2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2}答案:C解析:解x 2-2x=0,得x=0,x=2,故A={0,2},所以A ∩B={0,2},故选C . 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2C .y=2-xD .y=log 0.5(x+1)答案:A解析:A 项,y=√x +1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增;B 项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;C 项,y=2-x =(12)x 为R 上的减函数; D 项,y=log 0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选A .3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上答案:B 解析:由已知得{cosθ=x +1,sinθ=y -2,消参得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x 上.故选B .4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .840 答案:C解析:开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k<5不成立,所以S=1×7=7,k=7-1=6. 第二次循环,6<5不成立,所以S=7×6=42,k=6-1=5. 第三次循环,5<5不成立,所以S=42×5=210,k=5-1=4. 显然4<5成立,输出S 的值,即输出210,故选C .5.(2014北京,理5)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:等比数列{a n}为递增数列的充要条件为{a1>0,q>1或{a1<0,0<q<1.故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6.(2014北京,理6)若x,y满足{x+y-2≥0,kx-y+2≥0,y≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为().A.2B.-2C.12D.-12答案:D 解析:如图,作出{x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC 在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案:D解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,√2).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积S2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=12×2×√2=√2.综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.图(1)图(2)图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 答案:B解析:用A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A 的学生最多只有一人,语文成绩得B 的也最多只有1人,得C 的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i)2= .答案:-1 解析:1+i1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=2i 2=i,所以(1+i 1-i)2=i 2=-1. 10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= . 答案:√5解析:|b |=√22+12=√5,由λa +b =0,得b =-λa ,故|b |=|-λa |=|λ||a |,所以|λ|=|b ||a |=√51=√5.11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .答案:x 23−y 212=1 y=±2x 解析:双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线y 24-x 2=1有共同渐近线的方程为y 24-x 2=λ,又(2,2)在双曲线上,故224-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为y 24-x 2=-3,即x 23−y 212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 答案:8解析:由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0;而a 7+a 10=a 8+a 9<0,故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种. 答案:36解析:产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A 的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 . 答案:π解析:由f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=-f (π6)知,f (x )有对称中心(π3,0),由f (π2)=f (23π)知f (x )有对称轴x=12(π2+23π)=712π.记f (x )的最小正周期为T ,则12T ≥π2−π6,即T ≥23π.故712π-π3=π4=T 4,解得T=π.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD ;(2)求BD,AC的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD,然后在△ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.解:(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17,所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B=4√37×12−17×√32=3√314.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD=AB·sin∠BADsin∠ADB =8×3√3144√37=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.16.(本小题13分)(2014):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x 的大小.(只需写出结论)分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过0.6的场数,然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=A B∪A B,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=35,P(B)=25.P(C)=P(A B)+P(A B)=35×35+25×25=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX=x.17.(本小题14分)(2014北京,理17)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.分析:(1)首先利用AM∥ED得到AB∥平面PDE,然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线BC的方向向量和平面ABF的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据H 在PC 上,设出H 的坐标,然后利用平面ABF 的法向量与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值,进而求出H 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度.(1)证明:在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ,所以AB ∥平面PDE. 因为AB ⊂平面ABF ,且平面ABF ∩平面PDE=FG , 所以AB ∥FG.(2)解:因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (2,1,0),P (0,0,2),F (0,1,1),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面ABF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,y +z =0.令z=1,则y=-1.所以n =(0,-1,1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则 sin α=|cos <n ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ,v ,w ).因为点H 在棱PC 上,所以可设PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 即(u ,v ,w-2)=λ(2,1,-2), 所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.因为n 是平面ABF 的法向量,所以n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,解得λ=23, 所以点H 的坐标为(43,23,23).所以PH=√(43)2+(23)2+(-43)2=2.18.(本小题13分)(2014北京,理18)已知函数f (x )=x cos x-sin x ,x ∈[0,π2]. (1)求证:f (x )≤0; (2)若a<sinxx<b 对x ∈(0,π2)恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.分析:(1)先求出导函数f'(x ),利用导函数在(0,π2)上的符号判断f (x )在[0,π2]上的单调性,并求出其最大值,即可证得结论;(2)根据x>0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为g (x )=sin x-cx (x ∈(0,π2))与0的大小关系,注意对参数c 的取值要分c ≤0,c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值. (1)证明:由f (x )=x cos x-sin x 得f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x. 因为在区间(0,π2)上f'(x )=-x sin x<0, 所以f (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)=0. (2)解:当x>0时,“sinx x >a”等价于“sin x-ax>0”;“sinxx<b”等价于“sin x-bx<0”. 令g (x )=sin x-cx ,则g'(x )=cos x-c.当c ≤0时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当c ≥1时,因为对任意x ∈(0,π2),g'(x )=cos x-c<0, 所以g (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)=0对任意x ∈(0,π2)恒成立.当0<c<1时,存在唯一的x 0∈(0,π2)使得g'(x 0)=cos x 0-c=0. g (x )与g'(x )在区间(0,π2)上的情况如下:因为g (x )在区间[0,x 0]上是增函数, 所以g (x 0)>g (0)=0.进一步,“g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立”当且仅当g (π2)=1-π2c ≥0,即0<c ≤2π.综上所述,当且仅当c ≤2π时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立;当且仅当c ≥1时,g (x )<0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 所以,若a<sinxx<b 对任意x ∈(0,π2)恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1.19.(本小题14分)(2014北京,理19)已知椭圆C :x 2+2y 2=4.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y=2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系,并证明你的结论.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a ,c ,即可求得离心率e ;(2)分别设出A ,B 两点的坐标,先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后根据A ,B 两点横坐标是否相等分类,分别求出原点O 到直线AB 的距离,将其与圆的半径√2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1. 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2. 故椭圆C 的离心率e=c a=√22.(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下:设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0. 当x 0=t 时,y 0=-t 22,代入椭圆C 的方程,得t=±√2,故直线AB 的方程为x=±√2,圆心O 到直线AB 的距离d=√2,此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y-2=y 0-2x 0-t(x-t ), 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d=00√(y 0-2)+(x 0-t ).又x 02+2y 02=4,t=-2y 0x 0, 故d=|2x 0+2y 02x |√x 02+y 02+02x 02+4=|4+x 02x |√04022x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.20.(本小题13分)(2014北京,理20)对于数对序列P :(a 1,b 1),(a 2,b 2),…,(a n ,b n ),记T 1(P )=a 1+b 1,T k (P )=b k +max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }(2≤k ≤n ),其中max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }表示T k-1(P )和a 1+a 2+…+a k 两个数中最大的数.(1)对于数对序列P :(2,5),(4,1),求T 1(P ),T 2(P )的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a ,b ),(c ,d )组成的数对序列P :(a ,b ),(c ,d )和P':(c ,d ),(a ,b ),试分别对m=a 和m=d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使T 5(P )最小,并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析:(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P'),然后根据a ,b ,c ,d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小,然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列,依次求出T 1(P ),T 2(P ),T 3(P ),T 4(P ),T 5(P )即可. 解:(1)T 1(P )=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.。
