2015年普通高等学校招生全国统一考试 北 京 卷(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试北 京 卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·高考北京卷)复数i (2－i )＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i解析：选A.i (2－i )＝2i －i 2＝1＋2i .2．(2015·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．0B ．1 C.32D ．2解析：选D.作出不等式组所表示的平面区域，如下图．第2题图作直线x ＋2y ＝0，向右上平移，当直线过点A (0,1)时，z ＝x ＋2y 取最大值，即z max ＝0＋2×1＝2.第3题图3．(2015·高考北京卷)执行如图所示的程序框图，输出的结果为( ) A ．(－2,2) B ．(－4,0) C ．(－4，－4) D ．(0，－8)解析：选B.x＝1，y＝1，k＝0，s＝x－y＝0，t＝x＋y＝2，x＝s＝0，y＝t＝2，k＝1，不满足k≥3；s＝x－y＝－2，t＝x＋y＝2，x＝－2，y＝2，k＝2，不满足k≥3；s＝x－y＝－4，t＝x＋y＝0，x＝－4，y＝0，k＝3，满足k≥3，输出的结果为(－4,0)．4．(2015·高考北京卷)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD/⇒α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．5．(2015·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()第5题图A．2＋ 5 B．4＋ 5C．2＋2 5 D．5第5题图解析：选C.作出三棱锥的示意图如图，在△ABC中，作AB边上的高CD，连接S D.在三棱锥S-ABC中，SC⊥底面ABC，SC＝1，底面三角形ABC是等腰三角形，AC＝BC，AB边上的高CD＝2，AD＝BD＝1，斜高SD＝5，AC＝BC＝ 5.∴S表＝S△ABC＋S△SAC＋S△SBC＋S△SAB＝12×2×2＋12×1×5＋12×1×5＋12×2×5＝2＋2 5.6．(2015·高考北京卷)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D．若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0解析：选C.设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．第7题图如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C.令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，y ＝log 2(x ＋1)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴ 结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．7题图8．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )8题图A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：选D.根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上) 9．在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________．(用数字作答)解析：设通项为T r ＋1＝C r 525－r x r ，令r ＝3，则x 3的系数为C 35×22＝10×4＝40. 答案：4010．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±xa ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a ＞0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：3311．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ知极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3可化为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6可化为x ＋3y －6＝0.故所求距离为d ＝|1＋3×3－6|12＋(3)2＝22＝1.答案：112．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵ a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴ sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 答案：113．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析：∵ AM →＝2MC →，∴ AM →＝23AC →.∵ BN →＝NC →，∴ AN →＝12(AB →＋AC →)，∴ MN →＝AN →－AM →＝12(AB →＋AC →)－23AC →＝12AB →－16AC →. 又MN →＝xAB →＋yAC →，∴ x ＝12，y ＝－16.答案：12 －1614．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ， x ＜1，4(x －a )(x －2a )， x ≥1.①若a ＝1，则f (x )的最小值为________；②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＜1，4(x －1)(x －2)，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝2x －1∈(－1,1)， 当x ≥1时，f (x )＝4(x 2－3x ＋2)＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －322－14≥－1， ∴ f (x )m i n ＝－1.②由于f (x )恰有2个零点，分两种情况讨论： 当f (x )＝2x －a ，x ＜1没有零点时，a ≥2或a ≤0.当a ≥2时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时，有2个零点； 当a ≤0时，f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1时无零点． 因此a ≥2满足题意．当f (x )＝2x －a ，x ＜1有一个零点时，0＜a ＜2.f (x )＝4(x －a )(x －2a )，x ≥1有一个零点，此时a ＜1,2a ≥1，因此12≤a ＜1.综上知实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 12≤a ＜1或a ≥2.答案：①－1 ②⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 12≤a ＜1或a ≥2三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 16．