湖北省武汉市2011届高中毕业生四月调研数学试卷(理)

试卷类型:B 武汉市2011届高中毕业生四月调研测试理科综合试卷武汉市教育科学研究院命制 2011.4.15本试卷共13页。

满分300分。

考试用时150分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上。

2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

答在试卷上无效。

3. 非选择题的作答：用0. 5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内答在试卷上无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,请将本试砝和答题卡一并上交。

选择题共21小题,每小题6分,共126分。

以下数据可供解题时参考：相对原子质量 H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 S 32一、选择题(本题共13小题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 微生物可以通过改变酶的合成和酶的活性来调节代谢,下列有关叙述正确的是A. 在酶活性调节中，代谢产物与酶的结合是不可逆的B. 与酶活性调节相比,酶合成的调节更为快球、精细C. 改变细胞膜的通透性，在一定程度上可以解除酶活性的抑制D. 诱导酶在细胞内一直存在，其合成只受遗传物质的控制2. 抗原首次进人机体后,会引起机体产生的变化是A.效应T细胞增殖分化B. B淋巴细胞细胞周期变长C.产生的记忆细胞记住抗原的特征D.呼吸道中的某些细胞分泌组织胺3. 下列关于限制性内切酶的说法的是A. 限制性内切酶主要是从微生物细胞中分离提纯的B. 限制性内切酶不能将目的基因连接到不同的运载体hC. 一种限制性内切酶只能识别一种特定的核苷酸D. 限制性内切酶既可切割链状DNA也可切割环状DNA4.右图为某种群的数量变化曲线，为长期处于相对稳态时该种群数量达到环境条件允许的最大值，b点由于某种因素的改变，最大值由K1变为K2。

