n∈N*时，当最后3位是010时，前n－3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n－3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n－2位形成的字符串中是子串“010”是在第n－2位出现，此时不满足条件．所以f(n)＝2n－3－f(n－2)，n≥5且n∈N*．··············································6分因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋1]＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3)＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．···················8分因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是说，当n＝k＋1时，f[4(k＋1)＋5]是3的倍数．由①，②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．·························10分高三数学答案第11页共11页。

2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅰ说明:本试卷共20题，总分160分，考试时间120分钟．请将答案填写在答卷纸上． 一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填在答卷纸相应位置上． 1．已知集合M ＝{0，2，4}，N ＝{x |x ＝a2，a ∈M }，则集合M ∩N ＝ ▲ ．2．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是 ▲ ．3．若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ▲ ． 4．某学校有A ，B 两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则三人不在同一个食堂用餐的概率为 ▲ ．5．如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．6．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500，3000)范围内的应抽出 ▲ 人.7．已知l 是直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中的真命题是 ▲ ．(填所有真命题的序号)①若l ∥α，l ∥β，则α∥β ②若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β ③若l ∥α，α∥β，则l ∥β ④若l ⊥α，l //β，则 α⊥β8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高 3米后，拱桥内水面的宽度为 ▲ 米．（第5题）0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距（第6题）（第8题）9．已知正数a ，b ，c 满足3a －b ＋2c ＝0，则acb的最大值为 ▲ ． 10．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝5，b ＝3，sin C ＝2sin A ，则ΔABC的面积为 ▲ ．11．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项的和，若S 2≥4，S 4≤16，则a 5的最大值是 ▲ ． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为 ▲ ． 13．在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝60o ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP→的最小值是 ▲ ．14．用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x ，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，若h (x )有3个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 二､解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (cos θ，2sin θ)，B (sin θ，0)，其中θ∈R ．（1）当θ＝2π3时，求向量AB →的坐标；（2）当θ∈[0，π2]时，求|AB →|的最大值．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点. （1）求证：DE //平面ACF ；（2）若AB ＝2CE ，在线段EO 上是否存在点G ，使得CG ⊥平面BDE ？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由.（第16题）17．(本小题满分14分)如图，某水域的两直线型岸边l 1，l 2 成定角120o ，在该水域中位于该角角平分线上且与顶点A 相距1公里的D 处有一固定桩．现某渔民准备经过该固定桩安装一直线型隔离网BC （B ，C 分别在l 1和l 2上），围出三角形ABC 养殖区，且AB 和AC 都不超过5公里．设AB ＝x 公里，AC ＝y 公里．（1）将y 表示成x 的函数，并求其定义域；（2）该渔民至少可以围出多少平方公里的养殖区？18．(本小题满分16分)已知点P 是椭圆C 上的任一点，P 到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1，0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OF A ＋∠OFB ＝180º．（i ）当A 为椭圆C 与y 轴正半轴的交点时，求直线l 的方程；（ii ）是否存在一个定点，无论∠OF A 如何变化，直线l 总过该定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．19．