例说高中抽象函数问题分类解题教学法
摘要：抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，由于其解析式隐含不露而高度抽象，加之其与函数的单调性、奇偶性等众多性质联系紧密，所以问题类型众多，解题方法复杂多变。如果以特殊背景函数代替抽象函数帮助解题或理解题意，是一种行之有效的教学方法。
关键词：抽象函数；背景函数模型；分类；解析；探究
中图分类号：C633 文献标识码：A 文章编号：1672-691x（2010）05
抽象函数是指没有给出具体的函数表达式，只给出了函数所具有的某些性质或运算特征的一类函数，由于其解析式隐含不露而高度抽象，解决此类问题时往往很棘手。其实，大量的抽象函数并非无源之水，都是以中学阶段所学的基本函数为背景函数抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景函数”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过观察、分析、类比、猜想出它可能为某种基本函数抽象而成，利用该基本函数的性质和结论，进而猜想出抽象函数可能具备的性质和结论，变抽象为具体，变陌生为熟知，可轻松觅得解题思路，下面我就教学中的一些做法和体会进行归类总结如下。
一、正比例函数为背景函数模型的抽象函数问题
正比例函数y=kx(k≠0)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，则具有性质 (1)f(0)=0；(2)y=f(x)是R上的奇函数；(3)若x≠0，f(x)≠0时，则y=f(x)是R上的单调函数.
其函数特征为：f（x±y）＝f（x）±f（y）
例1、已知是定义在R上的函数，对任意的、都有，且当>0时，＜0，。问当时，函数是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。
分析：我们知道，正比例函满足。根据题设，我们知本题是以正比例函数为背景函数模型，于是，用赋值法令x=y=0去证明这个我们猜想的正比例函数的奇偶性、单调性，达到解决问题的目的。
解：令则，解得
如何解决高一数学中的抽象函数问题
在高一数学的学习中，抽象函数问题常常让同学们感到头疼。这些问题不像具体函数那样有明确的表达式，而是仅仅通过一些函数性质或运算关系来描述，具有较强的抽象性和逻辑性。但别担心，只要掌握了正确的方法和思路，抽象函数问题也能迎刃而解。
首先，我们要理解抽象函数的定义和常见类型。抽象函数通常是指没有给出具体解析式的函数，而是通过一些条件，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，来描述函数的特征。常见的抽象函数类型有：以函数运算关系给出的抽象函数，如$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋
f(y)＄；以函数性质给出的抽象函数，如$f(x) ＝ f(x)＄表示函数为奇函数。
那么，解决抽象函数问题的关键在哪里呢？
关键之一是赋值法。通过对自变量赋予特殊值，往往能得出一些有用的结论。比如，对于函数$f(x ＋ y) ＝ f(x) ＋ f(y)＄，我们可以令$x
＝ 0$，＄y ＝ 0$，得到$f(0) ＝ f(0) ＋ f(0)＄，从而得出$f(0) ＝ 0$。再比如，若已知$f(1) ＝ 2$，要研究$f(2)＄，我们可以令$x ＝ 1$，＄y ＝
1$，得到$f(2) ＝ f(1 ＋ 1) ＝ f(1) ＋ f(1) ＝ 4$。
关键之二是利用函数的性质。比如，如果已知函数是奇函数，那么$f(x) ＝ f(x)＄；如果是偶函数，就有$f(x) ＝ f(x)＄。通过这些性质，可以将自变量转化为已知的形式，从而进行计算或推理。例如，已知$f(x)＄是奇函数，且$f(2) ＝ 5$，那么$f(－2) ＝ f(2) ＝ －5$。
关键之三是周期性。如果函数具有周期性，我们可以利用周期将自变量的取值范围进行转化。比如，若函数$f(x)＄的周期为$T$，那么$f(x ＋ kT) ＝ f(x)＄，＄k\in Z$。例如，若函数的周期为$4$，＄f(1) ＝
2$，求$f(9)＄，则可以将$f(9)＄转化为$f(9) ＝ f(1 ＋ 2\times 4) ＝ f(1)
高一数学分段函数抽象函数与复合函数试题答案及解析
1. 设，求的值。
【答案】
【解析】先求出来，再由求出，一定要注意定义域选择好解析式．
又，而
【考点】分段函数的求值
2. 已知函数,若,则实数的值为 . 【答案】 【解析】当时，则有，解得或（舍去）；当时，则有，解得，所以． 【考点】分段函数的求值． 3. 已知函数的定义域为集合. （1）若函数的定义域也为集合，的值域为，求； （2）已知,若,求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）对数定义域真数大于零求定义域，有真数范围，求值域；（2解不等式（注意移项通分）化分式不等式为整式不等式，，对大小关系分三类讨论，再分别求满足的值. 试题解析：（1）由，得，， 2分
， 3分
当时，，于是，即， 5分
，。 7分
（2））由，得，即． .8分
当时，，满足； 9分
当时，，
因为，所以 解得， 11分
又，所以；
当时，，
因为，所以解得， 又，所以此时无解； 13分
综上所述，实数的取值范围是． 14分
【考点】1.函数定义域值域；2.分类讨论思想；3.集合运算.
