数学：第二章《圆锥曲线与方程》教案(1)(新人教A版选修1-1)

高中数学人教A版2003课标版选修1-1第二章圆锥曲线与方程→2.3抛物线→阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用《圆锥曲线的光学性质及其应用》的教学设计第一课时抛物线的光学性质及其应用一、教学目标1.理解抛物线的光学性质，并会应用数学推理得出抛物线的光学性质，并会应用它解决数学问题。

2.会用数学建模的思想将实际生活问题数学化，也会用数学建模的思想将数学问题生活化。

二、教学重点理解抛物线的光学性质并会推导。

三、教学难点数学建模思想的应用。

四、教学过程（一）课题引入问题一：手电筒一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线。

这是为什么呢?设计意图：从生活中的一个例子出发，提出问题，引发学生的求知欲，从而提出课题。

（二）课题提出抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴。

抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．问题二：生活问题数学化要探究抛物线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证，那么我们如何用数学语言阐述并证明抛物线的光学性质?设计意图：提出抛物线的光学性质，并通过列举它在生活中的大量应用，让学生感知数学无处不在，并有将生活问题数学化的欲望。

圆锥曲线的光学性质及其应用教学分析1 教学内容与学情分析《圆锥曲线的光学性质及其应用》是人教A版数学选修2-1中《圆锥曲线与方程》章后的一段阅读与思考材料，重点介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质以及它们在生活生产中的广泛应用.它是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学知识与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.高中学生在初学本章内容时，普遍害怕圆锥曲线的学习，很难掌握其几何性质，对代数运算更是棘手，很多学生都是生硬的去记、去算，导致得分不高，所以教师需要更好的帮助学生去理清圆锥曲线的性质，抓实一般的代数表达手段和技巧，并结合数形结合思想进行相关问题的求解.2 教学目标2.1知识与技能:了解三种圆锥曲线的光学性质，会应用椭圆中的光学性质进行应用求解.2.2思想与方法:理解椭圆中的光学性质的证明，会利用转化思想、数形结合思想等多种方法求解相关应用问题.2.3情感态度价值观:通过对圆锥曲线光学性质的大量应用，感受数学与生活之间的密切联系，体会数学的抽象性与广泛的应用性，同时学会用学到的数学原理进行创新设计的尝试.3 重点、难点分析教学重点：理解三种圆锥曲线的光学性质，能熟练应用椭圆中的光学性质进行相关的应用求解. 教学难点: 椭圆中的光学性质的证明，应用椭圆中的光学性质进行相关的应用求解.教学设计1教学流程2 教学过程【创设情境，引入新课】（1）回忆光传播的一般规律: 入射角等于反射角〖设计意图〗为后面圆锥曲线的光学性质的理解、证明、应用做最一般的理论铺垫. （2）光的反射原理的应用举例师：若点A,B 在直线l 的同侧，设点P 是直线l 上的点，问：P 在哪个位置时PB PA 取最小值？生：思考、交流、形成一致认识．师：让学生自己阐述解题过程，教师进行板书. 〖设计意图〗让学生掌握利用对称来具体实施光反射的规律，为后面的圆锥曲线的光学性质的证明和应用做方法上的铺垫.