现代数值计算方法习题解答

3 2 1 3 2 所以系数矩阵是对称 = 2 > 0, 2 2 0 = 4 > 0, a11 ＝ 3 > 0, 2 2 1 0 3
正定的. 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11 = 3
l 21 =
2 3 3 6 3
l 22 =
1
Er ( x ) =
n *
E (n x * )
n
x*
1 ( x* ) n (x − x* ) 1 x − x* 1 ≈ = = Er ( x * ) * * n n n x n x
−1
. 4 7 2 1 …… ， 5 、解：( 1 ) 因为 20 = 4 又 E(x* ) = | . 0 0 2 1< 0 . 0 1 ,所以 x * = 4 . 4 7 . x − x * |=| 20 − 4.47 |=0 ( 2 ) 20 的近似值的首位非 0 数字 α1 =4 , 因此有
第三步：计算 U 的第三行，L 的第三列，得 u 33 = a33 − l31u13 − l32 u 23 = 37 / 10 u 34 = a34 − l 31u14 − l32 u 24 = −9 / 10 l 43 = (a 43 − l 41u13 − l 42 u 23 ) / u 33 = −9 / 37 第四步：计算 U 的第四行，得
1 1 T ， ） . 2 3
= （1，
4 、解： 对 i = 1 , d1 = a11 = 2 ； 对 i = 2 , t 21 =源自文库−1 , l 21 = − 对 i = 3 , t 31 = 1 , t 32
1 5 , d2 = − ； 2 2 7 1 7 27 = l31 = d3 = , , l32 = − , . 2 2 5 5
l31 = a31 / u11 = 1 / 6
第二步：计算 U 的第二行，L 的第二列，得
u 22 = a 22 − l 21u12 = 10 / 3 u 24 = a 24 − l 21u14 = 1 / 3 l 42 = (a 42 − l 41u12 ) / u 22 = 1 / 10
u 23 = a 23 − l 21u13 = 2 / 3 l32 = (a32 − l31u12 ) / u 22 = 1 / 5
= | E r* ( x) | 1 × 10 −( n−1) < = 0 . 0 1,解之得 n > = 3. 所以， x * = 4 . 4 7 . 2×4
6 、解：设正方形的边长为 x , 则其面积为 y = x 2 ，由题设知 x 的近似值为 x * = 1 0 c m . 记 y * 为 y 的近似值，则
所以数组 A 的形式为：
2 1 A = − 2 1 2
0 5 − 2 7 − 5
0 0 27 5
求解方程组 LY = b .
解得 Y = （4，7，
求解方程组 DLTX = Y . 解得 X
69 T ） . 5 10 7 23 = （ ， ， ）T . 9 9 9
→
x1 = 3 , x 2 = 1 , x3 = 1 .
（2 ）方程组的增广矩阵为：
3 −1 4 M 7 3 − 1 4 M 7 3 − 1 4 M 7 − 1 2 − 2 M − 1 → 0 5 − 2 M 4 → 0 5 − 2 M 4 M M M 2 3 2 0 1 2 0 0 2 0 2 1 − −
3 、解： 101 的近似值的首位非 0 数字 α1 =1 , 因此有
= | E r* ( x) | 1 × 10 −( n−1) < = 2 ×1
1
1 4 × 1 0 ,解之得 n > = 5 ，所以 n =5. 2
1
4 、证： E (n x * ) ≈
−1 1 * n −1 1 ( x ) E( x* ) = ( x * ) n ( x − x* ) n n
5
现代数值计算方法习题答案
1 0 0 0 0 u1 l 1 0 0 0 0 2 5、解： （1）设 A = LU = 0 l 3 1 0 0 0 0 0 l 1 0 0 4 0 0 0 l5 1 0
计算各元素得： u1 = 5 , l 2 =
0 . 0 4 9 0 4 9 0 . 0 0 2 、解：
： E =0 . 0 0 0 0 5 ； E r =0 . 0 0 1 0 2 ； ： E =0 . 0 0 5 ；
. 0 0 0 0 1 0 2 ；5 位有效数字. E r =0
22 =3 . 1 4 2 8…… ， π =3 . 1 4 1 5…… ， 7 取它们的相同部分 3 . 1 4 ，故有 3 位有效数字. E 0.0013 . 1 4 2 8-3 . 1 4 1 5=0 . 0 0 1 3； E r = = =0 . 0 0 0 4 1 . E =3 3.14 3.14
1 × 10 8 2
即计算到 x10 ，其误差限为 1010 δ ，亦即若在 x0 处有误差限为 δ ，则 x10 的 误差将扩大 1010 倍，可见这个计算过程是不稳定的.
2
现代数值计算方法习题答案
习 题 二 1 、 解：只用一种方法. （1 ）方程组的增广矩阵为：
2 − 1 − 1 M 4 2 − 1 − 1 M 4 2 − 1 − 1 M 4 3 4 − 2 M 11 → 0 11 − 1 M 10 → 0 11 − 1 M 10 M M M 3 2 4 0 1 11 0 0 1 − 11 − 10 1
4
现代数值计算方法习题答案
是否大于零来判断.