(本小题满分13分)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a ＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a 为何值时，A ，B 两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明)解：设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2， (7)由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5∪A 6∪A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C ＝A 4B 1∪A 5B 1∪A 6B 1∪A 7B 1∪A 5B 2∪A 6B 2∪A 7B 2∪A 7B 3∪A 6B 6∪A 7B 6，因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.(3)a ＝11或a ＝18.第17题图17．(本小题满分14分)如图，在四棱锥A -EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．(1)求证：AO ⊥BE ； (2)求二面角F -AE -B 的余弦值；(3)若BE ⊥平面AOC ，求a 的值．解：(1)证明：因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点， 所以AO ⊥EF .又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，AO ⊂平面AEF ， 所以AO ⊥平面EFCB ， 所以AO ⊥BE .(2)取BC 的中点G ，连接OG . 由题设知四边形EFCB 是等腰梯形， 所以OG ⊥EF .由(1)知AO ⊥平面EFCB ， 又OG ⊂平面EFCB ， 所以OA ⊥OG .第17题图如图建立空间直角坐标系O -xyz ，则E (a,0,0)，A (0,0，3a )，B (2，3(2－a )，0)，EA →＝(－a,0，3a )，BE →＝(a －2，3(a －2)，0)．设平面AEB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－ax ＋3az ＝0，(a －2)x ＋3(a －2)y ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1，于是n ＝(3，－1,1)． 又平面AEF 的一个法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－55.由题知二面角F -AE -B 为钝角，所以它的余弦值为－55. (3)因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥CO ，即BE →·OC →＝0.因为BE →＝(a －2，3(a －2)，0)，OC →＝(－2，3(2－a )，0)，所以BE →·OC →＝－2(a －2)－3(a －2)2.由BE →·OC →＝0及0＜a ＜2，解得a ＝43.18．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝ln 1＋x1－x.(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33；(3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值． 解：(1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x .(2)证明：令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0,1)，即当x ∈(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ⎝⎛⎫x ＋x33对x ∈(0,1)恒成立． 当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k ＋21－x 2.所以当0＜x ＜4k －2k 时，h ′(x )＜0，因此h (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，4k －2k 上单调递减． 故当0＜x ＜ 4k －2k时，h (x )＜h (0)＝0，即f (x )＜k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.所以当k ＞2时，f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33并非对x ∈(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.19．(本小题满分14分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)．(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2.故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M,0)．因为m ≠0，所以－1＜n ＜1，直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m1－n，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0.(2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n )． 设N (x N,0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，且点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2)．20．(本小题满分13分)已知数列{a n }满足：a 1∈N *，a 1≤36，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18(n ＝1,2，…)．记集合M ＝{a n |n ∈N *}．(1)若a 1＝6，写出集合M 的所有元素；(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； (3)求集合M 的元素个数的最大值． 解：(1)6,12,24.(2)证明：因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k 是3的倍数．由a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，a n ≤18，2a n －36，a n ＞18，可归纳证明对任意n ≥k ，a n 是3的倍数．如果k ＝1，则M 的所有元素都是3的倍数．如果k ＞1，因为a k ＝2a k －1或a k ＝2a k －1－36，所以2a k －1是3的倍数，于是a k －1是3的倍数．类似可得，a k －2，…，a 1都是3的倍数．从而对任意n ≥1，a n 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数． 综上，若集合M 存在一个元素是3的倍数，则M 的所有元素都是3的倍数．(3)由a 1≤36，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1，a n －1≤18，2a n －1－36，a n －1＞18，可归纳证明a n ≤36(n ＝2,3，…)．因为a 1是正整数，a 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 1，a 1≤18，2a 1－36， a 1＞18，所以a 2是2的倍数．从而当n ≥3时，a n 是2的倍数．如果a 1是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{12,24,36}，这时M 的元素个数不超过5. 如果a 1不是3的倍数，由(2)知对所有正整数n ，a n 不是3的倍数． 因此当n ≥3时，a n ∈{4,8,16,20,28,32}，这时M 的元素个数不超过8. 当a 1＝1时，M ＝{1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素． 综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8.。