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高中数学导数知识

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导数与地理环境复习 第01讲：导数的概念、几何意义及其运算 高考《考试大纲》的要求： ① 了解导数概念的实际背景； ② 理解导数的几何意义；

③能根据导数定义，求函数xyxyxyCy1,,,2的导数 ④ 能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ： NnnxxCCnn,)(;)(01''为常数； ;sin)(cos;cos)(sin''xxxx

aaaeexxxxln)(;)(''； exxxxaalog1)(log;1)(ln''

法则1： )()()]()(['''xvxuxvxu 法则2： )()()()()]()(['''xvxuxvxuxvxu 法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''xvxvxvxuxvxuxvxu （一）基础知识回顾： 1.导数的定义：函数)(xfy在0x处的瞬时变化率xxfxxfxyoxx)()(limlim000称为函数)(xfy在

0xx处的导数，记作)(0/xf或0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/

如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf。称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y，即)(/xf＝/y＝xxfxxfx)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(xfy在0x处的导数0/xxy，就是导函数)(/xf在0x处的函数值，即0/xxy＝)(0/xf。 2. 由导数的定义求函数)(xfy的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量)()(fxfxxf; （2）.求平均变化率xxfxxfx)()(f; （3）.取极限，得导数/y＝xxflim0。 3.导数的几何意义：函数)(xfy在0x处的导数是曲线)(xfy上点()(,00xfx)处的切线的斜率。 因此，如果)(0xf存在，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为______________________。 4.常用的求导公式、法则（除上面大纲所列出的以外，还有）：

（1）公式1/)(nnnxx的特例：①)x(______; ②x1_______, ③)x(_________.

（2）法则：①/)]([xfc________; ②若)(),(xuufy，则xy=_______________. （二）例题分析： 例1. 已知y=x1，用导数的定义求y′.

例2.设曲线11xyx在点(32)，处的切线与直线10axy垂直，则a（ ） A．2 B．12 C．12 D．2

例3.曲线y=xx331在点（1，34）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） （A）91 （B） 92 （C） 31 （D）32 例4.已知直线1l为曲线22xxy在点（1，0）处的切线， 2l为该曲线的另一条切线，且.21ll （Ⅰ）求直线2l的方程； （Ⅱ）求由直线1l、2l和x轴所围成的三角形的面积. 第02讲： 导数在研究函数中的应用 高考《考试大纲》的要求： ① 了解函数单调性和导数的关系:能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间（其中多项式函数一般不超过三次） ② 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件：会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭期间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次） （一）基础知识回顾： 1. 设函数)(xfy在某个区间（a,b）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(xfy在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(xfy是这个区间内单调递减.

2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数)x(fy； （2）解方程0)x(f； （3）使不等式0)x(f成立的区间就是递增区间，使0)x(f成立的区间就是递减区间。 3. 求函数)(xfy的极值的方法： （1）求导数)x(fy； （2）求方程＿＿＿＿＿＿＿＿的根（临界点）； （3）如果在根0x附近的左侧)x(f____0，右侧)x(f____0，那么)x(f0是)(xfy的极大值；如果在根0x附近的左侧)x(f____0，右侧)x(f____0，那么)x(f0是)(xfy的极小值 4．在区间 ba,上求函数 )(xfy的最大值与最小值 的步骤： （1）求函数 )(xfy在),(ba内的导数 ； （2）求函数 )(xfy在),(ba内的极值 ；

（3）将函数)(xfy在),(ba内的各极值与端点处的函数值)(),(bfaf作比较， 其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 5．有关最值的几个结论: (1) 闭区间ba,上的连续函数必定有最大值和最小值; (2) 若函数)(xfy(b,ax)单调递增,则最小值是________,最大值是_______. （二）例题分析： 例1．已知函数bxaxxxf23)(23在点x=1处有极小值-1． 试确定a、b的值．并求出f（x）的单调区间． 例2．设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值. (Ⅰ)求a、b的值; （Ⅱ）若对于任意的x,3,0〕〔都有f (x)＜c2成立，求c的取值范围. 1.设Ra，若函数axeyx，Rx有大于零的极值点，则（ ）

A．1a B. 1a C. ea1 D. ea1 2．如果函数()yfx的图像如右图,那么导函数,()yfx的图像可能是（ ）

3．。函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数（ ） （A）(2，23) （B）(，2) （C）(23，25) （D）(2，3)

第03讲： 导数的实际应用 （一）基础知识回顾： 1.结论：若函数f(x)在区间A上有唯一一个极值点0x，且)(0xf是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f(x)在区间A上的最大（小）值。 2.定积分的几何意义：badxxf)(表示由直线__________,_________,__________和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积。 3．微积分基本定理（牛顿---莱布尼兹公式）：如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且)()(xfxF，那

