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第四章拉氏方程的格林函数法(8课时)

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1 第四章 拉氏方程的格林函数法

（第十七讲）

 前面几章，介绍了几种求解PDE定解问题的方法：分离变量法、行波法、积分变换法。

 本章介绍令一种求解拉氏方程的格林函数法。

首先来看一下我们要研究的定解问题是怎么提出的。

§4 .1 拉氏方程边值问题的提法

在第一章中，我们知道，对于无源的稳恒热传导问题满足拉氏方程，它的边值问题一般有三种提法。研究最多的就是前面两种。

1）第一边值问题

边界条件为:fu,

要求的解)()(02CCu，既u在区域上连续，在上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上与f吻合。，为边界；称第一边值问题为狄利克莱(Dirichlet)问题，简称狄氏问题。通常称拉氏方程的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并满足拉氏方程的连续函数为调和函数。

2）第二边值问题

边界条件为:fnu,

要求的解)()(12CCu，既u在区域上有一阶连续导数，在上有二阶连续导数，满足拉氏方程且在边界上满足上边界条件。称第二边值问题为牛曼（Neumann）问题，简称牛氏问题。

前面两种边值问题都是在内求解拉氏方程，故称此类方程为内问题。另外，有这样一类问题，如已知某区域边界上的温度，要求该区域之外的温度分布情况，这就归结为在区域外求解拉氏问题，称这样的问题为外问题。

注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。

1,1,01222ruzrxrru

易知ruu/1,1都是上定解问题的解，这就出现了解的不唯一性，为了保证解的唯一性，通常我们要加一些限制条件，三维问题时

0limur 2 二维问题通常假定解有界。

3）狄氏外问题 （略）

4）牛氏外问题 （略）

§4.2 格林公式及其应用

一、格林公式的推导

为建立拉氏方程解的积分公式，我们先推导格林函数，它由曲面积分的Guass公式直接导出。

设是以足够光滑的曲面为边界的有界区域，),,,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP是在上连续的，且在内具有一阶连续偏导数的任意函数，则成立下面的Guass公式：

dSynRynQxnPdVzRyQxP)],cos(),cos(),cos([)(

下面推导格林公式

设)()(,12CCvu，令

zvuRyvuQxvuP,,

代入Guass公式可得

dVvudSnvudVvu2

此式称为第一格林公式。

若令上公式中u，v对换，可得

dVvudSnuvdVuv2

两式相减可得第二格林公式

dSnuvnvudVuvvu)()(22。

3 第十八讲

二、应用

利用格林公式推导调和函数的一些性质

1） 调和函数的积分表达式

设),,(0000zyxM为内任意一点，我们要求调和函数在该点的值，为此构造一个函数

202020)()()(11zzyyxxrv

函数r1除点),,(0000zyxM外处处满足拉氏方程，它在研究三维拉氏方程起重要作用，通常称为三维拉氏方程的基本解。因r1有奇异点，故以),,(0000zyxM为中心，以一充分小的正数为半径作一球面，在中挖去包含的区域K，则知函数r1在K上任意次可微。在第二格林公式中，取,/1rvu为调和函数且在闭区域上有一阶连续导数，则有

0)11(dSnurnru

注意到：在球面上， 0MK 



x y z

O 4 2111rrnr

因此可得

udSudSnru4112

u为在球面上u的平均。

同理可得

?)(411nudSnudSnur

所以有

0?)(44)11(nuudSnurnru

当0时，有),(lim00Muu（u连续），?)(nu有界（u的一阶导数连续）

dSnurrnMudSnurnruMuMMMM)1)1()((41)11(41)(000

上式说明，调和函数u在内任意一点的值，可通过积分表达式用这个函数在边界上的值和边界上的法向导数来表示。

2） 牛曼内问题有解的必要条件

对于牛曼问题的解u，取v=1，运用格林公式可得

0dSfdSnu

此为牛曼问题解存在的必要条件，也是充分条件（见黄克欧《数理方程》）。

3） 平均值公式

设函数)(Mu在某区域是调和的，),,(0000zyxM为其中任一点，aK以),,(0000zyxM为中心，以a为半径完全落在中的球面，则下平均公式成立：

aKudSaMu2041)(

证明：将调和函数的积分公式应用到aK可得 5 dSMuadSnuadSMuadSnurrMudSnurrrMudSnurrnMuMu)((4141)((41)1)1)(((41)1)1()((41)1)1()((41)(2220