2014年湖北省武汉市高三四月调研数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数a+i 3+4i−1（a 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则a =( )A 7B −7C 43D −432. 若一元二次不等式2kx 2+kx −38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为（ ） A (−3, 0) B [−3, 0] C [−3, 0) D (−3, 0]3. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是( )A 108cm 3B 100cm 3C 92cm 3D 84cm 34. 已知命题p:∃φ∈R ，使f(x)=sin(x +φ)为偶函数；命题q:∀x ∈R ，cos2x +4sinx −3<0，则下列命题中为真命题的是（ ）A p ∧qB (￢p)∨qC p ∨(￢q)D (￢p)∧(￢q)5. O 为坐标原点，F 为抛物线C:y 2＝4√2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4√2，则△POF 的面积为（ ）A 2B 2√2C 2√3D 46. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则cosAcosB =( ) A 14B 16C 12D 237. 安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数共有（ ）种．A 180B 240C 360D 4808. 设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1<λ2<λ3，则函数f(x)=a 1x−λ1+a 2x−λ2+a 3x−λ3的两个零点分别位于区间（ ）A (−∞, λ1)∪(λ1, λ2)内B (λ1, λ2)∪(λ2, λ3)内C (λ2, λ3)∪(λ3, +∞)内D (−∞, λ1)∪(λ3, +∞)内9. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，CA =CB =1，P 为△ABC 内一点，过点P分别引三边的平行线，与各边围成以P 为顶点的三个三角形（图中阴影部分），则这三个三角形的面积和的最小值为（ ） A 19B 18C 16D 1310. 设函数f(x)=x 3+3bx 2+3cx 有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈[−1, 0]，x 2∈[1, 2]，则（ ）A −10≤f(x 1)≤−12B −12≤f(x 1)≤0 C 0≤f(x 1)≤72D 72≤f(x 1)≤10二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．（一）必考题（11-14题）11. 一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表：由表中数据，求得线性回归方程y ¯=0.65x +a ¯，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为________分钟．12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是________．13. 在计算“1×2+2×3+...+n(n +1)”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：k(k +1)=13[k(k +1)(k +2)−(k −1)k(k +1)]， 由此得1×2=13(1×2×3−0×1×2)， 2×3=13(2×3×4−1×2×3)， …n(n +1)=13[n(n +1)(n +2)−(n −1)n(n +1)]， 相加，得1×2+2×3+...+n(n +1)=13n(n +1)(n +2)，类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+...+n(n +1)(n +2)”， 其结果为________．14. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则 （1）函数f(t)的解析式为________；（2）函数y =f(t)的图象与直线t =2、t 轴围成的图形面积为________．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）（选修4-1：几何证明选讲）15. 如图，在△ABC 中，∠C =90∘，∠A =60∘，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD 于D ．BD 与外接圆交于点E ，已知DE =5，则△ABC 的外接圆的半径为________．（选修4-4：坐标系与参数方程）16. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线ρsin(θ+π3)=12与曲线{x =12(t +1t)y =t −1t（t 为参数）相交于A ，B 两点，若M 为线段AB 的中点，则直线OM 的斜率为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量a →=(cosx −sinx, cosx +sinx)，b →=(cosx, −sinx)，c →=(2, 1)，其中x ∈[0, π]．（1）若(3a →+4b →) // c →，求x ；（2）设函数f(x)是a →在b →方向上的投影，在给出的直角坐标系中，画出y =f(x)在[0, π]的18. 在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，已知a 3=32，S 3=92．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得S n −S n+2=332？，并说明理由．19. 如图，在底面是菱形的四棱锥P −ABCD 中，∠ABC =60∘，PA =AC =1，PB =PD =√2，点E 在PD 上，且PE =2ED ． （1）求二面角P −AC −E 的大小；（2）试在棱PC 上确定一点F ，使得BF // 平面AEC ．20. 一个袋中装有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率为25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率为79．（I ）若袋中共有10个球； （1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求ξ的数学期望E(ξ)． （II ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．21. 如图，A ，B 是椭圆C:x 24+y 2=1的左、右顶点，M 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线BM 与直线l:x =4分别交于C ，D 两点． （1）若|CD|=4，求点M 的坐标；（2）记△MAB 和△MCD 的面积分别为S 1和S 2．是否存在实数λ，使得S 1=λS 2？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 22. 已知函数f(x)=ln(x +1)−x ． （1）求f(x)的最大值；（2）设g(x)=f(x)−ax 2(a ≥0)，l 是曲线y =g(x)的一条切线，证明：曲线y =g(x)上的任意一点都不可能在直线l 的上方；（3）求证：(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)…[1+2n(2n+1+1)(2n +1)]<e （其中e 为自然对数的底数，n ∈N ∗）．