2009年高考试题命题趋势初探 ——2009年各地模拟试题探究随着新课改的不断深入，高考自主命题的省份逐渐增多，数学高考试卷的结构、形式、内容等方面都发生了一些变化，重视基础、突出对支撑高中数学体系主干知识考查的特点愈发明显. 在难度设置上，前两至三个题一般难度稍低，后面几个题虽入口宽，但设置层层关卡，多层次、多角度地对考生进行能力的考查，用以区分考生灵活地运用知识和方法去分析和解决问题的能力.解答题在高考卷中的考查呈现以下特点：(1)对基础知识的考查，要求全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合；(2)对数学思想和方法的考查，数学思想与方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，在高考中，常将它们与数学知识的考查结合进行.考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧；(3) 对能力的考查，以逻辑思维能力为核心，全面考查各种能力，强调探究性、综合性、应用性，突出数学试题的能力立意，强化对素质教育的正确导向；(4) 在强调综合性的同时，注重试题的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查；(5)出现一些背景新颖的创新题、开放题、富有时代特色的应用题.2009年各地模拟试题，对今年高考命题的趋势进行了深入的探讨和大胆的预测： 一．平面向量与三角函数、解三角形等知识相结合三角函数是高考必考内容之一，命题方向主要有以下几个方面：（1）以三角函数的图象和性质为主题的解答题，往往和平面向量的基本运算相结合；（2）以三角形中的三角恒等变换为主体，综合考查三角函数的性质等；（3）以实际应用题的形式考查正、余弦定理、三角函数的实际应用.如，例 1 ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2Bm B n B =-=-且//m n .二．等差数列与等比数列的简单综合在往年高考试题中，数列多与函数、导数、不等式等知识相结合作为高考的“压轴题”出现，难度较大.近几年的高考，数列逐渐淡出“压轴题”，2009年的高考可能将等差数列、等比数列、简单的递推数列结合在一起进行考查.命题方向主要有三个方面：（1）等差数列与等比数列的基本性质和基本运算；（2）求简单递推数列的通项公式与数列求和问题；（3）数列与函数以及简单不等式相结合.如，例2已知函数),()(2R ∈+-=b a b ax x x f 的图象经过坐标原点，且}{,1)1(n a f 数列='的前).)((*N ∈=n n f S n n 项和（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列.}{,log log }{33项和的前求数列满足n b b n a b n n n n =+【解】（Ⅰ）ax x x f x f y -=∴=2)()(的图象过原点 ， 由112)1(:2)(=∴=-='-='a a f a x x f 得，x x x f -=∴2)(， n n S n -=∴2，)]1()1[()2(221-----=≥-=∴-n n n n n S S a n n n 22-=n ， 011==S a ，∴)(22*N ∈-=n n a n .（Ⅱ）由n n b n a 33log log =+得：)(3*2N ∈⋅=n n b n n ，n n b b b b T +++=∴32122410333323-⋅++⋅+⋅+=n n ， n n n T 26423333239⋅++⋅+⋅+=∴ ，由②－①得：)33331(38226422-+++++-⋅=n nn n T 813322--⋅=n nn}n n b （其中{年的高考仍然会成为命题者思考的重点3．用导数研究函数的性质导数作为研究函数性质的一个重要工具，多与函数、方程、不等式相结合，应用导数研究函数的性质、方程根的分布、不等式的有关问题等，是新课程高考的重点和热点问题，应该引起充分的重视，文科题给出的是高次函数（一般是三次函数，兼考查导数的几何意义），理科题给出的是对数函数、指数函数及复合函数.如例3已知函数()6(0)f x lnx x =>和2()8g x ax x b =+-（a ，b 为常数）的图象在3x =处有公切线.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数()()()F x f x g x =-的极大值和极小值； （Ⅲ）关于x 的方程()()f x g x =有几个不同的实数解？【解】（Ⅰ）''6(),()28f x g x ax x==+，根据题意，得''(3)(3)f g =，解得1a =-.（Ⅱ）2()()()6ln 8F x f x g x x x x b =-=+-+，令'6()280F x x x=+-=得1x =，或3x =01x <<Q 时，'()0,()F x F x >单调递增；13x <<时，'()0,()F x F x <单调递减；3x >时，'()0,()F x F x >单调递增；()F x ∴极大值为(1)7F b =-，()F x 极小值为(3)156ln3F b =-=.