么baaFbFdxxf)()()(。常常把)()(aFbF记作baxF|)(。 （二）例题分析： 例1.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 例2.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x（单位：元，300x）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件. (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;(Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 例3．已知直线l与曲线44xx)x(f2相切于一点P，且与x轴、y轴的正半轴分别交于BA、两点，O为坐标原点，则当三角形AOB的面积最大时，求切点P的坐标和直线l的方程，并求出三角形AOB面积的最大值 1.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为ykm． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式： ① 设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式； ② 设OPx(km) ，将y表示成xx的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 。

第04讲： 导数的综合应用 1.设函数323()(1)1,32afxxxaxa其中为实数。 （Ⅰ）已知函数()fx在1x处取得极值，求a的值； （Ⅱ）已知不等式'2()1fxxxa对任意(0,)a都成立，求实数x的取值范围。 2.设函数()bfxaxx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为 74120xy。（1）求()yfx的解析式；（2）证明：曲线()yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx

所围成的三角形面积为定值，并求此定值。 3.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1 在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且00; （2）若z=a+2b,求z的取值范围。

地球的圈层结构 题组一：地震波特点 (原创题)地球内部的结构，人类无法直接观察，到目前为止，主要来自对地震波的研究。据此回答1～2题。

CBPOAD 1．在地下2 900千米处，纵波的传播速度突然下降，横波完全消失，可推测地球内部圈层当中为液体的是 ( ) A．软流层 B．上地幔 C．下地幔 D．外核 2．地震发生时，附近轮船上的人的感觉是 ( ) A．左右摇晃 B．上下颠簸 C．先左右摇晃，后上下颠簸 D．先上下颠簸，后左右摇晃 解析 地震波分为纵波和横波，横波能使人左右摇晃，只能在固体中传播；而纵波能使人 上下颠簸，可在固体、液体、气体中传播，结合题目条件可得出结论。 题组二：地壳的厚度特点 读“我国大陆部分地壳等厚度线图”，完成3～4题。 3．图示地区的地壳厚度 ( ) A．由西向东逐渐增厚 B．由北向南逐渐增厚 C．由东向西逐渐增厚 D．由南向北逐渐增厚 解析 由图中等值线的数值可直接读出。 4．图中M和N所对应的地形区分别是 ( ) A．塔里木盆地、吐鲁番盆地 B．青藏高原、四川盆地 C．黄土高原、汾河谷地 D．四川盆地、大别山区 解析 根据图中的经纬度定位可确定M、N的位置。 题组三：地球圈层结构与特点 5．(2010·安徽马鞍山诊断)阅读下面的材料，回答问题。 材料一 5月12日14时28分，一个世人永远铭记的时刻，四 川汶川发生了8.0级特大地震。这场新中国成立以来破坏性最强、波及范围最广、救灾难度最大的地震瞬间袭来，山崩地裂、江河寸断，数万人被夺去生命，几百万同胞失去家园。5月12日14点20分，纪念四川汶川特大地震一周年纪念活动在映秀镇举行。 材料二 地球内部圈层示意图(右图) (1)地震发生时释放出巨大的能量，下列说法正确的是( ) A．地震通过地震波向外释放出能量 B．地球的内能主要来源于太阳辐射 C．地震发生时，首先到达地面的是地震波中的横波 D．发生在海洋中的强烈地震不会对人类产生危害 (2)结合材料二判断两个不连续面A为莫霍界面，B为古登堡界面，地震波通过B界面时， 波速变化有何特征？ 答案 纵波传播速度突然下降，横波完全消失。 (3)填出图中字母代表的圈层名称：C地壳，D＋E地幔，F＋G地核。 (4)自己设计图例，并在图中画出岩石圈的范围。 答案 岩石圈指地壳和上地幔顶部(软流层以上部分)，画图略。 (5)如何推断地球内部各圈层的物质是固态还是液态？ 答案 由于纵波可以通过固体、液体、气体三态传播，而横波只能通过固体传播，因此

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高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义

高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义

高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义1．f/0imf0f00叫函数f在0处的导数，记作|0。

/注：①函数应在点0的附近有定义，否则导数不存在。

②在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可能为0。

③是函数f对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线f上点（0，f0）及点（0，/f00）的割线斜率。

④导数f0imf0f0是函数f在0点0的处瞬时变化率，它反映的函数f在0点处变化的快慢程度，它的几何意义是f0f0曲线f上点（0，f0）处的切线的斜率。

⑤若极限im不0存在，则称函数f在点0处不可导。

⑥如果函数f在开区间a,b内每一点都有导数，则称函数f在开区间a,b内可导；此时对于每一个∈a,b，都对应着一个确定的导数f/，从而构成了一个新的函数f/，称这个函数f/为函数简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：f在开区间a,b内的导函数，求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。

