数模算法之最优控制模型(结合例子讲解,经典讲义)

六、最优控制模型：（动态优化模型， DP ――Dynamical programming）
Ⅰ. 最速升降问题（或登月飞船软着陆问题） u(t)
问题：① 设有一个物体M（例如：直升飞机、升降机、
电梯）作垂直升降运动（设物体M的质量为m）；
② M内部装有一个控制器，产生一个控制作用力 g
)t(u
（时间的函数），用以控制M的上下运动，由 x(t)

于作用力)t(u大小有限，故满足一个约束不等式： x
constk k)t(u
问题：是要寻找一个合适的作用力)t(u的变化规律，使得SM最快的速度达到地点，而且：
已知elevation的初始状态在0tt时，M离开地面的高度为M ,)t(x0的垂直运动速
度为)t(x0。
解：物体M应满足的运动规律（即与时间变量t有关的动态过程），因此，为描述物体运动
的状态，令：

)t(x)t(x1
：为物体M离开地面的高度（t时刻）

dt
)t(dx
)t(x12
：为物体M在t时刻的速度

于是物体在t时的运动状态可描述成为：

状态方程： f )t(umf(t)a amf g)t(udt)t(dx)t(xdt)t(dx221为控制函数）（
同时应满足初始状态：



初始速度 初始高度 0x)t(x
0x)t(x

202
101

路径条件(终值状态)：



终端速度 终端高度 0)t(x
0)t(x

f2
f1

控制约束： const)(k k)t(u
目标函数：寻找一个U)t(u(闭的函数类)，使你所用的总时间0ftt最短，即使

0f

t

t
ttdt)t(uJJ f0

取最小值

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M
或：寻求一个 U)t(*u，使得：

)t(uJ)t(*uJ

或：寻求一个U)t(*u，使得：

)t(uJmin)t(*uJU)t(u

或者说：在容许控制的函数类U中，找一个控制函数U)t(*u，使状态)t(x)t(x)t(x21
从初始状态)t(x)t(x)t(x02010转移到终端状态(目标集：

0)x(h ,0)x(g ,R)t(x)t(xSiin


) )t(x)t(x)t(xf2f1f(此问题中00)t(xf)，

而且使所用的时间最短，即：f0tt0fUu)ttmin(dtmin)u(Jmin*uJ，如果满足上述条
件的U)t(*u是存在的，则说)t(*u是该系统的最优控制(或极值控制)，而把对应的状态
)t(*u叫做该系统的最优轨线(或极值轨线()t(*u，)t(*x)叫最优对，*)u(J
叫最优性能指

标。
注意：1.上述的极值问题，求)t(uJmin)t(*uJ，函数)(J的定义域是函数类U)t(u，
因此)(J是泛函。因此，求U*u，使)u(Jmin*uJUu是求泛函的极值问题，故最优
控制问题也称为泛函极值问题，所以常用的方法即变分法、极大值原理、动态规划等。
注意：Ⅱ性能指标(或目标泛函)的不同提法：按照系统设计者不同着眼点来考虑给出：
一般形式为：f0ttffdt t(t),u (t), x L t ),t( x ) (uJ
例如：上述同一个问题可解释为：登月飞船的软着陆问题：
问题：登月飞船 着陆问题： f
设 ①飞船自重M，所带燃料为F，即

FMm
(飞船自重FM燃料)月球重力加速度为g； g

② 飞船登陆月球时要先靠发动机产生一个与月球重力
方向相反的推力f所产生的加速度m)t(f)t(u实现软着陆

（即登上月球时的速度为零）
问题：是如何选择最好的发动机推力程序)t(f，使燃料消耗最少。
解：约束条件及假设同升降机问题，即设

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月球
M
M+F=m
时刻的重量为飞船在 时刻的速度为飞船在 时刻为飞船离月球的高度 t F(t)Mm(t) t )t(xdt)t(dx)t ( )t(x)t(x211


于是为约束方程：
状态方程：时刻飞船重量的变化时刻加速度时刻速度const th )t(hft)t(dmt g)t(udt)t(dx t )t(xdt)t(dx221

初始状态：FM)t(m 0x)t(x 0x)t(x0202101初始速度初始高度
终端状态：目标集S








)t(F)t(m
0)t(x0)t(x Sf1ff2f1：

控制约束：k)t(u 控制力)t(umamf 受一定限制。
问题是：寻求一个合适的控制函数)t(u（)t(m)t(f)t(u从而设计出推进力)t(f的程序），使所
消耗的燃料F最少（即FMm最多能带多少燃料）。
即： )t(mmax)t(*uJfUu

Ⅱ. 生产―库存―销售最优管理问题：
问题：生产量 库存量 销售量要保持在一个合理的水平上，即最优管理问题，即如何
组织或控制生产量，使库存量与销售量保持平衡。
分析：库存量大 则 1. 积压资金周转；2. 库存费，损耗大。
库存量小 则 1. 使商品脱销失去多获得利润的机会；
2. 用户因不能按合同提货，则厂方产品有被退货的风险，同样有失
去市场和赚钱的机会。
量化：)t(x：表示在t时刻的实际库存量；
)t(u
：表示在t时刻的实际生产速度（生产率）；

)t(s
：表示在t时刻的实际销售速度（销售率）；

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于是有以下条件来描述该系统的情况：
状态方程：
)t(s)t(udt)t(dx)t(x


初态： 00x)t(x
终态： )t(xf未知
约束： U)t(u0
决策目标：（指标泛函）有两种提法：
（i）求管理中的最优生产率――控制变量（决策变量），使生产费用和储存费用之总和最小。
生产费用C：与生产率)t(u，时间t有关，故记作：t ),t( u C；
库存费用H：与库存量)t(x，时间t有关，故记作：t ),t( x H；
于是最优管理问题：是求最优的生产率)t(u使总费用 )t( u J最小，



f0ttdt t (t),x H t(t),u C )t( u J
.

即求：
U)t(*u
使得：

)t(uJmin*uJ

s.t. 上述约束。
（ii）求管理中的最优生产率)t(u――控制变量（决策变量），
使：生产率尽可能接近理想的生产率)t(ud 由生产能力
库存量尽可能接近理想的库存量)t(xd 和经验数据测定
理想水平ddx,u是一个理想的平衡状态：
如有干扰（扰动或条件变化），例如，市场销售量的突然变化破坏了这种平衡，则应尽
快通过控制变量)t(u（调整生产率），使该系统回到理想的平衡状态，此时的目标泛函应为：




f0tt2d2ddt (t)u(t)u h)t(x(t) x k )t( u J－
最小，h ,k为常数。

即求：U*u，使 )t(uJmin )t(*uJU)t(u
s.t.

上述约束：U)t(ux)t(x)t(s)t(u)t(x00
Remark：（评注）上述最优控制的离散模型：
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求)i(*x ),i(*u，使得：




n1i
2d2

d
i(u)i(u h)i(x)i( x kmin )i(*uJ

s.t.











U)i(u
)i(x)1i(x
x)0(x
)i(s)i(u)i(x)1i(x

f
0

一般最优控制问题也可分为：线性、非线性、连续和离散型。