高等数学基础试题
一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）
1.函数2
e e x
x y -=-的图形关于（ ）对称． (A) 坐标原点 (B) x 轴
(C) y 轴 (D) x y =
2.在下列指定的变化过程中，（ ）是无穷小量．
(A) )(1
sin ∞→x x x (B) )0(1
sin →x x
(C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1
∞→x x
3.设)(x f 在0x 可导，则=--→h
x f h x f h 2)()2(lim 000（ ）． (A) )(0x f ' (B) )(20x f '
(C) )(0x f '- (D) )(20x f '-
4.若⎰+=c x F x x f )(d )(，则⎰=x x f x
d )(ln 1（ ）． (A) )(ln x F (B) c x F +)(ln
(C) c x F x +)(ln 1 (D) c x
F +)1( 5.下列积分计算正确的是（ ）．
(A)
0d sin 11
=⎰-x x x (B) 1d e 0=⎰∞--x x
(C) πd 2sin 0=⎰∞-x x (D) 0d cos 11=⎰-x x x
二、填空题（每小题4分，共20分）
1.函数24)
1ln(x x y -+=的定义域是 ．
2.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0
0)
1()(21x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．
3.曲线1)(3
+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 ．
4.函数x y arctan =的单调增加区间是 ．
5.若⎰+=c x x x f sin d )(，则=')(x f ．
三、计算题（每小题11分，共44分） 1.计算极限1)1sin(lim
21-+-→x x x ． 2.设x x y e cos ln +=，求'y ．
3.计算不定积分
⎰x x x d e 21． 4.计算定积分⎰e
1d ln x x ．
四、应用题（本题16分）
某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？
高等数学基础
答案
一、单项选择题
1.A
2.C
3. C
4. B
5. D
二、填空题
1. )2,1(-
2. e
3. 3
4. ),(∞+-∞
5. x sin -
三、计算题
1. 解：21)1)(1()1sin(lim 1
)1sin(lim 121-=-++=-+-→-→x x x x x x x 2. 解：x x x
y e sin e 1-=' 3. 解：由换元积分法得 c u x x x
u u x x +-=-=-=⎰⎰⎰e d e )1(d e d e 121 c x
+-=1e
4. 解：由分部积分法得 ⎰⎰-=e
1e 1e
1)d(ln ln d ln x x x x x x 1d e e
1⎰=-=x 四、应用题（本题16分）
解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为
r
V r rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -
=' 由0='S ，得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3
π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V 时，用料最省．