(本小题满分16分)（第18题）(第17题)A D l 1 l 2B Cx y 1120o（第21—A 题）已知函数g (x )＝2a ln x ＋x 2－2x ，a ∈R ．（1）若函数g (x )在定义域上为单调增函数，求a 的取值范围；（2）设A ，B 是函数g (x )图象上的不同的两点，P (x 0，y 0)为线段AB 的中点．（i ）当a ＝0时，g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线AB 是否平行？说明理由； （ii ）当a ≠0时，是否存在这样的A ，B ，使得g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线AB 平行？说明理由．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }，{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n （n ∈N *）． （1）若a 1＝1，b n ＝n ，求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＋1b n －1＝b n （n ≥2），且b 1＝1，b 2＝2．（i ）记c n ＝a 6n －1（n ≥1），求证：数列{c n }为等差数列；（ii ）若数列{an n}中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a 1应满足的条件．2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅱ 附加题部分说明：本试卷共4小题，满分40分，考试时间30分钟．请将答案填写在答卷纸上． 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 (本小题满分10分)如图，△ABC 内接于圆O ，D 为弦BC 上一点，过D 作直线DP // AC ，交AB 于点E ，交圆O 在A 点处的切线于点P ．求证：△P AE ∽△BDE ．B ．选修4—2：矩阵与变换 (本小题满分10分)（第22题）变换T 1是逆时针旋转π2角的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎣⎡⎦⎤1 10 1．（1）点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'的坐标；（2）求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线的方程.C ．选修4—4：坐标系与参数方程 (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ（θ为参数）和曲线C 2：ρ＝1上，求AB 的最大值 ．D ．选修4—5：不等式选讲 (本小题满分10分)已知：a ≥2，x ∈R ．求证：|x －1＋a |＋|x －a |≥3．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线l 与x 轴交于点M ，过M 的直线与抛物线交于A ，B 两点．设A （x 1，y 1）到准线l 的距离为d ，且 d ＝λp （λ＞0）．（1）若y 1＝d ＝1，求抛物线的标准方程；（2）若AM →＋λAB →＝0，求证：直线AB 的斜率为定值．23．（本小题满分10分）设f (n )＝(a ＋b )n （n ∈N *，n ≥2），若f (n )的展开式中，存在某连续3项，其二项式系数依次成等差数列，则称f (n )具有性质P ． （1）求证：f (7)具有性质P ；（2）若存在n ≤2016，使f (n )具有性质P ，求n 的最大值．2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅰ参考答案与评分建议一､填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1． {0，2} 2．(1，5) 3．23 4．34 5．20 6．257． ④ 8． 8 9．61210．3 11．9 12． 5π613．－116 14．(－54，－34)二､解答题:本大题共6小题，共计90分．15、解：（1）由题意，得AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)， ……………… 2分当θ＝2π3时，sin θ－cos θ＝sin 2π3－cos 2π3＝1＋32， …… 4分－2sin θ＝－2sin 2π3＝－62，所以AB →＝(1＋32，－62). ……………… 6分（2）因为 AB →＝(sin θ－cos θ，－2sin θ)，所以 |AB →|2＝(sin θ－cos θ)2＋(－2sin θ)2 ……………… 8分 ＝1－sin2θ＋2sin 2θ＝1－sin2θ＋1－cos2θ＝2－2sin(2θ＋π4). …………10分因为0≤θ≤π2，所以π4≤2θ＋π4≤5π4. …… 12分所以当2θ＋π4＝5π4时，|AB →|2取到最大值2－2×(－22)＝3，即当θ＝π2时，|AB →|取到最大值3. ……………… 14分16、（1）证明：连接OF 由四边形ABCD 是正方形可知，点O 为BD 的中点又F 为BE 的中点，所以OF //DE ……………… 2分 又OF ⊂平面ACF ，DE ⊄平面ACF所以DE //平面ACF ……………… 6分(2) 解：在线段EO 上存在点G ，使CG ⊥平面BDE ，证明如下：取EO 的中点G ，连接CG ，在四棱锥E －ABCD 中AB ＝2CE ，CO ＝22AB ＝CE ，所以CG ⊥EO ………… 8分 又由EC ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以EC ⊥BD ……………… 10分 由四边形ABCD 是正方形可知，AC ⊥BD 又AC ∩EC ＝C所以BD ⊥平面ACE ，而BD ⊂平面BDE ……………… 12分 所以，平面ACE ⊥平面BDE ，且平面ACE ∩平面BDE ＝EO因为CG ⊥EO ，CG ⊂平面ACE ，所以CG ⊥平面BDE … 14分17解：(1)由S ΔABD ＋S ΔACD ＝S ΔABC得12x sin60º＋12y sin60º＝12xy sin120º …………… 2分 所以x +y =xy ，所以y ＝xx －1 …………… 4分又0＜y ≤5，0＜x ≤5，所以54≤x ≤5所以定义域为{x |54≤x ≤5} ……………… 6分(2)设△ABC 的面积为S ，则结合（1）易得方法一：S ＝12xy sin A ＝12x ·x x －1·sin120º＝3x 24(x －1)，(54≤x ≤5)x 2x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥4，…………10分 当仅当x －1＝1x －1，x ＝2时取等号.