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函数相同概念的讨论

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- 169 -
第6期
2012年6月

现 代 阅 读

MODERN READING
NO.6

June.2012

函数相同概念的讨论
石长平
（河北唐山一中）

【摘要】本文浅谈在通常情况下，给定一个函数指的是：给出函数的解析式和定义域。当函数的解析式和定义域给定时，
该函数的值域随之确定。
【关键词】函数 解析式 定义域 函数值域确定。
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1673—8497（2012）06—0169-01

两个函数是否相同的判断问题，是同学们学习中的一个
难点。在通常情况下，给定一个函数指的是：给出函数的解
析式和定义域。当函数的解析式和定义域给定时，该函数的
值域随之确定。因此，当且仅当两个函数的解析式和定义域
分别对应相等，这两个函数相同。但是，在教学中确存在着
一些似是而非的问题，今列举出来，逐一辨析，希望对同学
们的学习有所帮助。
1、两个函数的解析式不同，这两个函数是否不同？
“两个函数的解析式不同，这两个函数当然不同”。这
是不少初学函数的同学的结论。其实不然。例如：
f(x)=x
3,x∈｛0,1｝g(x)=x,x∈｛0,1｝。这两个函数的定义域相同，如果它们的对应法则也相同的话，则它们就是同一函数。而f(0)=g(0)=0,f(1)=g(1)=1，即它们的对应法则相同。因此，它们是同一函数。再如： 与 ，这两个函数的解析式显然不同，然而它们却表示同一列数：1，0，1，0，1，0，1，0，……。对于任意的x∈N*都有f(x)=g(x)成立，即它们的对应法则相同。因此，它们是同一函数。上述的两个例子告诉我们，一个函数的解析式不是唯一的。同时，也告诉我们，判断两个函数是否同一函数，除了看它们的解析式以外，还应看它们的定义域和值域是否相同。2、两个函数的解析式相同，这两个函数是否相同？对于高一新同学来讲，认为“两个函数的解析式相等，这两个函数一定相同”并不是怪事。这主要是他们对函数概念的理解与认识是肤浅的，只重其一，而忽略其二，即忽略了函数的定义域是否相同的问题。例如：f(x)=x2+2x-1,x∈R和g(x)=x2+2x-1,x∈N。它们虽然具有相同的解析式，但由于定义域的不同，显然是不同的两个函数。3、定义域和值域分别相等，这两个函数是否相同？部分同学认为：“两个函数的定义域和值域分别相同，这两个函数一定相同”。其实未必。例如：函数f(x)= 2x+1,x∈R与g(x)=x3
,x∈R。它们的值域相同，均为实数

集。再如：函数f(x)=x2,x∈｛0,1｝与g(x)=(x-1)2,x∈
｛0,1｝，它们的定义域和值域分别相同，但是，由于
f(0)≠g(0),f(1) ≠g(1)，即当自变量取同一个值时，对应
的函数值不同，因此，它们不是同一函数。“两个函数的定
义域和值域分别相同，这两个函数一定相同”错误的实质在
于忽略了函数的对应法则。
4、解析式和值域分别相等，这两个函数是否相同？
给定了函数的定义域和对应法则，函数的值域随之确
定，即函数也就确定了。那么，两个函数的解析式和值域分
别相等，这两个函数是否也相等？请看下面的例子：函数：
f(x)=x
2,x∈[0,∞] , g(x)=x2
,x∈R。这两个函数的解析

式相同，值域均为实数集，但由于它们的定义域不同，因而，
它们是不同的两个函数。

于是，我选用快捷工具栏里的“标记工具”按钮，分别
标注三个角，然后，选用菜单栏的“度量”选项，再选取“角度”
选项，分别标注出三个角的度数，通过拉动变化为不同形状
的图形，观察三个角之间度数的关系，（下面仅选两图为例）
同时告诉她，在几何图形里，比较角的关系，要从“和、差、
倍”这几个方面去着手。我用鼠标拖选想上传的区域，让拖
选框成红色，点击菜单栏里的“编辑”，再选择“复制”选项，
然后在与她QQ对话框中进行“粘贴”，就将多个变化的图形
依次传过去了。

变化图1 变化图2
通过观察、比较，很快女儿就得出一个“近似”结论：
∠B+∠D=2∠F。接着，让她通过证明，验证通过图形变化
得出的结论是否正确，就不是什么难事了。
三、通过标记工具和文本框，清晰表达解题过程
现在的学生，作业、活动相对较多，许多时候，都忙得
不可开交。几次深夜11时左右，女儿给我发来习题后，不到

一分钟就下线了，并声明第二天早上最多几分钟的时间，要
求我将解题过程表述清楚。下面
就以其中一次为例：

三角形中，诸如∠ABC、∠PBC、∠BPC之类的，表述时
太麻烦，让人眼花缭乱。为表述时能简单明了，我利用几何
画板里的“标记”工具，分别将∠PBC和∠PCB标记为∠1
和∠2，再利用“文字”工具，将解题过程表述如下，再通过
拖选图形和文字区域，复制后粘贴到与女儿的QQ对话框中去。
总之，几何画板作为一种辅助工具，具备强大的功能，
我们除了充分发挥它在异地几何题交流中的优势外，还可以
通过它使枯燥的几何题变得生动起来，激发孩子或是学生的
学习兴趣，为他们的成长和培养终身学习观念上打下坚实的
基础。

