4.6曲线的凹凸与拐点

第四节 导数的应用
§2.4.3 曲线的凹凸性与拐点
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1
一、曲线的凹凸性与拐点
观察下列两图的特点：
yf(x)
y
B
A
y
yf(x)
A
B
o
x
o
x
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2
１.曲线凹凸性的定义
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A A
oa
bx
oa
bx
定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切
线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹 区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲 线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.
函数凹凸性
凹凸区间
凹凸区间分界点（拐点）
怎样判断曲线的拐点呢？
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前已述及:
凹曲线 切线斜率k↗ f (x)单增f(x)0 凸曲线 切线斜率k↘ f (x)单减f(x)0
所以: 拐点
凹凸性分界点
f (x)单调性分界点
f(x)0的点f或 (x)不存在的
立一 不但 定反 成向
例如 f(x)x4
4
(2) 令 f ( x ) 0 ,得 x 1 0 ,x 2 2 (3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:
x f"(x) f (x)
(-∞,0) ＋ 凹0 (0,2) 2(2, +∞)
0
－
0
＋
拐点 (０，–５)
凸
拐点 （2，–17）
凹
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， 例3 已 ( 1 ,3 知 ) 为 y a 点 3 x b 2 的 x 求 拐 a 和 b 的 点

77 曲线的凹凸性与拐点一、基本内容1. 曲线凹凸性的定义：联结曲线上任意两点的弦总位于这两点间的弧段的上方，则是凹的，反之是凸的。

2. 曲线凹凸性的判定：（1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 是凹的；（2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 是凸的。

3. 拐点的求法：见题型一。

二、学习要求会用导数判断函数图形的凸凹性和拐点三、基本题型及解题方法题型1 求曲线的拐点，判断曲线的凹凸性及凹凸区间解题方法：（1）求)(x f ''；（2）令0)(=''x f ，解出在区间I 内的全部实根，并求出在区间I 内)(x f ''不存在的点；（3）对步骤（2）中求出的每一个点，检查其左右两侧邻近)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点。

【例1】求下列函数图形的凹凸区间和拐点：（1）14334+-=x x y ； （2）)7ln 12(4-=x x y 解：（1）函数的定义域为（∞-，∞+）231212x x y -='，)23(1224362-=-=''x x x x y 令0=''y 得0=x 与32=x 列表讨论y ''的符号及曲线的凹凸和拐点：78综上，曲线的凹区间为（∞-，0）与(3，∞+)，凸区间为（0，3），拐点为（0，1）与 （32，2711）。

（2）函数的定义域为（0，∞+）3312)7ln 12(4x x x y +-='，x x x x x x y ln 1443648)7ln 12(122222=++-='' 令0=''y 得1=x列表讨论y ''的符号及曲线的凹凸和拐点：综上，曲线的凹区间为（1，∞+），凸区间为（0，1），拐点为（1，-7）。

四、同步练习（一）选择题：1．下列曲线()x f y =在定义域内凹的是（ ）A ．x e y -=；B ．()21ln xy +=； C ．32x xy -=； D ．x y sin = 2．曲线x xe y -=的拐点是（ ） A ．()22,2-e ； B ．（0，0）； C ．(1,1-e) ； D ．()2,2-e 3．曲线2x e y -=（ ）A ．无拐点；B ．有一个拐点；C ．有两个拐点；D ．有三个拐点（二）解答题：1．求233x x y +=的拐点和凹凸区间。

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例1 判断曲线 y = x 3 的凹凸性 . 解 ∵ y′ = 3 x 2 , y′′ = 6x ,
当x < 0时， y′′ < 0,
∴ 曲线 在(−∞ ,0]为上凸的； −∞ 为上凸的；
当x > 0时， y′′ > 0, ∴曲线 在[0,+∞ )为凸的；
注意到, 注意到 点( 0,0 )是曲线由凹变凸的分界 点.
则 f ′′( x ) = [ f ′( x )]′在x0两边变号 ,
∴ f ′( x )在x0取得极值 ,由可导函数取得极值的 条件,
∴ f ′′( x0 ) = 0.
方法1: 方法1:设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,
(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
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图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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I , 定义 设f ( x)在区间 上有定义 若∀x1 , x2 ∈ I和∀λ ∈(0,1) 恒有 f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf ( x1 ) + (1 − λ) f ( x2 ), 那末称 f ( x)为I上的下凸函数 简称凸函数 ; ，
( 理2 定 2 如 f (x)在 x0 − δ , x0 + δ )内 在 阶 理 果 存 二 导
( x0 , f ( x0 ))是拐点的必要条件是f "( x0 ) = 0. 数则 , 点

曲线的凹凸性与拐点上一节我们利用导数研究了函数的单调性和极值。

函数的单调性反映在图形上，就是曲线的上升和下降，但曲线在上升或下降的过程中还有一个弯曲方向的问题。

例如，图143--中有两条曲线弧，虽然它们都是上升的，但图形却有显著不同，ACB 是向上凸的曲线弧，而ADB 是向上凹的曲线弧，它们的凹凸性不同，接下来我们就来研究曲线的凹凸性及其拐点。

一、曲线凹凸性的定义从几何上看，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结着两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方（图)(243a --），而有的曲线弧，则正好相反（图)(243b --）。

曲线的这种性 图143-- 质就是曲线的凹凸性 。

因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。

)(a )(b图243--定义1 设)(x f 在区间I 连续，若对于I 上任意两点1x 和2x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；若恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 则称)(x f 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

一般情况下，在函数的整个定义域内，其曲线的凹凸性并不一致。

通常把连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

二、曲线凹凸性的判定曲线的凹凸性有明显的几何特征。

当x 逐渐增加时，对于凹曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐增加的（如图)(343a --），即导函数)(x f '是单调增加函数；而对于凸曲线，其上每一点的切线斜率是逐渐减少的（如图)(343b --），即导函数)(x f '是单调减少函数。

与此几何特征相对应，有下述判断曲线凹凸性的定理。

)(a )(b图343--定理1 设函数)(x f 在I 内具有一阶和二阶导数，若在I 内 （1）0)(>''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凹的； （2）0)(<''x f ，则曲线)(x f 在I 上的图形是凸的。