故当x =y =2时，面积S 取最小值3（平方公里） ……… 12分方法二：S ＝S ΔABD ＋S ΔACD ＝12x sin60º＋12y sin60º＝34(x ＋xx －1)＝34(x ＋x －1＋1x －1)＝34(x ＋1x －1＋1) ＝34[(x －1)＋1x －1＋2]≥ 3 …………10分 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时取等号． 故当x =y =2时，面积S 取最小值3（平方公里） ………12分答：该渔民总共至少可以围出3平方公里的养殖区． …………14分18、解：（1）设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝(x ＋1)2＋y 2， …………2分d 2d 1＝(x ＋1)2＋y 2|x ＋2|＝22化简得：x 22＋y 2＝1，∴椭圆C 的方程为：x 22＋y 2＝1…………4分（2）（i ）由（1）知A (0，1)，又F (－1，0)，∴k AF ＝1－00－(－1)＝1，∵∠OF A ＋∠OFB ＝180º，∴k BF ＝－1，∴直线BF 方程为：y ＝－1(x ＋1)＝－x －1 …………6分代入x 22＋y 2＝1得：3x 2＋4x ＝0，解得x ＝0或x ＝－43，代入y ＝－x －1得⎩⎨⎧x ＝0y ＝－1（舍）或⎩⎨⎧x ＝－43y ＝13，∴B (－43，13).，k AB ＝1－130－(－43)＝12∴直线AB 的方程为：y ＝12x ＋1 …………9分（ii ）解法一：由于∠OF A ＋∠OFB ＝180º，所以k AF ＋k BF ＝0 ……11分设直线AB 方程为：y ＝kx ＋b ，代入x 22＋y 2＝1得：(k 2＋12)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2kbk 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋12…………13分所以，k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝0所以，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2＋12＋2b ＝0∴b －2k ＝0，所以直线AB 方程为：y ＝k (x ＋2)所以直线l 总经过定点M (－2，0) ……16分解法二：由于∠OF A ＋∠OFB ＝180º，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上 …………11分设直线AF 方程：y ＝k (x ＋1)，代入x 22＋y 2＝1得：(k 2＋12)x 2＋2k 2x ＋k 2－1＝0设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则B 1(x 2，－y 2)且x 1＋x 2＝－2k 2k 2＋12，x 1x 2＝k 2－1k 2＋12…………13分∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，AB ：y －y 1＝y 1－y2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0，得： x ＝x 1－y 1x 1－x 2y 1－y 2＝x 2y 1－x 1y2y 1－y 2∵y 1＝k (x 1＋1)，－y 2＝k (x 2＋1)∴x ＝x 2y 1－x 1y 2y 1－y 2＝x 2×k (x 1＋1)＋x 1×k (x 2＋1)k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝2×k 2－1k 2＋12－2k 2k 2＋122－2k 2k 2＋12＝－2．直线l 总经过定点M (－2，0) …………16分19、解：（1）函数g (x )的定义域为(0，＋∞)，∵g ′(x )＝2ax ＋2x －2＝2(x 2－x ＋a )x，若函数g (x )在定义域上单调增，则由g ′(x )≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立， 即x 2－x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立， 所以a ≥－x 2＋x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，记h (x )＝－x 2＋x ，x ∈(0，＋∞)，易得h (x )max ＝14，∴a ≥14． …………4分（2）（i ）a ＝0时，g (x )＝x 2－2x ，g ′(x )＝2x －2，g ′(x 0)＝2x 0－2， ∴k AB ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝(x 1＋x 2－2)(x 1－x 2)x 1－x 2＝x 1＋x 2－2＝2x 0－2∴函数在Q(x 0，g(x 0))点处的切线与直线AB 平行． …………8分（ii ）当a ≠0时，若存在A (x 1，g (x 1))，B (x 2，g (x 2))(0＜x 1＜x 2) ，使得g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线AB 平行，则有g ′(x 0)＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2，即2ax 0＋2x 0－2＝(2a ln x 1＋x 21－2x 1)－(2a ln x 2＋x 22－2x 2)x 1－x 2 又因为x 0＝x 1＋x 22，∴2ax 1＋x 22＋x 1＋x 2－2＝2a ln x 1x 2x 1－x 2＋x 1＋x 2－2 ∴即ln x 1x 2＝2(x 1－x 2)x 1＋x 2(* )设x1x 2＝t ，则(* )式整理得ln t ＝2(t －1)t ＋1， 问题转化成该方程在(0，1)上是否有解． …………12分 设函数h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1，则g ′(x )＝1t －4(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2≥0，所以函数h (t )在(0，＋∞)单调递增， 所以当t ∈(0，1)时，h (t )＜h (1)＝0， 所以方程ln t ＝2(t －1)t ＋1在(0，1)上无解，所以，不存在这样的A 、B ，使得g (x )在点Q (x 0，g (x 0))处的切线与直线 AB 平行. …………16分20、解：（1）当n ≥2时，有a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋b 1＋b 2＋…＋b n －1＝n 22－n2＋1． ……2分又a 1＝1也满足上式，所以数列{a n }的通项公式是a n ＝n 22－n2＋1．