【百强校】2013届中国人民大学附属中学高考冲刺一理科数学试卷(带解析)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）（B）-（C）（D）-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l β，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ + +…+（B ）1++ +…+（C ）1+ + +…+（D ）1++ +…+（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为搞影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设ɑ=log 36,b=log 510,c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a（C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件 ,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A)(B) (C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x2+αx2+bx+，下列结论中错误的是（A ）∑x α∈R f(x α)=0（B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若xn 是f （x ）的极值点，则f 1(x α)=0（11）设抛物线y2=3px(p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5若以MF 为直径的园过点（0，3），则C 的方程为（A ）y2=4x 或y2=8x （B ）y2=2x 或y2=8x（C ）y2=4x 或y2=16x （D ）y2=2x 或y2=16x（12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是x ≥1, x+y ≤3, y ≥a(x-3). {（A）（0，1）(B)（1-，1/2）( C)（1-，1/3）(D)[ 1/3, 1/2）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013高考数学试卷及答案一、选择题1.若函数 $f(x)=\\frac{\\sqrt{1-x^2}}{\\sqrt{1+x^2}}$，则f(−1)+f(0)+f(1)的值为A. 0B. 1C. 2D. 3答案： C. 22.已知函数 $y=\\log_2{x}$，则 $y^2-4y-5 \\leq 0$ 的解集为A. (-∞, -1] ∪ [5, +∞)B. [-1, 5]C. [-1, 1]D. (1, 5)答案： B. [-1, 5]3.如图所示，在ΔABC 中，$AD \\perp BC$，则 $\\frac{BD}{CD} =$imageimageA. $\\frac{2}{3}$B. $\\frac{3}{7}$C. $\\frac{5}{3}$D. $\\frac{3}{2}$答案： A. $\\frac{2}{3}$二、填空题4.设a1=3，$a_2=\\frac{7}{4}$，a n+2=2a n+1+a n，则a10=答案： $\\frac{535}{64}$5.设 $f(x)=\\sin^3{x}-\\cos^3{x}$，则 $f(\\frac{\\pi}{6})=$答案： $\\frac{1}{4}$三、解答题1. 计算题6.已知数列 $\\{a_n\\}$，a1=2，$a_{n+1}=2a_n+3(n\\geq1)$，求a n 的通项公式。

解答：首先我们观察数列的前几项，可以发现：a1=2 $a_2 = 2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 1 = 7$ $a_3 = 2 \\cdot 7 + 3 \\cdot 2 = 20$定义数列 $\\{b_n\\}$，$b_n = a_n + \\frac{3}{2} \\cdot n$，我们来观察数列 $\\{b_n\\}$： $b_1 = 2 + \\frac{3}{2} \\cdot 1 = \\frac{7}{2}$ $b_2 = 7 + \\frac{3}{2} \\cdot 2 = 12$ $b_3 = 20 + \\frac{3}{2} \\cdot 3 =\\frac{29}{2}$我们可以发现数列 $\\{b_n\\}$ 是一个等差数列，公差为$\\frac{3}{2}$。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列 B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x ＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b(+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a .∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝=. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan α＝4，即tan ∠PBA ＝4. 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴的正方向，|OA |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC ＝(1,0，1BB ＝1AA ＝(－1，0)，1AC ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量，2013 全国新课标卷1理科数学 第11页 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)．故cos 〈n ，1AC 〉＝11A CA C ⋅n n ＝5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以 P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝当k y x =代入22=143x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x1,2＝47-±.所以|AB|2118|7x x-=.当k=|AB|＝187.综上，|AB|＝|AB|＝187.21．解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－21x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE，交BC于点G.由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因为DB⊥BE，所以DE为直径，∠DCE＝90°，由勾股定理可得DB＝DC.(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂线，所以BG设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF.23．解：(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.2013 全国新课标卷1理科数学第12页2013 全国新课标卷1理科数学 第13页 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩ 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。