4） 拉氏问题解的唯一性

结论：狄氏问题在)()(12CC（为了利用格林函数）内解唯一，实际上在)()(02CC内解是唯一的；牛曼问题除相差一常数外解也是唯一的。

设u1，u2为方程的解，令u＝u1－u2，满足问题为零边界的解，对狄氏问题和牛曼问题分别为

0,0uu

和

0,0nuu

令21uuuv，运用格林公式可得

CuudVuudVuudSnuudVuu002

对狄氏问题由边界条件知道C＝0，故u＝0；从而狄氏问题由唯一解；

对牛曼问题，由边界条件可知解除了相差一个常数外也是唯一的。

6 第十九讲

§4.3 格林函数

为什么引入格林函数？

由上一节可知，调和函数的积分公式为

dSnurrnMuMuMMMM)1)1()((41)(000

对于狄氏问题或牛曼问题，利用上公式都不能直接得到想要问题的解，因为，比如狄氏问题，知道边界条件u，但不知道nu的值，所以要想求得狄氏问题的解就要想法消去积分公式中的nu。故而我们需要引入格林函数。

在第二格林公式中，令)(,1Cvu且在内都是调和函数，则有

0)(dSnuvnvu

与调和函数的积分公式相加可得

dSnuvrrnnvMuMuMMMM}]41[)]1(41)[({)(000

显然，若能选择调和函数v，满足

rv41

则

dSvrnMuMuMM)41()()(00

令vrMMGMM0141),(0，则

dSnGMuMu)()(0，

其中),(0MMG被称为拉普拉氏方程的格林函数。

易见，若调和函数v一旦求出，则狄氏问题的解若存在，则其解可表示为

dSnGMuMu)()(0（*）。 7 当然对于泊松问题

fuFu

若解)(1Cu存在，则可表示为

GFdVdSnGMfMu)()(0。

注：上公式推导可先求其积分公式，再得上结果。

从而，对任意的f，求解狄氏问题或泊松问题就转化为在此区域内的格林函数问题的求解。由前面的讨论知，需求解下面一特殊的狄氏问题

0410MMruv

对于一般的区域，上问题的求解也不容易，但求解公式(*)仍有重要的意义：（1）格林函数仅依赖于区域，而与原问题的边界条件无关，因此，只要求得某个区域的格林函数，就能一劳永逸的解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题。（2）对于特殊区域的格林函数，如球，半空间等，格林函数可以用初等法求得。

格林函数的物理意义：

0M点放正电荷，边界接地，则内侧为负电荷，则内任意一点M处的电位由两部分产生，一个是0M处正电荷产生的电位041MMr，令一个为内侧负电荷产生的电位v，从而M的电位vrMMGMM0141),(0，其中v为方程

0410MMrvv

的解。格林函数正是导电曲面内的电位。 0M 8 第二十讲

§4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解

由4.3知，狄氏问题的解为

dSnGMuMu)()(0

需要求解格林函数),(0MMG，对于某些特殊区域可用电象法求得。

下面介绍一下什么是电象法。

所谓电象法，就是在区域外找出0M关于的象点1M，放上负电荷。它产生的电位与0M点正电荷产生的电位在上正好抵消。因1M在外，显然此点电荷产生的电位在内是调和的，且在边界上满足041MMrv，故0M和1M在内形成的电场的电位即所求格林函数。

