力学引论

小球在圆弧形滑块上运动的力学问题研究

何述平

【摘 要】探究了一个小球在圆弧形滑块上运动的力学问题，给出了细致的推证，结果表明：物体的速度、位移、加速度、作用力均随位置角参量θ变化，一对内力分别做了功，但做的总功等于零的特点；并进行了必要的教学讨论.

【期刊名称】物理通报

【年(卷),期】2014(000)007

【总页数】4

【关键词】力学问题 特点 教学研究 方法

1 引言

一个典型力学问题如下：如图1，质量为M，具有半径为R的圆弧形面的物块位于光滑水平面上，质量为m的小球自光滑圆弧面顶端滑下，最初物块和小球都处于静止状态.求小球脱离物块时小球和物块的速度［1，2］.其解答为：水平面为参照系，m 脱离M 时的速度方向均沿水平方向，由质点系的动量守恒和机械能守恒求得速度大小［1］.

然而，m和M 分别相对于水平面做何种运动？速度如何？位移如何？作用力怎样？功–能又怎样？似乎避而不谈，以致不甚明确；再者，解决此问题的物理学方法论有何特色？中学物理可合理解决到什么程度？

本文就此进行相应的探究，以期获得较完备的解答，并为此问题的开放式教学奠定坚实的物理理论基础.

2 探究

为了更加明晰起见，探究不局限于此题设问题，以获得此问题的尽可能完备的

信息.

以水平面为参照系（惯性系），分别以小球、物块为研究对象，受力如图2所示.

在水平面沿水平x方向、竖直y方向建立坐标系O－xy.依据牛顿第二定律，分别对m和M 有

依据牛顿第三定律有（大小关系）

由式（1）～ （5）知，m 和M 分别相对水平面可能做非匀变速直线运动（x，y方向）.

2.1 速度特点

设u为m相对M 的速度大小（方向沿圆弧切向），vm与vM分别为m与M

相对水平面的速度大小；则有

由式（1）、（3）和（5）得

式（9）对时间0～t积分，得

式（10）也可直接由质点系（m＋M）的水平方向动量守恒推得.由式（7）、（10）得

由式（7）、（8）和图2可知，m 相对M 的元位移udt与m受M的弹性力N正交；依据质点系一对内力做功的特点——一对内力做的总功仅决定于相互作用力和相对位移［3］，可定性推知，一对弹性内力N和N′做的总功等于零；则质点系（m＋M＋地球）的机械能守恒，有

张量分析

研一 熊焕君

2017.9.28

1.引论：

我们对标量和矢量都非常熟悉。标量是在空间中

没有方向的量，其基本特征是只需要一个数就可以表

示，且当坐标系发生转动时这个数保持不变，因此也

称其为不变量。而矢量是个有方向的量，三维空间中

矢量需要一组三个数（分量）来表示，其基本特征是

当坐标系发生转动时，这三个数按一定规律而变化。

然而在数学物理问题中，还常出现一些更为复杂的

量，如描述连续体中一点的应力状态或一个微元体的

变形特征等，仅用标量和矢量不足以刻画出他们的性

质。要描述这些量则有必要将标量和矢量的概念加以

引申和扩充，即引入新的量——张量。

在概念上，张量和矢量有许多类同之处。一方面

张量也表示某一客观存在的几何量或物理量，显然张

量作为一个整体是与描述它所选取的坐标系无关，可

像矢量代数那样，用抽象法进行描述；另一方面也可

像矢量一样采用坐标法进行描述，此时张量包含有若

干个分量元素，各个分量的取值与具体的坐标系相关

联。张量的主要特征是，在坐标系发生变化时，其分

量取值遵守着一定的转化定律。张量方法的核心内容

是研究一个复杂的量集坐标转换规律。

我们知道，一个物理定律如果是正确的，就必须

不依赖于用来描述它的任何坐标系，张量方法就是既

采用坐标系，而又摆脱具体坐标系的影响的不变方

法。于是我们可以在简单的直角坐标系中建立描述某

一运动法则的支配方程，如果需要可以用张量方法将

其转换到任意一个曲线坐标系中去。例如对于很大一

类边值问题，若选用恰当的曲线坐标系，其边界条件

可以简化的表达，那么我们就可以将支配方程用张量

方法转化到所采用的坐标系中来，从而使问题的求解

容易处理。

2.记号与约定

张量是包含有大量分量元素的复杂量集，必须使用

适当的记号和约定，才能使其表达形式简化紧凑，从

而使分析和讨论有序地进行。从某种意义上讲，可以

说张量是对记号的研究。所以我们必须熟悉各种约定

记号，才能对张量这个工具运用自如。在张量方法中

对一个量的标记采用字母标号法。

量子色动力学引论

量子色动力学（Quantum Chromodynamics，QCD）是基于量子场论的一种物理学理论，用于描述强相互作用中的强子和粒子的行为。它是标准模型的基本组成部分，与电磁力和弱力一起，构成了粒子物理学的基本理论框架。

以下是量子色动力学引论的主要内容：

1. 强子和胶子：量子色动力学的核心对象是强子（如质子和中子）和胶子（gluons）。强子由夸克组成，夸克是一种带有色荷的基本粒子，并通过胶子相互作用而稳定存在。

2. 色荷和色相互作用：夸克具有三种色荷（红、绿、蓝），而胶子携带色荷。色荷是量子色动力学的基本荷，类似于电荷在电磁力中的作用。色荷之间的相互作用是通过交换胶子实现的。

3. 渐进自由和发散性：在高能量和短距离下，量子色动力学渐进地表现出自由度，也就是夸克和胶子之间几乎没有束缚力。然而，在低能量和长距离下，色荷之间的相互作用会变得强大，这是因为QCD的发散性质。

4. 对色的约束：量子色动力学中存在一种称为色荷守恒的原则。它要求色荷总和为零，即夸克和反夸克之间的色荷必须相互抵消。

5. 色盲性和色输运：由于强子的色荷总是为零，因此色荷对于从强子到强子的传输几乎没有影响。这种现象称为色盲性，使得强子之间的色荷信息很难传递。

6. 链轴剧本：链轴剧本是一种用于描述夸克和胶子行为的近似方法。它基于强相互作用的渐进自由性，通过序列的近似变换来简化复杂的计算。

通过研究量子色动力学，可以深入了解强相互作用的本质、强子结构和粒子的产生和衰变。量子色动力学也是研究夸克-胶子等新物理现象和高能物理实验的重要理论基础。

[力学&振动] 本版所有弹性力学书籍整理

之前区版主fzqheu希望我能整理一下版内弹性力学书籍，今日有空把所有书籍整理了一下

本版弹性力学书籍基本涵盖了各个方面除超弹性和非弹性以外，既有经典理论著作也有工程弹性著作

感谢广大热心园友的无私奉献！

发现有差错记录的请通知版主修改，谢谢

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《弹性动力学》，杨桂通，铁道出版社，1988

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《弹性理论基础》，陆明万，清华大学，1990

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弹性动力学及其数值方法 马宏伟，吴斌编著

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经典书籍《光弹性应力分析》，上海科学技术出版社1979年版

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陆明万、罗学富《弹性理论基础（第二版）》上册