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分式的基本性质1

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第1课 9.1分式 教学分析 重点：分式的意义及其基本性质。难点：分式的变号法则。 教学过程 一、复习 1、引言：我们已经学过了整式，知道可用整式表示某些数量关系；学习了整式四则运算，在此基础上学习了一元一次方程的解法和列方程解应用题，但是有些数量关系，只用整式表示是不够的。。 2、例题：甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？。 3、分析：设甲每小时做x个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做90个所用的时间是90÷x（或 ）

小时，乙做60个的用的时间是［60÷（x-6）］（或660x ）小时，根据题意列方程：x90=660x

可以看出x90、660x都不是整式。列出的方程也不是已学过的方程。学习本章内容就可以正确认识这样的式子及方程，从而解决问题。 二、新授 1．分式 在算术里，两个数相除可以表示用分数的形式。分数中的分子相当于被除数，分数中的分母相当于除数。因为零不能做除数，所以分数中的分母不能是零。在代数里，整式的除法也有类似的表示。如前面的

例题中，（90÷x）小时可表示成x90小时，［60÷（x-6）］小时可表示成660x小时。

又如n公顷麦田共收小麦m吨，平均每公顷产量（m÷n）吨，可用式子nm吨表示。再如轮船的静水速度为a千米/小时。水流速度为b千米/小时，轮船在逆流中航行s千米所需时间［s÷（a-b）］小时，可用式子bas小时表示。x90、660x、nm、bas 的分母中都含有字母。

一般地，用A、B表示两个整式，A÷B可以表示成BA的形式。如果B中含有字母，式子BA叫做分式。基中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。可见，上列各式都是分式。 由分式的意义可以知道：（1）分式是两个整式的商。其中分子是被除式，分母是除式。在这里分数线可理解为除号，还含有括号的作用。（2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含字母。

式子90x、606x、4yx都不是分式，因为它们的分母都没有字母。（3）在分式里，分母代数式的值随式中字字母取值的不同而变化。字母所取的值有可能使分母为零。因为分式的分母相当于整式除法的除式，所以分母如果是零，则分式没有意义。因此在分式中，分母的值不能是零，例如在x90里，x≠0；在bas

里，a≠b。

例1 当x取什么值时，下列分式有意义？（1）2xx； （2）141xx。

解：（1）由x-2≠0得x≠2，即当x≠2时，分式2xx有意义。 （2）由4x+1≠0得x≠41时，分式141xx有意义。 例2：当x是什么数时，分式522xx的值是零？ 解：由分子x+2=0，得x=-2。而当x=-2时，分母2x-5=-4-5≠0， 所以当x=-2时，分式522xx的值是零。 问题：（1）分式的值为零就是分式没有意义吗？ （2）只要分子的值是零，分式的值就是零吗？以5102xx为例回答此题。

第2课 9.2分式的基本性质（1） 教学分析 重点：分式的意义及其基本性质。难点：分式的变号法则。 教学过程 一、复习 1、什么是分式？ 2、使分式有意义要有什么条件？ 二、新授 分式的基本性质 我们知道，分数基本性质是：分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变。分数的基本性质是约分、通分和化简繁分数的理论根据。分式也有类似的性质，就是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：

MBMABAMBMABA,

其中M是不等于零的整式。 分式的基本性质是分式变号法则。通分，约分及化简繁分式的理论依据。就是说，分式的基本性质是分式恒等变形的理论依据。 例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？

（1）)0(22cbcacba； （2）yxxyx23. 解：（1）∵c≠0， ∵x≠0， ∴bcaccbcaba222， ∴yxxxyxxxyx233. 例2 填空： （1）baabba2； （2）yxxxyx22.

解：（1）∵a≠0，∴baabaaababaabba22，即填a2+ab。 （2）∵x≠0，∴xyxxxxxyxxxyx2222，即填x。 注意： （1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。 （2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。 另：需要注意的问题 1．从回忆算术里分数的基本性质再用类比的方法得出分式的基本性质：

)0(,MMBMABAMBMAB

A.

从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。首先应引导学生认识到分式的基本性质中的A、B、M表示整式。随着知识的扩充，A、B、M还可代表任何代数式。 其次要强调M≠0。在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M是一个含字母的代数式。由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。因此，当我们应用这个性质时，都应考查M这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。

第3课 9.2分式的基本性质（2） 教学分析 重点：分式的意义及其基本性质。难点：分式的变号法则。 教学过程 一、复习 1、分式有意义的条件是什么？2、分式的基本性质是什么？ 二、新授 例3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。

（1）yxyx32213221； （2）baba2.05.03.0.

