2019年秋季学期基础学部微积分期末模拟试题

解： …（4分）
…（6分）
A.可分离变量 B.齐次 C.一阶线性 D.伯努利
三、解答题
11.（本题满分10分）求曲线L： 在其上点M（1，－1，2）处的切线方程与法平面方程.
解：由L，视x为自变量，有
以 代入并解出 ，得
，
所以切线方程为
，
法平面方程为
，即 .
12.求直线 绕x轴旋转一周所得的旋转曲面方程.
解．直线：
曲面上点 直线上点
则旋转曲面方程：
13、 由 确定，求 .
解：设 ，则
， ，
， (3分)
(6分)
14、求函数 的极值。
解： ，则
， ，
， ，
求驻点，解方程组 得 和 .…（2分）
对 有 ， ， ，
于是 ，所以 是函数的极大值点，且 …（4分）
对 有 பைடு நூலகம் ， ，
于是 ， 不是函数的极值点。
15、计算二重积分 ,其中 是由 及 所围成的闭区域；
2019年微积分期末考试题及答案
一 、填空题
1.点M（1,－1, 2）到平面 的距离d=.
2.数量场 在 点的梯度为
函数 在P点沿 的方向导数为.
3.函数 在 点取得极值.
.
4、微分方程 具有形式的特解.（ ）
5、级数 的和为。（ ）
二、选择题
6知 与 均收敛,
则常数 的取值范围是(C).
(A) (B) (C) (D)
7、 和 存在是函数 在点 可微的（ A ）。
A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。
8、由曲面 和 及柱面 所围的体积是（B）