2014年湖北省武汉市高三四月调研数学试卷（理科）答案1. A2. A4. C5. C6. A7. D8. B9. C 10. C 11. 102 12. −113. 14n(n +1)(n +2)(n +3)14. f(t)={√32t 2，0<t ≤1−√32(t −2)2+√3，1<t ≤2；√3．15. 10 16. −4√3317. 解：（1）由已知，得3a →+4b →=(7cosx −3sinx, 3cosx −sinx)； ∵ (3a →+4b →) // c →，又c →=(2, 1)， ∴ 7cosx −3sinx −2(3cosx −sinx)=0， 化简，得cosx =sinx ， ∴ tanx =1； ∵ x ∈[0, π]， ∴ x =π4； （2）∵ f(x)=|b →|˙=(cosx −sinx)cosx +(cosx +sinx)(−sinx) =cos 2x −sin 2x −2sinxcosx =cos2x −sin2x=√2(√22cos2x −√22sin2x)=√2cos(2x +π4)，；∴ 画出y =f(x)在[0, π]的图象为18. 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3=a 1+a 2+a 3=a 3(q −2+q −1+1)=92， 由a 3=32可得q −2+q −1+1=3，整理可得2q 2−q −1=0，解得q =1，或q =−12，当q =1时，a n =a 3=32，当q =−12时，可得a 1=6，a n =6×(−12)n−1；（2）由（1）知，当q =1时，S n =32n ，S n −S n+2=−3≠332，当a 1=6，q =−12时，S n =6[1−(−12)n ]1−(−12)=4[1−(−12)n ]，由S n −S n+2=332可得4[1−(−12)n ]−4[1−(−12)n−2]=332，化简可得−3(−12)n =332，即(−12)n =−132，解得n =5 综上可得存在正整数n =5，使得S n −S n+2=332 19. 解：（1）∵ 底面ABCD 是菱形，∠ABC =60∘， ∴ AB =AD =AC =1，在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2=PB 2，知PA ⊥AB ， 同理PA ⊥AD∴ PA ⊥平面ABCD ．建立坐标系，则A(0, 0, 0)，B(√32, −12, 0)，C(√32, 12, 0)，P(0, 0, 1)，D(0, 1, 0)，E(0, 23, 13)， ∴ AC →=(√32, 12, 0)，AE →=(0, 23, 13)，设平面ACE 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{√32x+12y =023y +13z =0，可取n →=(1, −√3, 2√3)，同理平面ACP 的一个法向量为m →=(√32, −32, 0)，∴ cos <n →，m →>=12，∴ 二面角P −AC −E 的大小为60∘；（2）存在点F 为PC 的中点，使BF // 平面AEC ． 理由如下：取棱PC 的中点F ，线段PE 的中点M ，连接BD ．设BD ∩AC =O ． 连接BF ，MF ，BM ，OE ．∵ PE:ED =2:1，F 为PC 的中点，E 是MD 的中点， ∴ MF // EC ，BM // OE ．∵ MF ⊄平面AEC ，CE ⊂平面AEC ，BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， ∴ MF // 平面AEC ，BM // 平面AEC ． ∵ MF ∩BM =M ，∴ 平面BMF // 平面AEC ． 又BF ⊂平面BMF ， ∴ BF // 平面AEC ． 20. （I ）解：（1）记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ， 记袋中白球个数为x ，则 P(A)=1−C 10−x 2C 102=79，解得x =5，∴ 白球有5个．（2）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=C 53C 103=112，P(ξ=1)=C 51C 52C 103=512， P(ξ=2)=C 52C 51C 103=512，P(ξ=3)=C 53C 103=112，∴ Eξ=0×112+1×512+2×512+3×112=32．（II ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得y =25n ， ∴ 2y <n ，2y ≤n −1，∴ yn−1≤12，设“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球”为事件B ， 则P(B)=25+35×yn−1≤25+35×12=710．21. 解：（1）设直线AM 的方程为y =k(x +2)(k >0)．由{x =4y =k(x +2)得C(4, 6k)； y =k(x +2)代入椭圆方程，消去y 可得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4=0， 设M(x 0, y 0)，则(−2)x 0=16k 2−41+4k 2，∴ x 0=2−8k 21+4k 2， ∴ y 0=4k1+4k 2， 即M(2−8k 21+4k2, 4k 1+4k 2)，∵ B(2, 0)，∴ 直线BM 的方程为y =−14k(x −2)，x =4时，y =−12k ，∴ D(4, −12k)∴ |CD|=|6k +12k |=4 ∵ k >0，∴ k =12或16， 从而M(0, 1)或M(85, 35)； （2）由（1）得(2−8k 21+4k2, 4k 1+4k 2)，∴ S 1=12|AB||y M |=8k 1+4k2，S 2=12|CD||4−x M |=(1+12k 2)22k(1+4k 2)，假设存在实数λ，使得S 1=λS 2，则 λ=S 1S 2=16k 21+24k 2+144k 4=16144k 2+1k2+24≤13，当且仅当144k 2=1k 2，即k =√36时，等号成立， ∵ λ>0， ∴ 0<λ≤13，∴ 存在实数λ满足0<λ≤13，使得S 1=λS 2．22. 解：（1）f(x)的定义域为(−1, +∞)，∵ f(x)=ln(x +1)−x ， ∴ f′(x)=−xx+1，∴ −1<x <0，f′(x)>0，函数单调递增，x >0，f′(x)<0，函数单调递减， ∴ x =0时，f(x)取得最大值f(0)=0； （2）证明：由（1），g(x)=ln(x +1)−ax 2−x ，设M(x 0, y 0)是曲线y =g(x)上的任意一点，则函数在M 处的切线方程为y −g(x 0)=g′(x 0)(x −x 0)， 即y =(1x0+1−2ax 0−1)(x −x 0)+g(x 0)令ℎ(x)=g(x)−[(1x 0+1−2ax 0−1)(x −x 0)+g(x 0)]，则ℎ′(x)=1x+1−2ax −1−(1x0+1−2ax 0−1)，∵ ℎ′(x 0)=0，∴ ℎ′(x)在(−1, +∞)上是减函数，∴ ℎ(x)在(−1, x 0)上是增函数，在(x 0, +∞)上是减函数， ∴ ℎ(x)在x =x 0处取得最大值ℎ(x 0)，即ℎ(x)≤0恒成立， ∴ 曲线y =g(x)上的任意一点都不可能在直线l 的上方；（3）证明：由（1）知ln(x +1)≤x 在(−1, +∞)是恒成立，当且仅当x =0时，等号成立， 故当x >−1且x ≠0时，有ln(x +1)<x ， ∵ 2n(2n+1+1)(2n +1)=2(12n−1+1−12n +1)， ∴ ln{(1+22×3)(1+43×5)(1+85×9) (1)2n(2n+1+1)(2n +1)]}=ln(1+22×3)+ln(1+43×5)+ln(1+85×9)+...+ln[1+2n(2n+1+1)(2n +1)]<22×3+43×5+ (2)(2n+1+1)(2n +1)=2[(12−13)+(13−15)+...+(12n−1+1−12n +1)]=2(12−12n +1)=1−22n +1<1， ∴ (1+22×3)(1+43×5)(1+85×9)…[1+2n(2n+1+1)(2n +1)]<e ．。