4.4.1 半空间的格林函数

求下定解问题

RyxfuRyxzuz,,,,0,00

由调和函数的积分公式知

dSnGMuMu)()(0 0 M

1M 

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电动力学知识的总结

电动力学知识的总结

实用标准文案

精彩文档 第一章

电磁现象的普遍规律

§1.1

电荷与电场

1、库仑定律

（1）库仑定律

如图1-1-1所示，真空中静止电荷'Q对另一个静止电荷Q的作用力F为

'3''041rrrrQQF （1.1.1）

式中0是真空介电常数。

（2）电场强度E

静止的点电荷'Q在真空中所产生的电场强度E为

'3''041rrrrQE （1.1.2）

（3）电场的叠加原理

N个分立的点电荷在r处产生的场强为

'13'0'4iNiiirrrrQE （1.1.3）

体积V内的体电荷分布'r所产生的场强为

'3'''041rrrrdVrEV （1.1.4）

式中'r为源点的坐标，r为场点的坐标。

2、高斯定理和电场的散度

高斯定理：电场强度E穿出封闭曲面S的总电通量等于S内的电荷的代数和)(iiQ除以0。用公式表示为 实用标准文案

精彩文档 iiSQSdE01 （分离电荷情形） （1.1.5）

或

VSdVSdE01 （电荷连续分布情形） （1.1.6）

其中V为S所包住的体积，Sd为S上的面元，其方向是外法线方向。

应用积分变换的高斯公式

VSdVESdE （1.1.7）

由（1.1.6）式可得静电场的散度为

扇形柱体区域上狄利克雷问题的格林函数

扇形柱体区域上狄利克雷问题的格林函数

第１５卷第１期　２０１２年１月　高等数学研究　ｓＴＵＤＩＥＳ　ＩＮ　ＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　Ｖｏｌ。１５，Ｎｏ．１　Ｊａｎ．，２０１２　厂＼、　扇形柱体区域上狄禾Ｉ』克雷问题的格林函数　王忠义　（西安石油大学理学院，陕西西安７１００６５）　摘　要　针对平面上圆心角为２　的偶数等分的扇形区域上拉普拉斯方程的第＿边值问题，利用几何直观法　和反演变换法求出对应的格林函数，并考虑扇形半径为无穷大时的特殊情形．考虑三维空间中扇形柱体区域的狄　利克雷问题，分别讨论一端有界和两端无界的柱体，求出相应的格林函数．指出圆心角为偶数等分的扇形区域和扇　形柱体区域上的狄利克雷问题完全可以用格林函数法求解．　关键词　拉普拉斯方程；狄利克雷问题；反演变换法；格林函数法　中图分类号　０１７５．２５　文献标识码　Ａ　文章编号　１００８－１３９９（２Ｏｌ２）Ｏ１一ｏｏ１８一Ｏ４　１　狄利克雷问题与格林函数法　设ｎ是三维空间中任一区域，Ｓ是ｎ的边界面，　所谓区域ｎ上的狄利克雷（Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ）问题，是指求　一三元函数ｕ（ｘ，Ｙ，ｚ）使之满足下述拉普拉斯方程　和边界条件的问题　ｆＡｕ一０，　在区域ｎ内，　Ｉ　＝ｆ，　在ｎ的边界上，　其中　一　ａＺｕ十，　ａ２ｕ十　ａ２ｕ，　而．厂是边界Ｓ上的函数．　利用格林函数法，上述问题的解可以写成以下　积分形式［１　（Ｍ０）一　厂ａａＧ　ｄｓ，　（１）　其中函数　Ｇ—Ｇ（Ｍ；Ｍｏ），　而点Ｍｏ（ｚ。，　０，ｚ。）表示ｎ内任一定点，Ｍ（ｘ，Ｙ，ｚ）　表示变点，　表示函数Ｇ关于界面Ｓ的法向导数，　函数Ｇ满足条件　（ｉ）除Ｍｏ外，Ｇ在ｎ内调和（Ａｕ＝＝＝Ｏ），在点Ｍｏ　变为无穷大，而差Ｇ一　保持有界，其中　ｒ一￣／　一　）　＋　一　）　＋（ｚ—ｚｏ）　．　（ｉｉ）在界面Ｓ上函数Ｇ恒等于零．　称函数Ｇ为拉普拉斯方程△“＝０关于区域ｎ的狄　利克雷问题的格林函数．　‘　收稿日期：２００９—０９—０１；修改日期：２０１ｌｑ１－２９　，　作者简介：王忠义（１９５４－－），男，陕西礼泉人，硕士，教授，主要从事运　筹学研究．Ｅｍａｉｌｉｗｚｌｙ＿ｗｓｆ（￣１２６．ｃ０ｍ　对于平面问题，拉普拉斯方程关于区域ｎ的狄　利克雷问题为　ｆ△　一０，・　在区域ｎ内，　Ｉ　：ｆ，　在ｎ的边界上，　其中　是二维平面中任一区域，ｌ是　的边界，　．　ａ　ｉ　ａ　“　。　一　十　’　而，是边界１上的函数．　利用格林函数法，上述问题的解可以写成以下　积分形式　（Ｍｏ）一一　ａａＧ　ｄｌ，　（２）　其中函数　Ｇ—Ｇ（Ｍ；Ｍｏ），　而Ｍｏ（ｚ。，Ｙ。）表示　内任一定点，Ｍ（ｘ，　）表示变　点．Ｇ满足条件　（ｉ）除Ｍｏ外，Ｇ在ｎ内调和（Ａｕ一０），在Ｍｏ变　为无穷大，而差Ｇ—ｌｎ　保持有界，其中　ｒ＝，ｆｉｘ—ｚｏ）　＋（　—Ｙｏ）。．　（ｉｉ）在边界ｚ上函数Ｇ恒等于零．　与分离变量法和傅氏变换法不同，格林函数　法给出的解是有限的积分形式，十分便于理论分　析和研究　一旦求出某个区域上的（狄氏）格林函　数，便可“一劳永逸”地得到这个区域上的一切狄　氏问题的解．　目前，在一个区域中寻找对应的格林函数Ｇ，本　身并不是一件很容易的事情，只有当边界为简单的　几何形状的问题时，才能较容易求出，如对于一般的　圆、半平面、球、半空间等，可用不同的方法对其求　解，如镜像法、本征值展开法、共形映射法　引，而对　于稍微复杂的区域就很难求出其格林函数．