（Ⅲ）根据题意，方程()()f x g x =实数解的个数即为函数2()()()6ln 8F x f x g x x x x b =-=+-+零点的个数由（2）的结论及()F x 在0x →时()F x →-∞，()F x 在x →+∞时()F x →+∞知：①当70b -<或156ln 30b -+>，即7b <或156ln 3b >-时，函数()F x 仅有一个零点，也即方程()()f x g x =有一个实数解 ；②当7b =或156ln 3b =-时，方程()()f x g x =有两个实数解 ；③当70b ->且156ln 30b -+<，即7156l n 3b <<-时，函数()F x 有三个零点，即方程()()f x g x =有三个实数解；综上所述，当7b <或156ln 3b >-时，函数()F x 有一个实数解；当7b =或156ln 3b =-时，方程()()f x g x =有两个实数解；当7156ln 3b <<-时，方程()()f x g x =有三个实数解.【评析】本题主要考查导数的几何意义以及函数极值和方程根的判断.本题通过给出的两个函数有公切线考查了导数的几何意义以及构造函数的数学方法，通过（2）问考查了导数在研究函数极值以及利用导数研究函数单调性方面的应用，并考查了判断极值的方法，（3）问通过构造函数把方程的解转化为函数的零点问题，利用函数的单调性以及极值的符号判断函数零点的个数.本题在设置上环环相扣，每一步都是解决后面问题的基础，同时也降低了入手的难度，既能考查学生对基础知识的掌握程度，又能考查学生综合运用所学知识解决问题的能力，保证了一定的区分度.4．应用题文、理区别较大理科的应用题仍会以概率题为主，重点考查随机变量的分布列与期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，与相关知识的结合，在知识点的交汇处命题将会成为今年高考的一大亮点，背景趋向现实生活，难度适中，相关概率的计算会是一个难点.如，例4某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =. （Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值.【解】（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .32p p =, ∴1221=+p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴5321=+p p .∴511=p ,5232==p p . （Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400.()0=ξP =2515151=⨯, ()100=ξP =25452512=⨯⨯, ()200=ξP =258525252512=⨯+⨯⨯, ()300=ξP =25852522=⨯⨯, ()400=ξP =2545252=⨯. 随机变量ξ的分布列为：（Ⅲ）销售利润总和的平均值为 E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.【评析】本题主要考查了离散型随机变量的分布列于期望的有关计算.本题以家用电器的销售作为背景，没用直接给出相关的概率值，而是把一元二次方程和概率的两个值联系起来，需利用根与系数的关系求出两个概率值之间的关系以及分布列的性质（所有概率之和为1）求出各个概率值，题目设置有一定的难度，把概率和方程有机地结合在一起，稍微提高了题目的入口，考查考生综合分析问题的能力. （Ⅱ）（Ⅲ）主要考查了相互独立事件、彼此互斥事件的概率求解以及随机变量分布列的求解与期望的计算，这些数值在现实生活中对人们的决策起着决定性作用.在高考命题中，把概率应用题和函数、方程、不等式以及程序框图等内容结合起来综合命题的可能性会比较大.例5某工厂生产了一批产品共有100件，尺寸大小属于区间3[，)5.3或4[，)5.4的为合格品，属于区间5.3[，)4的为优等品.根据尺寸大小按如下区间进行分组：5.2[，)3、3[，)5.3、5.3[，)4、4[，)5.4、5.4[，]5，得到这批产品的频率分布直方图如图所示（单位：cm ）. （Ⅰ）求这批产品中合格品与优等品共有多少件？2.53.54. 5 尺寸(cm )4（Ⅱ）只有合格品与优等品才可以在市场上销售，且优等品的售价每件不超过31元，优等品的售价不低于合格品的售价.当合格品的售价为每件x 元，优等品的售价每件y 元时，合格品的销售量为y x 5.05.1+件，优等品的销售量为x y 5.05.1-件，那么x 、y 分别为多少时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量是多少件？ 【解】（Ⅰ）组距等于0.5，得到合格品与优等品的频率之和为9.0)8.05.02(5.0=+⨯⨯ ，909.0100=⨯所以，合格品与优等品共有90件．