2019年秋季学期基础学部大一学生模拟考试(A卷) 课程:微积分考试时间: 2019年11月日学号: 姓名:…………………………………………………………………………………………………………………选择题（每题1分，总分20分）1. 设f（x）在（a,b）内连续，且x0∈（a,b），则在点x0处（）A、f（x）的极限存在，且可导B、f（x）的极限存在，但不一定可导C、f（x）的极限不存在D、f（x）的极限不一定存在2. 当x→0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（）A、x1000B、1−cos xC、1−ln x4D、arc tan x3.limsinx√1−cosx3arctan⁡(4√1−cosx3)=( )A、-4B、−12 C、2 D、144. 下列函数中在(-1,1)上满足罗尔定理的函数是（）A、y=|x|B、y=√x23 C、y=x3+1 D、y=x2+15. 若f(−x)=⁡f(x) (-∞<x<+∞)，在(-∞，0)内有f′(x)>0 , f′(x)<0,则f(x)在(0,+∞)内有（）A、f′(x)>0，f′′(x)<0B、f′(x)>0，f′′(x)>0C、f′(x)<0，f′′(x)<0D、f′(x)<0，f′′(x)>06. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为（）A、3B、52 C、2 D、327. 设y=f(cos x)∙cos(f(x))，且f可导，则y′=（）A、f´(cos x)∙sin x∙sin(f(x))f′(x)B、f´(cos x)∙cos(f(x))+f(cos x)∙[−sin(f(x))]C、−f⁡′(cos x)∙sin x∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f⁡′(x)D、f´(cos x)∙cos(f(x))−f(cos x)∙sin(f(x))∙f⁡′(x)8.⁡⁡设函数y={√1−asin2x−bx2,x≠0⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡2,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡x=0在点x=0处连续，则a+b =（）A、-3B、3C、2D、-29. 设函数f(x)=|x3−1|φ(x),其中φ(x)在x=1处连续，则φ(1)=0是f(x)在x=1处可导的（）A、充分必要条件B、必要但不充分条件C、充分但不必要条件D、既不充分又不必要条件10. f(x)与g(x)在R 有定义，f(x)连续且大于0，g(x)有间断点，则f(g(x))、g(f(x))、g(x)f(x)、f(x)g(x)中，必有间断点的函数个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、311. 函数f (x )=1x满足拉格朗日中值定理条件的区间是（ ） A 、[-2,2] B 、[1,2] C 、[-2,0] D 、[0,1]12. 设函数f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n，则f(x)在(−∞,+∞)内（ ）A 、处处可导.B 、恰有一个不可导点.C 、恰有两个不可导点.D 、至少有三个不可导点. 13. 设函数y =f(x)具有二阶导数，且f ′(x)>0，f ″(x)>0，Δx 为自变量x 在x 0处的增量，Δy 与dy 分别为f(x)在点x 0处对应的增量与微分.若Δx >0，则（ ）A 、0<dy <ΔyB 、0<Δy <dyC 、Δy <dy <0D 、dy <Δy <0 14. 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是（ ） A 、若lim x→0f(x)x存在，则f (0)=0 B 、若limx→0f(x)+f(−x)x 存在，则f (0)=0C 、若limx→0f(x)x 存在，则f ′(0)存在 D 、若lim x→0f(x)−f(−x)x 存在，则f ′(0)存在 15. 设{x =sint y =tsint +cost （t 为参数），则d 2ydx 2|t=π4 =（ ）A.√2B.2C.4 D .√3 16. 函数f (x )=x 2−x x 2−1√1+1x2的无穷间断点的个数为（ ） A 、0. B 、1 C 、2. D 、3 17. 函数y =ln (1−2x )在x =0处的n 阶导数y (n )(0)=（ ）A 、2n (n −1)!B 、−2n n!C 、2n n!D 、−2n (n −1)!18. 设函数f (x )=(e x −1)(e 2x −2)………(e nx −n),其中n 为正整数，则f⁡′(0)= （ ） A 、(−1)n−1(n −1)! B 、(−1)n (n −1)! C 、(−1)n−1n! D 、(−1)n n!19. 设f ′(x)在[a , b]上连续，且f ′(a)>0, f ′(b)<0，则下列结论中错误的是（ ）A 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) >f(a)B 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) > f(b)C 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f ′(x 0)=0D 、至少存在一点x 0∈(a,b)，使得f(x 0) =⁡⁡020. 下列关于数列{x n }的极限是a 的定义，正确的有（ ）个 ①对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜ε成立②对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ＞N 时，|x n −a |＜cε成立 c 为正常数 ③对于任意给定的正整数m ，存在正整数N,当n ＞N 时，|x n −a |＜1m成立 ④对于任意给定的ε>0，存在正整数N ，当n ≥N 时，|x n −a |＜ε成立 A 、2 B 、3 C 、1 D 、4基础学部百思堂 2019年11月2日参考答案1. B[解析] 由函数f （x ）在（a ，b ）内连续的定义知，lim x→x 0f (x )=f (x 0)，因此f （x ）在点x 0处的极限存在，但不一定可导如：f （x ）=|x|，在x =0处连续，但是不可导 2. C[解析] x1000与x 同阶，1−cos x 等价于x 22，1−ln x 4等价于−x 4，arc tan x 与x 同阶，所以c 为高阶无穷小3. D[解]⁡lim sinx √1−cosx 3arctan⁡(4√1−cosx 3)=lim sinx √1−cosx3⁡4√1−cosx3-lim ⁡4√1−cosx3=lim x→0(e sinx −1)⁡4(x 22)13+14-lim x→0sinx⁡4(x 22)13=144. C5. C [解析] f(-x)=f(x)，则−f ′(−x )=f ′(x )所以，f 1(x )为奇函数，同理，f ′′(x )为偶函数，已知在(-∞，0)内有f ′(x )>0 , f ′′(x )<0则有χϵ(0,+∞)时f ′(x )<0，f ′′(x )<06. C[解析] ∵f （x ）=ax 2+bx+c∴f ′（x ）=2ax+b ，f ′（0）=b ＞0 ∵对任意实数x 都有f （x ）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2-4ac ≤0即 b 2≤4ac b ≤2√acf (1)f ′(0)=a+b+c b =1+a+cb≥1+2√acb≥1+bb =27. C[解析] 复合函数求导 导数的四则运算y`=[f(cosx)]`cos(f(x))+f(cosx)[cos(f(x))]`=f`(cosx)(-sinx)cos(f(x))+f(cosx)[-sin(f(x))]f`(x) =-f`(cosx)sinxcos(f(x))-f(cosx)sin(f(x))·f`(x) 8. A 9. A[解析] 若|x 3−1|φ(x)在x=1处可导，则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h所以lim h→0+h 3+3h 2+3h h φ(h) = lim h→0−−h 3−3h 2−3hhφ(h) 所以必有lim h→0φ(x)=0若φ(x )=0 则lim h→0+|(1+h)3−1|φ(h)h= lim h→0−|(1+h)3−1|φ(h)h= 0所以，在1处可导所以，充要条件 10. B[解析] 对于f(g(x))， g(x)有间断点，但只要f(x)为常函数，则f(g(x))无间断点；对于g(f(x))，只要间断点小于等于0，因为f(x)＞0，则间断点无法取到； 对于g(x)/f(x)，f(x)>0，g(x)有间断点，则一定有间断点；对于第四个复合函数，仍然可以考虑常函数来举出反例 11. B 12. C[解析]当|x |<1时，f(x)=lim n→∞√1+|x |3n n=1；当|x |=1时，f(x)=lim n→∞√1+1n=1；当|x |>1时，f(x)=lim n→∞|x|3(1|x|3n+1)1n=|x |3.即f(x)={−x 3,1,x 3,x <−1,−1≤x ≤1,x >1. 可见f(x)仅在x=±1时不可导，故应选(C).13. A[解析]因为f ′(x)>0, 则f(x)严格单调增加f ″(x)>0,则f(x)是凹的又Δx >0,故0<dy <Δy 14. D[解析]本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。