/[举例1]若f02，则imf0f02等于：0A-1B-2C1D1/2/解析：∵f02，即imf[0]f0n0=2imf0f02n1=-1。

0[举例2]已知a0,n为正整数设a，证明"nan解析：本题可以对a展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：/imaan1n1nn0=0imaCnaCna2n2Cna2nnn=0imnan1Cna2n2Cn2nnn1=nn10im[naCna2n2Cna3n3Cnt1t22]=nan1。

2[巩固1]一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S定义求t=3时的速度。

2t，试用导数的[巩固2]设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为C＝C（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比CqCq0qCq0无限趋近于0时，Cq无限趋近于常数A，0时，增加单位产量需付出成本A（这是实际付出成本的一个近似值）。

(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结

(完整版)高中数学导数与函数知识点归纳总结

高中导数与函数知识点总结归纳一、基本概念1.导数的定义：设x 0是函数y =f (x )定义域的一点，如果自变量x 在x 0处有增量∆x ，则函数值y 也引起相应的增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)；比值率；如果极限lim ∆y f (x 0+∆x )-f (x 0)称为函数y =f (x )在点x 0到x 0+∆x 之间的平均变化=∆x ∆xf (x 0+∆x )-f (x 0)∆y 存在，则称函数y =f (x )在点x 0处可导，并把这个极限叫做=lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x y =f (x )在x 0处的导数。

f (x )在点x处的导数记作y 'x =x=f '(x 0)=lim∆x →0f (x 0+∆x )-f (x 0)∆x2导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程）函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义就是曲线y =f (x )在点(x 0,f (x ))处的切线的斜率，也就是说，曲'线y =f (x )在点P (x 0,f (x ))处的切线的斜率是f (x 0)，切线方程为y -y 0=f (x )(x -x 0).'3．基本常见函数的导数:n①C '=0;（C 为常数）②x ()'=nx x x n -1;③(sin x )'=cos x ;④(cos x )'=-sin x ;⑤(e )'=e ;⑥(a )'=a ln a ;⑦(ln x )'=x x 11;⑧(l o g ax )'=logae .xx二、导数的运算1.导数的四则运算：法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：⎡'⎣f (x )±g (x )⎤⎦=f '(x )±g '(x )法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：⎡'=f '(x )g (x )+f (x )g '(x )f x ⋅g x ⎤()()⎣⎦常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：(Cf (x ))'=Cf '(x ).(C为常数)法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎡f (x )⎤'f '(x )g (x )-f (x )g '(x )g (x )≠0)。

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总

高中数学函数与导数_高中数学函数与导数知识点汇总第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。

函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。

复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。

函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。

判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。

在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。

多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。

高中导数的基本概念

高中导数的基本概念

高中导数的基本概念导数，作为微分学的重要概念之一，是数学中的一个基本概念。

它对于理解函数的变化趋势以及求取函数的极值非常重要。

在高中阶段的数学学习中，导数的基本概念是必不可少的。

本文将会介绍高中导数的基本概念，并探讨其在数学和实际应用中的重要性。

一、导数的定义与求解方法导数的定义是函数在一点处的变化率，可以用极限来表示。

设函数y=f(x)，若极限lim (h→0) [f(x+h)-f(x)]/h存在，那么它就是函数f(x)在点x处的导数，记作f'(x)。

如果这个极限不存在，那么称函数在x处不可导。

对于求解导数的方法，高中阶段主要学习了常用初等函数的导数，以及常用导数的性质和运算法则。

在具体求导的过程中，可以应用基本的导数运算法则，如常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、除法法则等。

这些求导法则的掌握是求取函数导数的关键。

此外，还需要注意复合函数的求导以及隐函数求导等特殊情况。

二、导数的几何意义和重要性导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。

通过求导可以得到函数在某个点的切线斜率，从而可以描绘出函数图像的变化趋势。

具体地说，导数为正表示函数图像在该点上升；导数为负表示函数图像在该点下降；导数为零表示函数图像在该点存在极值点。

这些几何意义帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

导数在数学和实际应用中起着重要的作用。

在数学上，导数是微积分理论的重要组成部分，是函数研究的基础。

通过对函数导数的求取和分析，可以得到函数的最值、极值点、凸凹区间等信息。

同时，导数也是求取函数的微分方程、积分等的重要工具。

在实际应用中，导数在物理学、经济学、工程学等领域具有广泛的应用。

例如，物理学中的速度、加速度等概念与导数密切相关；经济学中的边际效应、边际收益等概念也与导数有关。

三、导数的应用举例导数的应用非常广泛。

以下举例说明导数在实际问题中的应用。

1. 速度与加速度在物理学中，速度和加速度分别是位移和速度对时间的导数。