（Ⅱ）由（I ）可得，这批产品中，合格品有50件，优等品40件，则x 、y 满足的约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤+≥≤>405.05.1505.05.1310x y y x x y y x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-≤+≥≤>8031003310y x y x xy y x 据此作出可行域如图中的阴影所示， 销售总量为y x x y y x z 2)5.05.1()5.05.1(+=-++=作出直线0l ：02=+y x ，平移直线0l 过点)31,23(A 时，z 取得最大值85， 此时，合格品的销售件数为50315.0235.15.05.1=⨯+⨯=+y x 件 优等品的销售件数为35235.0315.15.05.1=⨯-⨯=-x y 件所以，当合格品的销价为每件23元且优等品的销售价为每件31元时，这批产品的销售总量最大，最大销售总量为85件．【评析】本题主要考查频率分布直方图的应用以及线性规划问题.本题是一个以产品的生产、销售为背景的实际应用题，首先利用频率分布直方图中的相关信息解决生产过程中的产品分类问题，以此作为条件进一步解决销售的总量问题，题目的设计通过生产和销售的实际背景把频率分布直方图和线性规划问题有机地结合在一起，是一道非常好的题目，为今年高考命题提供了一个非常好的思路.5．平面图形的翻折可能成为主流立体几何解答题的命制常以柱体和锥体为载体全方位考查立体几何中的重要内容为目的，如线线、线面与面面的位置关系、二面角问题、距离问题等，既有计算又有证明，一题多问，阶梯排列；此题一般既可用传统方法解答，又可用空间向量处理，有的题是两法兼用，可谓珠联璧合，究竟选用哪种方法，要根据图形特征和自己掌握的熟练情况来确定，考查数学解题方法的灵活性.如，例6如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º，2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （1）求证：BC ⊥PB ；（2）求二面角P CD A --的平面角的余弦值． 【解】（1）∵点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，∴BC AD BC AD 21,//=. ∴∠RBC RAD PAD ∠=∠==90º. ∴AD PA ⊥. ∴ BC PA ⊥,∵A AB PA AB BC =⊥ ,, ∴BC ⊥平面PAB .RFRADBCP∵⊂PB 平面PAB , ∴PB BC ⊥.（2）法1：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．∵1==AD RA ,∴RC AF ⊥.∵AD AP AR AP ⊥⊥,,∴⊥AP 平面RBC . ∵⊂RC 平面RBC ,∴AP RC ⊥. ∵,A AP AF = ∴⊥RC 平面PAF . ∵⊂PF 平面PAF ,∴PF RC ⊥.∴∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. 在R t △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在R t △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ，332622cos ===∠PF AF AFP . ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. 法2：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -．则D （－1，01）.∴=（－1，1，0），=（1，0，1）, 设平面PCD 的法向量为n=（x ，y ，z ），则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+-=⋅0z x n y x DC n， 令1=x ，得1,1-==z y ，∴n=（1，1，－1）.显然，PA 是平面ACD 的一个法向量，PA =（,0,01-）．∴cos<n ，33131=⨯=． ∴二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. 【评析】本题主要考查空间线面关系以及空间角的计算.本题以平面图形的翻折为依托，通过翻折前后的不变的平行垂直关系以及线段的长度等给出了翻折后形成空间几何体中的线面关系和量的关系，以此为基础展开线面关系的推理与证明，空间角的求解等.对于理科学生来说，解决此类问题也可以利用空间向量来处理，通过建立合理的空间直角坐标系转化为坐标的有关计算问题，简化了抽象的逻辑推理.另外，“动态”探索性问题是近几年高考立体几何命题的新亮点，应该引起我们足够的重视.6、解析几何题——计算量大，综合性强平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、经久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算”，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现.例9已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图. （1）若△POM 的面积为25，求向量与OP 的夹角。