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函数的概念与性质、反函数、复合函数

函数的概念与性质、反函数、复合函数

函数的概念与性质
函数
一、区间及领域 二、函数的概念 三、函数的几种特性 四、初等函数 五、常用经济函数
函数(第一章)
1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函 数的概念。 2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和 周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图 形。 3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际 问题中的函数关系式。
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数 x D, 变量 y 按照一定法则总有 确定的数值和它对应，则称 y 是 x的函数，记作
y f ( x) 数集D叫做这个函数的定义域
因变量
自变量
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D} 称为函数的值域.
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
y M
y M
y=f(x)
o
x
有界 X
x0
o
X
x 无界
-M
-M
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。 否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
一、区间与邻域
1.区间 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a,b R,且a b.
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
oa
b
x
{x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b]
函数概念发展的历史过程

函数概念发展的历史过程

函数概念发展的历史过程函数概念的发展可以追溯到古希腊数学，特别是毕达哥拉斯学派和欧多克斯学派的数学家。

在古希腊的数学中，函数的概念最初是通过几何问题的讨论而产生的，随后逐渐发展成为独立的数学概念。

函数的概念在数学和物理学等领域中扮演着重要的角色，它的发展历程与数学和物理学领域的发展密切相关。

在古希腊时期，毕达哥拉斯学派和欧多克斯学派的数学家开始讨论角度和传统的几何学问题，这些问题往往需要利用变量和关系式来描述。

例如，在求出一个等腰三角形的斜边与底边的关系时，需要描述角度和直角三角形之间的关系，这种描述可以看做是角度与斜边长度的函数关系。

在此过程中，数学家们开始意识到，不同的输入可以对应到不同的输出，即输入和输出之间有一定的关系，这种关系可以通过公式或者表格来表示。

在欧几里得的《几何原本》中，已经出现了对线性函数的讨论。

在古希腊时期，欧几里得就提出了比例和相似的概念，这是对函数概念的提前探索。

另外，在数学家阿基米德的著作中也出现了对曲线形状和其对应的方程关系的讨论，这也为函数的发展奠定了理论基础。

在中世纪和文艺复兴时期，数学家们又开始重新探讨古希腊时期的数学问题，特别是对函数概念的研究。

文艺复兴时期的数学家伽利略、笛卡尔等人，开始将代数和几何联系起来，提出了解析几何和坐标系的概念。

在笛卡尔的《几何学》中，首次将函数的概念和直角坐标系联系起来，提出了函数与坐标之间的对应关系。

这一理论的提出，对函数的发展起到了重要的推动作用。

在17世纪，微积分的发展进一步推动了函数概念的发展。

牛顿和莱布尼兹分别独立地发明了微积分学，引入了函数的导数和积分的概念。

微积分理论的出现，使函数概念得以系统化和深化，为函数的发展奠定了数学基础。

例如在牛顿的《自然哲学的数学原理》中，函数的概念已经被广泛应用于描述物体的运动、速度和加速度等物理现象。

18世纪和19世纪，函数概念得到了进一步的发展。

在18世纪，欧拉和拉格朗日对函数的极限、连续性和泰勒级数进行了深入的研究，引入了许多函数的概念和性质。

高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1

高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1


A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
函数的概念教学设计

函数的概念教学设计

《函数的概念》教学设计【教学目标】一、使学生明白得函数的概念，明确决定函数的概念域、值域和对应法那么三个要素；二、明白得函数符号的含义，能依照函数表达式求出概念域、值域；3、使学生能够正确利用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的爱好和踊跃性。

【教学重点】函数的概念，函数的三要素。

【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的明白得。

【教具预备】多媒体教学【教学设计】初中概念从运动转变的观点动身，把函数看成是变量之间的依托关系。

从历史上看，初中给出的概念来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．后来，人们慢慢意识到概念域与值域的重要性，而要说清楚变量和两个变量间转变的依托关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了必然的限制。

若是只依照变量观点，那么有些函数就很难进行深切研究。

例如：对那个函数，若是用变量观点来讲明，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么。

但用集合、对应的观点来讲明，就十分自然。

因此有必要引入高中的函数概念。

这节课以教师教学为主，运用引导、对照的手法，启发学生进行针对性反复比较几个概念的异同，并通过师生的一起讨论来帮忙学生深刻明白得，使学生真正对函数概念有很准确的熟悉。

【教学进程】一、温习引入1．用集合、对应概念函数问题1同窗们在初中已经学习过“函数”，请你举几个函数的具体例子。

设计用意：通过具体例子，让学生回忆初中学习过的函数概念，把握内涵。

教师依照所举例子的具体情形，引导学生列举别离用解析式、图象、表格表示对应关系的函数。

若是学生所列举的例子都是用解析式表示的，教师那么问：“函数关系都是能够用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再列举些用图象、表格表示对应关系的函数。

教师能够举例：例1下面哪些对应能够表示函数？例2 图1的兰色曲线记录的是2020年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情形。

股票指数是时刻的函数吗？图2 例3 国际上经常使用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。