师：如果光从点A 出发，通过反射经过点B,反射点是直线上的哪一点（即传播路线是怎么样的）？ 生：思考、交流、形成一致认识．师：引出规律：一般情况下，光线在传播过程中，总是选择最近的路线从一点传播到另一点.〖设计意图〗提炼光反射原理的更一般的、更易理解的角度，为后面研究一类“距离之和” 取值范围问题指明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题.【新课讲授，建构数学】（1）圆锥曲线的光学性质应用实例师：和学生交流生活中圆锥曲线应用实例，比如回音谷、望远镜、探照灯等，试着总结其中所应用的光学性质.生：思考、交流、形成初步认识. 〖设计意图〗引导学生从生活中的具体实例出发，加深学生对圆锥曲线的光学性质及其应用的理解，为接下来介绍圆锥曲线的光学性质埋下铺垫. （2）圆锥曲线的光学性质 生：思考、交流、形成初步认识.师：PPT 展示相关光学性质，达成一致认识.PlAl1A〖设计意图〗的理解.（3）圆锥曲线的光学性质的证明（椭圆为例） 师：将椭圆中的光学性质转化为数学问题. 生：思考、交流、试着对该数学问题进行解答. 简单证明： Ⅰ.点D 是切线j 上使得21DF DF +值最小的唯一点；Ⅱ.作焦点1F 关于直线j 的对称点'1F ，连接'1F ，2F ，交直线j 于'D ，则'D 也是切线j 上使得21DF DF +值最小的唯一点； Ⅲ.D 与'D 重合. 〖设计意图〗椭圆的光学性质的证明是必不可少的部分，同时进一步巩固相关的数学处理办法.【深化理解，乘胜追击】圆锥曲线的光学性质应用举例（椭圆为例）例1 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点0)射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为B ，C ，则△ABC 的周长为 .图1.3图1.2 图1.1〖设计意图〗通过研究一类“周长”问题，让学生初步感知椭圆的光学性质的应用.例2 已知椭圆C: 192522=+y x ，21,F F 分别是其左、右焦点，点Q )12(，，点P 是C 上的动点，求PQ PF +1的最小值.分析：先让学生由椭圆的光学性质猜想，再用数学方法进行证明. 〖设计意图〗通过研究一类“距离之和” 的最值问题的求解，通过利用椭圆的光学性质进行该类问题的求解，达到对所学知识的理解与掌握.例3 已知l 是过椭圆C ：1121622=+y x 上的一动点P 切线，过C 的左焦点1F 作l 的垂线，垂足为Q ，求Q 的轨迹方程.说明1F 关于切线的对称点'1F 与点P 、2F 共线.〖设计意图〗通过研究一类“轨迹方程”问题，直观感知利用椭圆的光学性质进行求解该类问题的便利性，达到对所学知识的掌握与升华.【自我评价，课堂小结】提问：通过本节课的学习，你有哪些收获？留给你印象最深的是什么？（引导学生从知识点、思想方法两方面进行总结）学生总结：1．知识点：（1）光的反射原理.（2）圆锥曲线的光学性质.（3）圆锥曲线的光学性质的证明（椭圆）（4）圆锥曲线的光学性质的应用（椭圆）.2．思想方法：转化思想，数形结合思想等.（教师展示课件并作强调）〖设计意图〗让学生通过小结，反思学习过程，提升对所学知识及数学思想方法的理解和应用意识，提高学生的概括、归纳能力.同时学生在回顾、总结、反思的过程中，将知识条理化、系统化，使认知结构更趋合理；最后教师用课件展示小结内容并进行重点强调，使学生印象深刻.【布置作业，知识升华】（1）思考：双曲线、抛物线的光学性质的证明.（2）评测练习一份.〖设计意图〗养成及时总结巩固所学的好习惯,提高学习效率.。