3 2 3 3 2 所以系数矩阵是对称 = 2 > 0, 2 2 0 = 6 > 0, a11 ＝ 3 > 0, 2 2 3 0 12
正定的. 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11 = 3
6 u2
0 6 0 u3 0 0 0 0
0 0 0 0 6 0 u4 6 0 u5
1 5 5 65 , u2 = , l3 = , u3 = , 5 19 19 19 19 211 65 665 l4 = , u4 = , l5 = , u5 = . 65 65 211 211 1 1 1 212 T 求解方程组 LY = d.解得 Y = （1， − ， ， − ， ） . 5 19 65 211 1509 1145 703 395 212 T ， ， ，− ， ） . 求解方程组 UX = Y.解得 X = （ 665 665 665 665 665
l31 = 3
l 21 =
2 3 3
l 22 =
6 3
l32 = − 6
l33 = 3
因此，
3 2 3 L ＝ 3 3
0 6 3 − 6
0 0 . 3
第二步 第三步
求解方程组 LY = b . 求解方程组 LTX = Y .
解得 Y 解得 X
=（
5 3 6 3 T ，− ， ） . 3 6 3
现代数值计算方法习题答案
现代数值计算方法习题答案
习 题 一 1 、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以 有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求. 因此
2 4 9 ×1 0
： E =0 . 0 0 5 ；
. 0 1 0 2 ； E r =0
2 位有效数字. 3 位有效数字.
6 3
l31 =
3 3
l32 = −
l33 = 2
因此，
3 2 3 L ＝ 3 3 3
0 6 3 6 − 3
0 0 . 2
第二步
求解方程组 LY = b . 解得 Y = （
5 3 6 ， ， 2 ）T. 3 3
第三步 求解方程组 LTX = Y . 解得 X =（0 ，2 ，1 ）T. （2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
* * 10 x 0 − 1 − 10 x0 + 1 |=1 x0 − x 0 | x1 − x1* |=| 0 | |< = 10δ
* * | x2 − x2 |=| 10 x1 − 1 − 10 x1 + 1 |=1 0 | x1 − x1* |< = 10 2 δ
类推有
* x10 − x10 | | < =1010 δ =
E( x n ) x − x* ≈n = nE r ( x) = 0.01n . 所以 E r ( x ) = x xn
n
8 、解：
9 、证： E ( S ) = S − S * ≈ gt (t − t * ) = gtE (t ) Er (S ) = S − S * gt (t − t * ) 2 E (t ) ≈ = S t gt 2 / 2 由上述两式易知，结论.
→
x1 = 2 , x 2 = 1 , x3 = 1 / 2 .
（3 ）适用于计算机编程计算. 2、 解：第一步：计算 U 的第一行，L 的第一列，得
u11 = 6
u12 = 2
u13 = 1
u14 = −1
l 21 = a 21 / u11 = 1 / 3 l 41 = a 41 / u11 = −1 / 6
3
现代数值计算方法习题答案
u 44 = a 44 − l 41u14 − l 42 u 24 − l 43 u 34 = −955 / 370 6 2 1 − 1 2 1 − 1 4 1 0 1 4 − 1 0 −1 3
从而，
0 0 0 6 2 1 −1 1 1/ 3 1 0 0 0 10 / 3 2 / 3 1/ 3 = 1/ 6 1/ 5 1 0 0 0 37 / 10 − 9 / 10 0 0 − 955 / 370 − 1 / 6 1 / 10 − 9 / 37 1 0 解得 Y = （6 ，3 ，2 3 / 5 ，－9 5 5 / 3 7 0 ）T . 由 LY = b , T 由 UX = Y , 解得 X = （1 ，1 ，1 ，－1 ）. 3、 （1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式 是否大于零来判断.
1 0 、解：代入求解, 经过计算可知第( 3 ) 个计算结果最好. 1 1 、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1 ）通分； （2 ）分子有理化； （3 ）三角函数恒等变形. 1 * * x0 = 1.41 , x0 − x 0 1 2 、解： 因为 x0 = 2 , 所以| |< = × 10 − 2 = δ 2 于是有
1
现代数值计算方法习题答案
E ( y * ) = 2 x * ( x − x * ) = 20( x − x * ) = 20 E ( x * ) < = 0 . 1 ， . 0 0 5c m. 所以 E ( x * ) < =0 7 、解：因为 E ( x n ) ≈ nx n−1 ( x − x * ) ,
0 1 l3 0 0 1 u1 0 0 1 u2 0 0 1 u3
1 （2）设 A = LU = l 2 0
计算各元素得： u1 = 5 ， l 2 = 求解方程组 LY = d .
求解方程组 UX = Y . 6 、证： （1 ） （2 ）相同. 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应 的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1 ）雅可比迭代公式： 1 ( k ) 2 ( k ) 10 x1( k +1) = − x 2 − x3 + 7 7 7 1 1 ( k +1) (k ) x2 = − x1( k ) − x 3 +1 4 4 2 2 (k ) 2 ( k +1) x3 = − x1( k ) − x 2 + 9 9 3 高斯－赛德尔迭代公式： 1 ( k ) 2 ( k ) 10 x1( k +1) = − x 2 − x3 + 7 7 7 1 1 (k) ( k +1) x2 = − x1( k +1) − x3 +1 4 4 2 2 ( k +1) 2 ( k +1) x3 = − x1( k +1) − x 2 + 9 9 3 （2 ）雅可比迭代公式：