……4分（2）（i ）因为对任意的n ∈N *，有b n ＋6＝b n ＋5b n ＋4＝1b n ＋3＝b n ＋1b n ＋2＝b n ，所以c n ＋1－c n ＝a 6n ＋5－a 6n －1＝b 6n －1＋b 6n ＋b 6n ＋1＋b 6n ＋2＋b 6n ＋3＋b 6n ＋4＝1＋2＋2＋1＋12＋12＝7所以，数列{c n }为等差数列． …………8分 （ii ）设c n ＝a 6(n －1)＋i (n ∈N *)（其中i 为常数且i ∈{1，2，3，4，5，6}，所以c n ＋1－c n ＝a 6(n －1)＋6＋i －a 6(n －1)＋i＝b 6(n －1)＋i ＋b 6(n －1)＋i ＋1＋b 6(n －1)＋i ＋2＋b 6(n －1)＋i ＋3＋b 6(n －1)＋i ＋4＋b 6(n －1)＋i ＋5＝7，即数列{a 6(n －1)＋i }均为以7为公差的等差数列． …………10分设f k ＝a 6k ＋i 6k ＋i ＝a i ＋7k i ＋6k ＝76(i ＋6k )＋a i －76i i ＋6k ＝76＋a i －76ii ＋6k （其中n ＝6k ＋i ，k ≥0，i 为{1，2，3，4，5，6}中一个常数）当a i ＝76i 时，对任意的n ＝6k ＋i ，有a n n ＝76； ……12分当a i ≠76i 时，f k ＋1－f k ＝a i －76i i ＋6(k ＋1)－a i －76ii ＋6k＝(a i －76i )－6[i ＋6(k ＋1)](i ＋6k )①若a i ＞76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＜f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i }为递减数列；②若a i ＜76i ，则对任意的k ∈N 有f k ＋1＞f k ，所以数列{a 6k ＋i 6k ＋i}为递增数列．综上所述，集合B ＝{76}∪{43}∪{12}∪{－13}∪{－16}＝{76，43，12，－13，－16}．当a 1∈B 时，数列{a n n }中必有某数重复出现无数次；当a 1∉B 时，数列{a 6k ＋i 6k ＋i}(i ＝1，2，3，4，5，6)均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列{a n n}任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．16分2016届南京市高三年级第三次学情调研适应性测试数学Ⅱ参考答案与评分建议A ．选修4—1:几何证明选讲【证明】因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ． …………………… 10分B ．选修4—2:矩阵与变换解：(1)M 1＝⎣⎡⎦⎤0 －11 0， ……………………2分M 1⎣⎡⎦⎤21＝⎣⎡⎦⎤－12．所以点P (2,1)在T 1作用下的点P '的坐标是P '(-1,2). ……5分(2)M ＝M 2·M 1＝⎣⎡⎦⎤1 －11 0， ……………………7分设⎣⎡⎦⎤x y 是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是⎣⎡⎦⎤x 0y 0, 则M ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x y ,也就是⎩⎨⎧ x 0－y 0＝x ， x 0＝y 即⎩⎨⎧ x 0＝y ， y 0＝y －x ．所以,所求曲线的方程是y －x ＝y 2. ……………………10分C ．选修4—4:坐标系与参数方程解：曲线C 1:(x －3)2＋(y －4)2＝4，曲线C 2:x 2＋y 2＝1 ……………………5分 曲线C 1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为 32＋42＝5，AB ≤5＋2＋1＝8，所以AB 的最大值为8． ………………10分D ．选修4—5:不等式选讲证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|x －1＋a |＋|x －a |≥|x －1＋a －(x －a )|＝|2a －1|． ………………… 8分 又a ≥2，故|2a －1|≥3．所以|x －1＋a |＋|x －a |≥3． ………………………………… 10分22．解：（1）由条件知，A (1－p 2，1)，代入抛物线方程得p ＝1． 所以抛物线的方程为y 2＝2x ． ………………………4分（2）设B （x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝k (x ＋p 2)． 将直线AB 的方程代入y 2＝2px ，消y 得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0， 所以x 1＝－p (k 2－2)－2p 1－k 22k 2，x 2＝－p (k 2－2)＋2p 1－k 22k 2． ……6分 因为d ＝λp ，所以x 1＋p 2＝λp ，又AM →＋λAB →＝0，所以x 1＋p 2＝λ(x 2－x 1)， 所以p ＝x 2－x 1＝2p 1－k 2k 2， …………………………………8分 所以k 2＝22－2，所以直线AB 的斜率为定值． ………………10分23． 解：（1）f (7)的展开式中第二、三、四项的二项式系数分别为C 17＝7，C 27＝21，C 37＝35，因为C 17＋C 37＝2C 27，即C 17，C 27，C 37成等差数列，所以f (7)具有性质P ． …………………………4分（2）设f (n )具有性质P ，则存在k ∈N *，1≤k ≤n －1，使Ck －1n C k n C k ＋1n 成等差数列， 所以C k －1n ＋C k ＋1n ＝2C kn ． 整理得，4k 2－4nk ＋(n 2－n －2)＝0， …………………7分即(2k －n )2＝n ＋2，所以n ＋2为完全平方数．又n ≤2016，由于442＜2016＋2＜452，所以n 的最大值为442－2＝1934，此时k ＝989或945． ……10分。