数三《微积分》期末复习题一、选择题1. 对于xy x y x f +=2),(，原点（0，0）（ C ）.（A ） 不是驻点 （B ） 是极大值点 （C ） 是驻点却不是极值点 （D ） 是极小值点 2.下列积分值为0的是___C_A. ⎰+∞+0211dx x ； B. ⎰-1121dx x（利用几何意义去判定）； C. 22sin (cos cos )1x x x dx xππ-++⎰； D. ⎰--1121dx x . 解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x C ：考察奇偶函数在对称区间上的积分D ：利用几何意义：此积分可以看成函数012≥-=x y 在(-1,1)上的面积。

0,11222≥=+⇒-=y y x x y ，即是上半圆的面积2π3. 二元函数2222222,0(,)00,xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨+=⎪⎩在点(0,0)处( B ). A. 连续，偏导数存在； B. 不连续，偏导数存在； C. 连续，偏导数不存在； D. 不连续，偏导数不存在. 4. 下列级数收敛的是___D____.A ． 21+151n n n n ∞=++∑ B. ∑∞=+11n n n n )(C ． ∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1)32(1n n nD. ∑∞=1!n n n n . 5 . 级数113cos ()n nn n ∞=-∑（ B ）. （A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛 （C ） 发散 （D ） 敛散性不能判定解：11333cos cos ()()nn n n n n -=≤，而113()nn ∞=∑收敛，所以绝对收敛。

6 设)(x f 为连续函数，⎰⎰=t tydx x f dy t F 1)()(，则'(2)_____.F =(A) )(2f ； (B) )(22f ； (C) )(2f -； (D) 0. 解：对⎰⎰=tt ydx x f dy t F 1)()(交换积分次序得⎰⎰⎰-==tt x dx x x f dy x f dx t F 111)1)(()()(所以),1)(()(-='t t f t F'(2)(2).F f = 所以选A二、填空题1、若D 为区域2218x y ≤+≤，则3Ddxdy ⎰⎰＝（ 21π ）=⎰⎰Ddxdy 3πππ21)8(33=-=⋅D S2、函数()y zf x=，其中f 可微，则.))((2x y x y f x z -'=∂∂3. 若ln 21()x xF x t dt =⎰，则()F x '=___2411ln x x x +________.所以本题的答案为24ln x x x+4. 已知22(,)y f x y x y xy x+=+-,则222)1()1(),(y y y x y x f ++-=__________.解：令vuv y v u x x y v y x u +=+=⇒=+=11,, 所以22211)()(),(v v v u v u f ++-=，222)1()1(),(y y y x y x f ++-= 5 设arctanxz y =，则=),(|11dz 1122dz dx dy =- . 本题考查全微分，求全微分实质就是两个偏导数z x y ∂∂∂，然后再利用z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂ 本题：2222222111(),()1()1()zy z x xx x xy x y y y x y y y∂∂=⋅==⋅-=-∂+∂+++ 在点(1,1)处，有11,22z z x y ∂∂==-∂∂，所以1122dz dx dy =-6．若级数为1111,357-+-+ 则它的一般项__121)1(1--=-n u n n _______.7. 交换积分次序()⎰⎰12xxdy y x f dx ,＝1(,)ydy f x y dx ⎰.8. 定积分4121cos ()xx x x dx e -⋅+=⎰______32______. 考查定积分的奇偶性，三、计算题1．求极限(,)limx y →.解：(,)(,)(,)limlimlimx y x y x y →→→==(,)(0,0)lim 1)2x y →==2. 已知方程),(x yxy f x z 3=，f 具有二阶连续偏导数，求222,,,z z z z x y y x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 分析：本题考察复合函数求导，特别要注意在求二阶偏导数时要注意11(,)yf f xy x''=，22(,)yf f xy x''=。

1
D.
e 4
1 A. e x dx de x B sin xdx d (cos x) C. dx d x
2x
D.
ln
xdx
d
(
1 x
)
1
下列等式中正确的是（B
）．A.
d
( 1
x2
)
arctan xdx
1 dx
B.
d( )
x
x2
C. d (2 x ln 2) 2 x dx D. d (tan x) cot xdx
D. 单调上升
A 先单调下降再单调上升 B 单调下降 C 先单调上升再单调下降 D 单调上升
. 函数 y x 2 2x 6 在区间 (2 , 5) 内满足（D ）．
A. 先单调下降再单调上升
B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升
5-1
若
f
(x)
的一个原函数是
1 x
，则
f
( x)
函数 f (x) 10 x 10x 的图形关于 y 轴 对称。
二、填空题
⒈函数 f ( x) x 2 9 ln(1 x) 的定义域是 （3，+∞）
．
x3
函数
y
x ln(x
2)
4 x 的定义域是
（2，3） ∪ （3，4 ]
函数 f (x) ln(x 5) 1 的定义域是 2x
（－5，2）
1-⒉设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（C ）对称．
A. 坐标原点
B. x 轴
C. y 轴 D. y x
设函数 f (x) 的定义域为 (,) ，则函数 f (x) f (x) 的图形关于（D ）对称．