中国人民大学附属中学高考冲刺卷数 学(理) 试 卷（七）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{0,1}A =，{1,0,3}B a =-+，且A B ⊆，则a 等于（A ）1 （B ）0 （C ）2- （D ）3- 2.已知i 是虚数单位，则复数23z i+2i 3i =+所对应的点落在（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3.在ABC ∆中，“0AB BC ⋅>”是“ABC ∆为钝角三角形”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件4.已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC .则下列结论不正确．．．的是 （A ）//CD 平面PAF （B ）DF ⊥平面PAF （C ）//CF 平面PAB （D ）CF ⊥平面PAD 5.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 6.函数sin()(0)y x ϕϕ=π+>的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，,A B 是图象与x 轴的交点，则tan APB ∠=（A ）10 （B ）8 （C ）87 （D ）47第4题图 第6题图 7．已知数列{}n a 的通项公式为13n a n =-，那么满足119102k k k a a a +++++=的整数k（A ）有3个 （B ）有2个 （C ）有1个 （D ）不存在 8．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by +=与线段AB 有一个公共点，那么22a b + （A ）最小值为15 （B ）最小值为5 （C ）最大值为15 （D ）最大值为5第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC ∆中，若2B A =，:1:3a b =，则A =_____.10.在521()x x+的展开式中，2x 的系数是_____.OAB PD C•xA BPyO11．如图，AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD切圆O 于点C .已知圆O 半径为3，2OP =，则 PC =______；ACD ∠的大小为______.12.在极坐标系中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的一个极坐标为_____.13．定义某种运算⊗，a b ⊗的运算原理如右图所示.设()(0)(2)f x x x x =⊗-⊗.则(2)f =______；()f x 在区间[2,2]-上的最小值为______.14.数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中λ∈R ， 12n =，，．①当0λ=时，20a =_____；②若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是_____.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数cos 2()sin()4xf x x π=+.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若4()3f x =，求sin 2x 的值.16.（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 的边长为6，60BAD ∠=,ACBD O =.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，使32BD =，得到三棱锥B ACD -.（Ⅰ）若点M 是棱BC 的中点，求证://OM 平面ABD ； （Ⅱ）求二面角A BD O --的余弦值；（Ⅲ）设点N 是线段BD 上一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =，并证明你的结论.Ma b ≥开始 输入,a b否结束S b= S a =输出S 是17.（本小题满分13分）甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.18.（本小题满分14分）已知函数()(1)e (0)xa f x x x=->，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的面积； （Ⅱ）若函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为5e ，求a 的值.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y M a b +=(0)a b >>，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为246+．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点C ， 求ABC ∆面积的最大值．20.（本小题满分13分）若m A A A ,,,21 为集合2}(,,2,1{≥=n n A 且)n ∈*N 的子集，且满足两个条件：①12m A A A A =；②对任意的A y x ⊆},{，至少存在一个},,3,2,1{m i ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y . 则称集合组m A A A ,,,21 具有性质P . 如图，作n 行m 列数表，定义数表中的第k 行第l 列的数为⎩⎨⎧∉∈=)(0)(1l l kl A k A k a .（Ⅰ）当4n =时，判断下列两个集合组是否具有性质P ，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：123{1,3},{2,3},{4}A A A ===； 集合组2：123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===. （Ⅱ）当7n =时，若集合组123,,A A A 具有性质P ，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合123,,A A A ；（Ⅲ）当100n =时，集合组12,,,t A A A 是具有性质P 且所含集合个数最小的集合组，求t 的值及12||||||t A A A ++的最小值.（其中||i A 表示集合i A 所含元素的个数）中国人民大学附属中学高考冲刺卷 数学(理)试卷（七）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 30 10. 5 11.1；75 12.)4π（或其它等价写法） 13.2-；6- 14.120；(21,2),k k k -∈*N . 注：11、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意，sin()04x π+≠， ………………2分 所以()4x k k π+≠π∈Z ， ………………3分 所以()4x k k π≠π-∈Z ，………………4分函数()f x 的定义域为{xx ≠,4k k ππ-∈Z }. ………………5分（Ⅱ）cos 2cos 2()sin()sin cos cos sin444x xf x x x x ==πππ++ ………………7分 2sin cos x x x=+ ………………8分 22sin )sin )sin cos x x x x x x -==-+. ………………10分因为4()3f x =，所以cos sin 3x x -=. ………………11分所以，2sin 21(cos sin )x x x =-- ………………12分81199=-= . ………………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点.又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB . ………………1分 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD . ………………3分 （Ⅱ）解：由题意，3OB OD ==，因为BD =所以90BOD ∠=，OB OD ⊥. ………………4分 又因为菱形ABCD ，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示.(0,3,0),A D (0,0,3)B .