椭圆的简单几何意义

数学椭圆知识点总结

数学椭圆知识点总结「篇一」

1.椭圆的概念

在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：

(1)若a>c，则集合P为椭圆;

(2)若a=c，则集合P为线段;

(3)若a

2.椭圆的标准方程和几何性质

一条规律

椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：

两种方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。

(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。

三种技巧

(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a+c，最小距离为a-c。

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2=a2-c2就可求得e(0

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点;②对称轴是否为坐标轴。 椭圆方程的第一定义：

⑴①椭圆的标准方程：

i. 中心在原点，焦点在x轴上. ii. 中心在原点，焦点在轴上。

②一般方程.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为(一象限应是属于

)。

⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x轴，轴;长轴长，短轴长.③焦点：或.④焦距.⑤准线：或.⑥离心率.⑦焦点半径：

i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出。

ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则

由椭圆方程的第二定义可以推出。

由椭圆第二定义可知：归结起来为“左加右减”。

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆。

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和

1 椭圆知识点

知识要点小结：知识点一：

椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；

若)(2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的标准方程

1．当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：12222byax)0(ba，其中222bac

2．当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：12222bxay)0(ba，其中222bac；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，

才能得到椭圆的标准方程；

2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(ba和222bac；

3．椭圆的焦点总在长轴上.

当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c，)0,(c；

当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c，),0(c

知识点三：椭圆的简单几何性质

椭圆：12222byax)0(ba的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程12222byax)0(ba：说明：把x换成x、或把y换成y、或把x、y同时换成x、y、原方程都不变，所以椭圆12222byax是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

2 （2）范围：

椭圆上所有的点都位于直线ax和by所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足ax，by。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆12222byax)0(ba与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为

)0,(1aA，)0,(2aA，),0(1bB，),0(2bB

椭圆的简单几何性质

学习目标：

1、掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率这四个几何性质；

2、掌握标准方程中a、b、c、e的几何意义及其相互关系；

重点：掌握标准方程中a、b、c、e的几何意义及其相互关系

难点：掌握椭圆的范围、顶点、对称性、离心率这四个几何性质；

教学过程：

利用椭圆的标准方程12222byax(a＞b＞0)来研究椭圆的性质：

（1）范围：|x|≤a,|y|≤b

椭圆位于直线x＝±a,y＝±b所围成的矩形内

（2）对称性：

坐标轴是椭圆的对称轴；坐标原点是椭圆的对称中心

注意：标准方程表示的椭圆，它的对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点，那么能不能说椭圆的对称轴是坐标轴，对称中心是坐标原点呢？

不能。

（3）顶点：

A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0, b)

线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴与短轴。它们的长分别是2a、2b，其中a和b分别叫做椭圆的长半长轴长与短半轴长。

（4）a、b、c的几何意义是什么？

它们分别是长半长轴长、短半轴长、半焦距

（5）离心率

椭圆的焦距与长轴长的比2c/2a＝c/a＝e。

椭圆离心率e的范围是怎样的？

∵a＞c＞0,∴0＜e＜1

例1、求椭圆400251622yx的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出它的图形。

解：把已知方程化为标准方程得：________________________

这里a＝5，b＝4，所以c＝3。

因此长轴长2a＝10,短轴长2b＝8,

离心率e＝c/a＝3/5,

焦点F1(－3,0)和F2(3,0),

椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、B1(0,－4)、B2(0,4)

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程

⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)；

⑴分析一：设方程为mx2＋ny2＝1，将点的坐标代入方程，求出m＝1/9,n＝1/4。

椭圆的基本概念（高二）

1．椭圆的定义：我们把平面内与两个定点21,FF的距离的和等于常数（ |,|21FF）的点的轨迹叫做椭圆，用符号表示为 。这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。

2．椭圆的第二定义：平面内，到定点)0,(cF的距离与到定直线:l 的距离之比是常数ac（即 ）的动点的轨迹叫做椭圆，其中常数ac叫做椭圆的 。

二．椭圆的标准方程

3．当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为 )0(ba，其中焦点坐标为)0,(1cF，)0,(1cF，且2a ；

当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为 )0(ba，其中焦点坐标为),0(1cF，),0(1cF，且2a .

当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。

三．椭圆的简单几何性质

焦点在x轴上 焦点在y轴上

标准方程 )0(12222babyax )0(12222babxay

图

形

焦点坐标 F1（ ）,F2（c,0） F1（0,c）,F2（ ）

对称性 关于x,y轴成中心对称

关于原点成中心对称

顶点坐标 A1（－a,0），A2( )

B1( )，B2(0,b) A1（ ），A2(0,a)

B1(－b,0)，B2( )

范围 ||,||yax ||x ，||y

长轴短轴 长轴A1A2的长为

短轴B1B2的长为 长轴A1A2的长为

短轴B1B2的长为

离心率 椭圆的焦距与长轴长的比e＝ 椭圆的焦距与长轴长的比e＝

准线方程 x= y= y

A2

B2 O A1 B1

F2 F1 y