解：（1）yxyxyxyxyxyx4343632216322132213221. （2）babababababa10253102.0105.03.02.05.03.0. 例4 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号： （1）ab65； （2）yx3； （3）nm2.

解：（1）ababab65)1(6)1(565. （2）yxyxyx33)(3. （3）nmnmnm2)(22. 注意：根据分式的意义和基本性质可以归纳得：分子的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式值不变。 例5 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

（1）21xx； （2）212aa； （3）322xx.

解：（1）1)1(1222xxxxxx. （2）1-1-2-)1(-2-1--222aaaaa

a+=+=.

（3）32)3()2(32222xxxxxx. 注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。 （2）添括号法则：当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。 另：需要注意的问题 1．分式的变号规律是由两条法则概括而成的。第一条：分子和分母同时改变符号，分式的值不变。这一条是根据分式的基本性质推导出来的。第二条：只改变分子（分母）的符号，分式本身的符号也要改变，分式的值才不变。这一条用分式的基本性质是推导不出来的。根据分式的意义，分式表示两个整式相除，所以教科书写道：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。 分式的变号规律在分式变形中经常用到，学生对此又极容易出现错误，所以要给予足够的重视。

第10课 9.4 分式的加减法（3异分母分式加减法） 教学分析 重点：异分母分式的加减运算。难点：最简公分母的确定。 教学过程 一、复习 1、作业讲评 2、练习： 二、新授 1、导读： （1）复习分式的通分，注意通分的注意事项及最简公分母的确定方法。 （2）注意课本3道例题的解题，对每一步的变化要看清楚，并想清其依据。 2、了解自学情况，解答在自学过程中产生的问题。 三、练习 学生P83 1、2、3，注意通分对分子、分母同时变，计算时要注意对分子进行整体的运算。

第4课 9.3分式的乘除法（1约分） 教学重点和难点 重点：分式约分的方法．难点：分式约分时分式的分子或分母中的因式的符号变化． 教学过程设计 一、导入新课 问：下面的等式中右式是怎样从左式得到的？这种变换的理论根据是什么？

答：(1)式中的左边分式的分子与分母都除以2a2b2，得到右式，这里a≠0，b≠0．(2)式中的左边分式的分子与分母都除以(x+y)，得到右式，这里(x+y)≠0．这种变换的根据是分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

本性质． 问：什么是分数的约分？约分的方法是什么？约分的目的是什么？ 答：把一个分数化为与它相等，但是分子、分母都比较小的分数，这种运算叫做约分．对于一个分数进行约分的方法是：把分子、分母都除以它们的公约数(1除外)．约分的目的是把一个分数化为既约分数．分式的约分和分数的约分类似，下面讨论分式的约分． 二、新课

我们观察： (1)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以2a2b2得到的，它是分式的分子与分母的公因式． (2)中左式变为右式，是把左式中的分子与分母都除以它们的公因式(x+y)而得到的． 像(1)，(2)中分式的运算就是分式的约分．把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 一个分式的分子与分母没有公因式时，这个分式叫做最简分式． 把一个分式进行约分的目的，是使这个分式变为最简分式．

为了把上述分式约分，应该先确定分式的分子与分母的公因式，那么分式的分子与分母的公因式是什么？ 答：因为分式的分子与分母都是单项式，取分子、分母中相同因式的最低次幂和分子、分母的系数的最大公约数，把它们的积作为这个分式的分子与分母的公因式．

指出：分子或分母的系数是负数时，一般先把负号移到分式本身的前边．这就同时改变了分式本身与分子或分母的符号，所以分式的值不变．

例2 约分： 分析：(1)，(2)的分子、分母都是多项式，并且都能分解因式，可以先分解因式，再分别确定分子与分母的公因式．

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八下8.2分式的基本性质(1)

八下8.2分式的基本性质(1)