圆锥曲线的光学性质及其应用教学设计一、教材分析《圆锥曲线的光学性质及其应用》是人教A版数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》2.3节的一段阅读与思考材料，主要介绍了椭圆、双曲线、抛物线的光学性质及应用，教学需要1个课时. 所学内容是圆锥曲线知识的进一步拓展，是数学与物理知识的综合，也是数学知识在实际生活中的应用的典型案例.《普通高中数学课程标准(2017年版)》中“数学是自然科学的重要基础，并且在社会科学中发挥越来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方面.”这一学科定位在这节课中也得到相应体现.课堂上，学生在教师的指引下，对材料进行充分地阅读并进行思考，由于三种圆锥曲线的性质可以进行适当的类比，所以在教学中重点探讨椭圆的光学性质及其应用.课后，学生完成课外作业或查阅相关资料，类比课堂上所学方法可继续对其他曲线进行研究.二、学情分析学生在初中物理课上已经学习了光的反射原理，高中又学习了圆锥曲线的概念和简单几何性质，因此对圆锥曲线光学性质的理解有一定的基础.但作为文科重点班的学生，他们并不满意仅仅了解圆锥曲线光学性质，还需要了解为什么具有这样的性质，对其证明也充满着求知欲.此外，本课内容出现在《阅读与理解》这一专栏，故而课堂上还要重视对学生阅读能力的培养．考虑到文科生理性思维能力弱，多数学生思维只停留在照章循事，机械化程序化解题，在思考问题方面，偏重形象思维，故本节课借助几何画板利用垂直平分线构造椭圆的方法，为椭圆的光学性质的证明提供了直观简洁的依据，也为课外学生证明双曲线、抛物线的光学性质提供类比的依据．另外，课本是从相对简单的抛物线光学性质开始编排，但是学生首先学习的是椭圆，对椭圆更熟悉一些，因此本节课的教学设计改变了教材编排顺序，从椭圆光学性质学习开始，由易到难，由直观到推理，逐步引向思维深处．那些数学思维较弱的学生，通过配套微课的提前学习，也能较好适应课堂节奏.三、教学目标分析1、学会阅读数学材料，进一步培养从材料中提取信息的能力.2、了解三种圆锥曲线的光学性质及应用，知道椭圆光学性质的数学证明.3、能应用椭圆的光学性质解决数学问题.四、教学重点和教学难点教学重点：圆锥曲线的光学性质，应用椭圆的光学性质解题教学难点：椭圆光学性质的数学证明五、教学难点突破策略先引导学生从圆与椭圆的关系出发，得出椭圆的切线性质1，然后通过实验直观地验证椭圆的光学性质，学生再动手完成光路图，在此过程中会发现椭圆的光学性质与切线性质1其实是等价的，只需要说明中垂线是椭圆的切线即可.课堂时间有限，学生作为课后作业使用反证法很容易证明. 为了全方位的理解这一性质，联想之前学过的点差法，从运动的角度对切线的斜率作定量的分析，既为应用性质提供方便，提醒学生利用解析法研究光学性质，还巩固了解析几何设而不求的思想.基于以上多层次、多角度的引导，达到突破难点的目的.六、教学工具：多媒体投影，数字展台，平面镜，激光笔，椭圆形硬纸板.七、教学过程QA，由已知得|QA|=|QP|，所以|=|QO|+|QP|=r，又点A在圆内，故，点Q的轨迹是以O，A为焦点，长轴长的椭圆.在圆上运动时，P A的中垂线与椭圆的位置关系是相切，设P A的中点是M，由PQM与△AQM全等，∠PQM，我们得到椭圆切线的一个性质，切点处的两条焦半径所成的角相等.l的方程为点斜式，与椭圆方程联立，据判别式为0求出切线斜率.该方法比较自然且容易想到，但是计算量繁琐，且没有把握所给图形的特征，可让其课后尝试一设P(x0, y0)，Q(x1, y1).将P，Q坐标代入椭AO生：先过入射点作镜面的切线，再过入射点切线的垂线就是法线，入射光线作镜面的对称点A',再连接光路图就完成了.师：根据以上事实，以椭圆为例，请作出反射光路图，验证椭圆的光学性质活动3以椭圆为例，入射光线为线和反射光线.师：除了光路图外，借助简单的工具也可以用以下实验来说明.(使用激光笔，平面镜，椭圆形硬纸板教师在展台上现场演示)如果时间不允许，也可在电脑上播放微课视频中的光学实验师：想了那么多办法来验证椭圆光学性质，我想告诉大家的是——其实我们已经在数学上证明了这一事实，请各位仔细观察.活动4以椭圆为例，请思考如何证明它的光学性质.圆锥曲线的光学性质也是高考的命题重点，结合所学知识，请完成活动5练习.x2y2、(2013•山东，理22)。

定点、定值问题教学目标：（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力教学过程：【例1】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(0，1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →.(1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点.【解析】(1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝3.所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0，0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设l 方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)，∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意y 1≠0，∴λ1＝m y 1－1. 同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1. 将③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0，∴(mt )2＝1.由题意mt ＜0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1，0)，即Q 为定点.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t （y －m ）得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0， ∴由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)＞0，②且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 对点训练已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点在x 轴上，且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为2的等腰直角三角形.(1)求椭圆的方程；(2)过点S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.定值问题【例2】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.练习：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.。