2011年高考数学湖北卷(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i 2. 已知{}21log ,1,,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭，则U P =ð（ ） (A)(]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ (B) 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ (C) ()0,+∞ (D) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3.已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） (A) 22,3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(B) 522,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(C),3P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭(D) 5,66P x k x k k Z ππππ⎧⎫=+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭4.将两个顶点在抛物线22y px =()0p >上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则（ ）(A)0n = (B) 1n = (C) 2n = (D) 3n ≥ 5.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()02P ξ<<=（ ）(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6 6.已知定义在R上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()()20,1x x f x g x a a a a -+=-+>≠且，若()2g a =，则()2f =（ ） (A)2a (B) 2 (C)154 (D) 1747.如图，用K 、12A A 、三类不同的原件连接成一个系统，当K 正常工作且12A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、12A A 、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.5768.已知向量()(),3,2,a x z b y z a b =+=-⊥，且，若x ，y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为：(A) []3,3- (B)[]3,2- (C)[]2,2- (D) []2,3- 9.若实数a ，b 满足0,0,0a b ab ≥≥=且，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+--，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

7．有一正方体，六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结 果如图所示， 如果记 3 的对面的数字为 m，4 的对面的数字为 n，那么 m+n 的值为 （ ）
A．3
B． 7
C．8
D． 11
8．已知函数 f (x) 的图像如图所示， f '(x)是f (x) 的导函数， 则下列数值排序正确的是 （ ）
故不存在 k , n 使 kan 2 an 与 kan 3 an 1 有大于 1 的公约数 . 21．（ I） f ( x) 1 aex 1 ……………… 1 分
（Ⅱ）记此人三次射击击中目标
次得分为 分，则 ～ B (3, 2) ， =10 3
∴ E( ) 10 E( ) 10 3 2 20 3
…… 9 分
2 1 200 D ( ) 100D ( ) 100 3
33 3
…… 12 分
72
17．解：（Ⅰ）∵ 0 A
∴
A
由 sin( A)
4
4
42
4
10
…6 分
得 cos(
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆
（）
用心 爱心 专心
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第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分。
11．已知数列 { an} 是公差不为零的等差数列， a1 1.若a1,a2 , a5 成等比数列， 则 an =
。
12．已知 A、 B、 C 是 O : x2 y2 1上三点 , OA OB OC,则 AB OA =
（）
A．4
B． 5
3．已知复数 Z 1 2i , 则1 z z2 1i