3a 6ab (3) (b 0) a 6 2ab 12b
9x 4 ( x 2 ) (4)3x 2
2
3x 2
3
例1、填空
x (5)
(6)
2
2 xy
2
x 4y
2
2

x x 2y
6a 2ab
2a
3a b
填空
a 1 1 、 2b 2ab
x (1) 2 1 x
(2)
y y 2 y y
2
x x x 解（ ） 2 1 2 2 1 x ( x 1) x 1
y y ( y y) y y (2) 2 2 2 y y y y y y
2 2 2
3a 1、将 a b中的a、b都变为原来的3 倍,则分式的值 ( A )
3ac 3a 2 、 4b 4b c
a 3 、
b a 2 b2
2 2
2

a－b
a b
a b 4、 a b
a b 1
例2 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中 各项的系数都化为整数。
1 m 0.5 0.5 x y (1) 3 (2) 0.2 x 4 1 0.25m 0.5 x＋y 0.5 x＋y 10 5 x 10 y 解 (1) ： 0.2 x 4 0.2 x 410 2 x 40
12 x 30 y 1、 20 x 15
10 x 6 y 2、 60 x 5 y
例3 不改变分式的值，使下列分式的分子和 分母都不含“-”号：
5b (1) 6a
(2)
x 3y
(3)
2m n
八年级数学分式的基本性质(一)(北师版)(基础)(含答案)

八年级数学分式的基本性质(一)(北师版)(基础)(含答案)

分式的基本性质（一）（北师版）（基础）一、单选题(共11道，每道9分)1.根据分式的基本性质，分式可变形为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：依据分式的基本性质可知：故选C试题难度：三颗星知识点：略2.下列分式：①；②；③；④，从左到右的变形，错误的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：根据分式的基本性质对各个选项进行判断：①，分子中的y没有乘2，变形错误；②，不符合分式的基本性质，变形错误；③，分母中的b没有乘-1，变形错误；④，分子分母不是乘的同一个整式，变形错误；所以四个都是错误的.故选D试题难度：三颗星知识点：略3.下列选项错误的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选项A正确；，故选项B正确；，故选项C错误；分子分母同时扩大10倍，得，故选项D正确．故选C．试题难度：三颗星知识点：略4.若分式（，均为正数）中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )A.扩大为原来3倍B.缩小为原来的C.不变D.缩小为原来的答案：B解题思路：，所以分式的值缩小为原来的．故选B．试题难度：三颗星知识点：略5.若的值均扩大到原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：A：，不符合题意；B：，不符合题意；C：，不符合题意；D：，符合题意．故选D．试题难度：三颗星知识点：略6.不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，那么所得的正确结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，则分子分母需要同时扩大10倍，即．故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.南京至上海的铁路长300km，原来某列车的行驶速度是60km/h，为了适应经济的发展，该列车的行驶速度每小时比原来增加了2akm，现在由南京到上海所用时间为( )小时.A. B.C. D.答案：A解题思路：∵该列车的行驶速度每小时比原来增加了2akm∴该列车的行驶速度为（60+2a）km/h∴现在本次列车由南京到上海所用的时间为小时故选A试题难度：三颗星知识点：略8.走一段长10千米的路，步行用4x小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少0.2小时，则骑自行车的平均速度为( )千米/小时.A. B.C. D.答案：C解题思路：∵骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少0.2小时∴骑自行车所用时间为（2x-0.2）小时∴骑自行车的平均速度为千米/小时故选C试题难度：三颗星知识点：略9.一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需要t小时，如果该车的行驶速度增加3v（千米/时），那么从A城到B城需要( )小时.A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意可得，A城到B城的距离为60t如果该车的行驶速度增加3v，那么增加后的速度为（60+3v）所以增速后从A城到B城需要小时故选B试题难度：三颗星知识点：略10.果园里一共栽了1000颗树，其中有10行桃树，每行4a颗，梨树比桃树每行多栽8颗，则梨树栽的行数是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意可得，果园里栽的桃树的数量为，∴果园里栽的梨树的数量为，∵梨树比桃树每行多栽8颗∴果园里栽的梨树的行数为；故选A试题难度：三颗星知识点：略11.小红要打一份20000字的文件，第一天她打字100min，打字速度为a字/min，第二天她打字速度是第一天打字速度的2倍还多10字，若两天打完全部文件，则第二天她打字用了( )min.A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意可得，第一天她打了100a字，∴第二天她需要打20000-100a，∵第二天她打字速度是第一天打字速度的2倍还多10字，∴第二天她打字速度为2a+10，∴第二天她打字用了；故选A试题难度：三颗星知识点：略。

分式的基本性质(1)(2)