所以(33,0,3),(33,3,0),AB AD =-=-………………6分设平面ABD 的法向量为n =(,,)x y z ，则有0,0AB AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即：30,30z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则y z ==n =(1. ………………7分 因为,AC OB AC OD ⊥⊥,所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，所以平面BOD 的法向量为0(1,0,0)=n . ………………8分000cos ,⋅〈〉===n n n n n n 因为二面角A BD O --是锐角， 所以二面角A BD O --的余弦值为7. ……………9分 （Ⅲ）解：因为N 是线段BD 上一个动点，设111(,,)N x y z ，BN BD λ=，则111(,,3)(0,3,3)x y z λ-=-，所以1110,3,33x y z λλ===-， ……………10分 则(0,3,33)N λλ-，(33,3,33)CN λλ=-，由CN ==，即29920λλ-+=，…………11分解得13λ=或23λ=， ……………12分 所以N 点的坐标为(0,2,1)或(0,1,2). ……………13分（也可以答是线段BD 的三等分点，2BN ND =或2BN ND =） 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = ………………3分11110220=⨯=. ………………5分 （Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， ………………7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， ………………9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………11分X………………12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）22()e xx ax a f x x -+'=， ………………3分 当2a =时，2222()e xx x f x x -+'=， 12122(1)e e 1f -+'=⨯=，(1)e f =-， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为e 2e y x =-， ………………5分 切线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0)，(0,2e)-， ………………6分所以，所求面积为122e 2e 2⨯⨯-=. ………………7分（Ⅱ）因为函数()f x 存在一个极大值点和一个极小值点，所以，方程20x ax a -+=在(0,)+∞内存在两个不等实根， ………………8分则240,0.a a a ⎧∆=->⎨>⎩………………9分所以4a >. (10)分设12,x x 为函数()f x 的极大值点和极小值点，则12x x a +=，12x x a =， ………………11分 因为，512()()e f x f x =，所以，1251212e e e x x x a x a x x --⨯=， ………………12分 即1225121212()e e x x x x a x x a x x +-++=，225e e a a a a a -+=，5e e a =， 解得，5a =，此时()f x 有两个极值点，所以5a =. ………………14分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为246+，所以24622+=+c a ， ……………1分又椭圆的离心率为，即3c a =，所以3c a =， ………………2分所以3a =，c =………………4分所以1b =，椭圆M 的方程为1922=+y x . ………………5分 （Ⅱ）方法一：不妨设BC 的方程(3),(0)y n x n =->，则AC 的方程为)3(1--=x ny .由22(3),19y n x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得0196)91(2222=-+-+n x n x n ， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，因为222819391n x n -=+，所以19327222+-=n n x ， ………………7分同理可得2219327nn x +-=， ………………8分 所以1961||22++=n n BC ，222961||nn n n AC ++=， ………………10分 964)1()1(2||||212+++==∆n n n n AC BC S ABC ， ………………12分 设21≥+=n n t ，则22236464899t S t t t ==≤++， ………………13分当且仅当38=t 时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为83. ………………14分方法二：不妨设直线AB 的方程x ky m =+.由22,1,9x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x 得222(9)290k y kmy m +++-=， ………………6分 设),(11y x A ，),(22y x B ，则有12229km y y k +=-+，212299m y y k -=+. ① ………………7分因为以AB 为直径的圆过点C ，所以 0CA CB ⋅=. 由 1122(3,),(3,)CA x y CB x y =-=-，得 1212(3)(3)0x x y y --+=. ………………8分 将1122,x ky m x ky m =+=+代入上式，得 221212(1)(3)()(3)0k y y k m y y m ++-++-=.将 ① 代入上式，解得125m =或3m =（舍）. ………………10分 所以125m =（此时直线AB 经过定点12(,0)5D ，与椭圆有两个交点），所以121||||2ABC S DC y y ∆=-12==……………12分 设211,099t t k =<≤+，则ABC S ∆=所以当251(0,]2889t =∈时，ABC S ∆取得最大值83. ……………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：集合组1具有性质P . ………………1分所对应的数表为： (3)分集合组2不具有性质P . ………………4分因为存在{{2,3}1,2,3,4}⊆， 有123{2,3}{2,3},{2,3}{2,3},{2,3}A A A ===∅，与对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3}i ∈，有}{},{x y x A i = 或}{y 矛盾，所以集合组123{2,3,4},{2,3},{1,4}A A A ===不具有性质P . ………………5分（Ⅱ）1 1 1 1 1 11 1 10 0 0 0 0 0 00 00 1 1 00 0 0 1 1 0 0 1……………7分123{3,4,5,7},{2,4,6,7},{1,5,6,7}A A A ===. ………………8分 （注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同） （Ⅲ）设12,,,t A A A 所对应的数表为数表M ，因为集合组12,,,t A A A 为具有性质P 的集合组，所以集合组12,,,t A A A 满足条件①和②， 由条件①：12t A A A A =， 可得对任意x A ∈，都存在{1,2,3,,}i t ∈有i A x ∈， 所以1=xi a ，即第x 行不全为0，所以由条件①可知数表M 中任意一行不全为0. (9)分由条件②知，对任意的A y x ⊆},{，都至少存在一个{1,2,3,,}i t ∈，使}{},{x y x A i = 或}{y ，所以yi xi a a ,一定是一个1一个0，即第x 行与第y 行的第i 列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表M 中任意两行不完全相同. ………………10分因为由0,1所构成的t 元有序数组共有2t个，去掉全是0的t 元有序数组，共有21t-个，又因数表M 中任意两行都不完全相同，所以10021t≤-， 所以7t ≥.又7t =时，由0,1所构成的7元有序数组共有128个，去掉全是0的数组，共127个，选择其中的100个数组构造100行7列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质P .所以7t =. ………………12分 因为12||||||t A A A +++等于表格中数字1的个数， 所以，要使12||||||t A A A +++取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而7t =时，在数表M 中，1的个数为1的行最多7行；1的个数为2的行最多2721C =行； 1的个数为3的行最多3735C =行；1的个数为4的行最多4735C =行；因为上述共有98行，所以还有2行各有5个1，所以此时表格中最少有722133543552304+⨯+⨯+⨯+⨯=个1. 所以12||||||t A A A +++的最小值为304. ………………14分。