数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]

数学物理方程-第五章格林函数法[整理版]

第五章 格林函数法

在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet问

题的解.本章利用Green函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet问

题. 另外，也简单介绍利用Green函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界

问题. 应指出的是：Green函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初

边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.

§5

1 格林公式

在研究Laplace 方程或Poisson方程边值问题时，要经常利用格林（Green）

公式，它是高等数学中高斯（Gauss）公式的直接推广.

设

为3

R中的区域，充分光滑. 设k

为非负整数，以下用

()k

C表示在

上具有k阶连续偏导的实函数全体，

()k

C表示在上具有k

阶连续偏导的实

函数全体. 如

10

()()()()uCCCC，表示

(,,)uxyz在

具有一阶连续偏导数而在上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.

如将

(,,)Pxyz简记为

P，(,,)Pxyz

x

简记为P

x

或

xP等等.

设

(,,)Pxyz，

(,,)Qxyz和

(,,)Rxy

z1

()C，则成立如下的Gauss公式

()PQR

dVPdydzQdydxRdxdy

xyz







(1.1)

或者

()(coscoscos)PQR

dVPQRds

xyz







(1.2)

如果引入哈米尔顿（Hamilton）算子： (,,)

xyz



，并记(,,)FPQR

，

则Gauss公式具有如下简洁形式





dsnFdvF

(1.3)

其中(cos,cos,cos)n



为

的单位外法向量.

注1 Hamilton算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)FPQR

时，

其运算定义为 (,,)(,,)

数理方法资料1

数理方法资料1

课程介绍

数学物理方法是物理类专业的必修课和重要基础课，也是一门公认的难道大的课程。该课程通常在本科二年级开设，既会涉及到先行课高等数学和普通物理的内容，又与后续课程密切相关。故这门课学习情况的好坏，将直接关系到后继课四大力学和专业课程的学习问题，也关系到学生分析问题解决问题的能力的提高问题。如何将这门“难教、难学、难懂”的课变为“易教、易学、易懂”的课，一直是同行教师十分关注的问题。

本课程包括复变函数论、数学物理方程、特殊函数、非线性方程和积分方程共四篇的内容。其中，第一篇复变函数论又含解析函数、解析函数积分、无穷级数、解析延拓·Г函数和留数理论五章；第二篇数理方程又包括：定解问题、行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法五章；第三篇特殊函数又包括勒让德多项式、贝塞耳函数、斯特姆-刘维本征值问题三章；而第四篇包括非线性方程、积分方程两章。第一、二、三篇为传统数学物理方法课程所含内容，而第四篇是为了适应学科发展需要所引入的传统同类教材中没有的与前沿科学密切相关的新内容。

《数学物理方法》 是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为进行下一步的专业课程学习提供基础的数学处理工具。所以，本课程受到物理系学生和老师的重视。

对一个物理问题的处理，通常需要三个步骤：一、利用物理定律将物理问题翻译成数学问题；二、解该数学问题；三、将所得的数学结果翻译成物理，即讨论所得结果的物理意义。因此，物理是以数学为语言的，而"数学物理方法"正是联系高等数学和物理专业课程的重要桥梁。本课程的重要任务就是教会学生如何把各种物理问题翻译成数学的定解问题，并掌握求解定解问题的多种方法，如分离变数法、付里叶级数法、幂级数解法、积分变换法、保角变换法、格林函数法、电像法等等。

近十几年来，负责厦门大学物理系"数学物理方法"课程教学的教师共有三位（朱梓忠教授，张志鹏，李明哲副教授），他们都是中青年教师，均获得物理方面的理学博士学位。他们在教学中能合理取舍，注重传授学生正确的学习方法和简明的解题思路，着重培养学生分析问题与解决问题的能力。