4. 设，则（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【解析】，故选C
【考点】分段函数
5. 设，则
【答案】 【解析】由分段函数有. 【考点】分段函数的定义域不同解析式不同. 6. 已知函数，则
【答案】
【解析】假设，则，所以=，即.
【考点】本题考查的是复合函数的知识点，本题的解法是常用的思维方式，要切记.
7.
已知 (且)在上是的减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】是定义域内的减函数，又是定义域内的增函数，由复合函数的单调性知(且)在定义域内单调递减，所以对于此题只需恒成立，即恒成立，，，又所以.故选B.
数学
篇解题宝典
抽象函数问题的难度一般不大.常见的抽象函数问题有求抽象函数的值域，求抽象函数的定义域，判断抽象函数的周期性、单调性、奇偶性等.下面结合实例，谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.一、求抽象函数的值域求抽象函数的值域问题，往往要求根据已知关系式和定义域来求函数的值域.解答此类问题，需对已知关系式进行赋值，以便根据函数单调性的定义，判断出函数的单调性，然后根据函数的单调性求得函数在定义域内的最值，即可确定函数的值域.若定义域包含了多个单调区间，则需在每个区间内讨论函数的单调性，再比较各个区间上的最大、最小值，即可解题.例1.若对任意实数x，y都有f()x+y=f()x+f()y，当x>0时恒有f()x>0，且f()-1=-2，求函数f()x在区间[]-2,1上的值域.解:令x1=y，x2=x+y，可得x2-x1>0，∵f()x2-f()x1=f()()x2-x1+x1-f()x1=f()x2-x1+f()x1-f()x1>0，∴f()x1f()x1，则函数在定义域上单调递增；若f()x20，当x>0时，f()x>1.对任意x,y∈R，均有f()x+y=f()xf()y，试证明：f()x在R上单调递增.分析：我们需先设出x1，x2，然后通过等量代换，判断出f()x2f()x1与1的大小关系，以便根据函数单调性的定义证明抽象函数f()x在R上单调递增.证明：令x10，f()x1>0，x2-x1>0，f()x2f()x1=f()x2-x1+x1f()x1=f()x2-x1f()x1f()x1=f()x2-x1>1,所以f()x2>f()x1，故函数f()x在R上单调递增.三、抽象函数的奇偶性问题对于抽象函数的奇偶性问题，通常需根据奇偶函数的定义来求解.在解题时，要首先对已知关系式进行赋值，如令x=0、1、-1、-x等，并将其代入式子中，以便判断出f()-x与f()x之间的关系.若f()-x=f()x，则函数为偶函数；若f()-x=-f()x，则该函数为奇函数.例3.若函数f()x，g()x的定义域为R，对于任意x,y∈R，均有f(x+y)+f()x-y=2f()xf()y，且f()0≠0，试判断函数f()x的奇偶性.解:令x=y=0，由f(x+y)+f()x-y=2f()xf()y可得2f2()0=2f()0，因为f()0≠0，所以f()0=1，令x=0，可得f()0+y+f()0-y=2f()0f()y=2f()y，则f()y=f()-y，故函数f()x为偶函数.要判断出函数的奇偶性，需令x=y=0，通过多次赋值，才能判断出f()-x与f()x之间的关系.总之，抽象函数是一类较为特殊的函数，它没有具体的解析式和图象，因而在解答抽象函数问题时，需重点研究已知关系式和抽象函数的性质，从中找到解题的突破口.（作者单位：云南省曲靖市会泽县实验高级中学）方琼