分式的基本性质(1)(2)

分式的基本性质（1）【学习目标】1．了解分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质进行分式的变形．2．会用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则．３. 会用分式的基本性质约分．【教学重难点】用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则【学习过程】任务1：类比分数的基本性质探求分式的基本性质1、小学里学过的分数的基本性质的内容是什么？由分数的基本性质可知，如数c ≠0,那么c c 3232=，5454=c c 2、你能通过分数的基本性质猜想分式的基本性质吗？试一试归纳：分式的基本性质： __用式子表示为任务2：用分式的基本性质探求分式变形中的符号法则1 、 下列等式成立吗？为什么？－a －b ＝a b ； －a b ＝a －b ＝－a b.练习 运用分式的基本性质进行分式的变形(1) 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号：ab 32-- －3x 2y －－x 2y2、 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数都化为正数：(1)x ＋1－2x －1 (2)2－x －x 2＋3 (3) 11--+-x x3、不改变分式的值，把下面分式中分子，分母的各项系数化为整数：（1） b a b a 31413421-+ （2） y x b a -+05.05.03.0 （4）22221032332y x y x --4、填空：(1)x 3xy ＝（ ）y ，3x 2＋3xy 6x 2＝x ＋y （ ）； (2)1ab ＝（ ）a 2b ，2a －b a 2＝（ ）a 2b.(b≠0)任务3：运用分式的基本性质约分．64= ____ b b 1510= ______ 24b 2ba = _______ 例1．约分：(1)cab bc a 2321525-； (2)x 2－9x 2＋6x ＋9 (3)6x 2－12xy ＋6y 23x －3y .分析：为约分，要先找出分子和分母的 ．若分子和分母都是多项式，则往往需要把分子、分母 ，然后才能进行约分．约分后，分子与分母没有公因式，我们把这样的分式称为 ．(不能再化简的分式)例2．判断下列分式是否为最简分式：（1）2263ab b （2）293b a （3）ab b a )(+ （4）23yxy练习：约分： (1)2232axy y ax =__________ (2)－2a （a ＋b ）3b （a ＋b ）=__________ (3) m 2－3m 9－m 2=__________； (4) x 2－4xy ＋2y=__________ (5)22222yxy y x +-=__________ ; (6)212323+--a a a a ________例3如果把yx y 322-中的x 和y 都扩大到5倍，则分式的值怎样变化？练习：分别把下列分式中的字母的值都缩小为原来的2倍，分式的值怎么变化（1）b a b a -+2 （2）ab b a + （3）22222yxy y x +-任务四：课堂检测必做题1、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“—”号：（1）n m 2-= 、（2）—2ba -= 。

15.1.2分式的基本性质(教案)

15.1.2分式的基本性质(教案)

（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、基本性质和它在实际问题中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在完成“15.1.2分式的基本性质”这一章节的教学后，我对自己的一些教学方法和学生的反馈进行了思考。我发现，分式的概念和性质对于学生来说并不容易掌握，尤其是分式运算的法则，学生在实际操作中容易混淆和出错。
3.数学抽象能力：让学生从具体实例中抽象出分式的性质，提高数学抽象思维能力。
4.数学运算能力：掌握分式运算的法则，培养学生准确、熟练地进行分式计算的能力。
5.团队合作与交流能力：在小组讨论和问题解决过程中，培养学生与人合作、表达和倾听他人意见的能力，提高学生的沟通与协作素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式的定义：理解分式的概念，明确分子与分母的关系，以及分式表示的数学意义。
-分式的性质：掌握分式的分子分母同时乘以（或除以）同一个非零数或分式时，分式的值不变的规律。
-分式运算的法则：熟练运用分式乘法、分式除法、分式乘除混合运算的法则进行计算。
举例解释：
-通过具体实例（如分数的表示），让学生理解分式的定义，强调分式表示的是一种比例关系。
-通过数学推导和实例演示，让学生掌握分式性质中的“不变性”，并能够运用这一性质简化分式计算。
-通过实际计算题，让学生在实践中掌握分式运算的法则，如分式乘法中，分子乘以分子，分母乘以分母等。
2.教学难点
-分式性质的运用：学生在运用分式性质时，往往难以灵活运用，特别是涉及到分式的乘除运算。
-分式运算的符号处理：学生在进行分式运算时，容易混淆乘除符号，导致计算错误。