2011数农真题参考答案

α
3)
=
r
(α1,
α
2
,α3
,
β
)
=
2
，线性方程组
(α1,
α2
,α3
⎜⎛ )⎜
x1 x2
⎟⎞ ⎟
=
β
⎜⎝ x3 ⎟⎠
有解，
β
可由 α1, α 2 , α 3
线性表示，且因
(α1, α 2 , α3
|
β
)
→
⎜⎛ ⎜
1 0
1 1
1 3
1 ⎟⎞ 2⎟
→
⎜⎛ ⎜
1 0
0 1
−2 3
− 1⎟⎞ 2⎟
，
⎜⎝ 0 0 0 0⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0 0 ⎟⎠
+
1 n
Xn)
=
∑ 1 n−1
n −1 i=1 E( Xi )
+
1 n
EX n
=
1 ⋅ (n n −1
− 1)λ
+
λ n
=
λ
+
λ n
所以 E(T1) < E(T2) 。
D(T1)
=
D( 1 n
n
∑
i =1
Xi)
=
1 n2
n
∑
i =1
D( X i )
=
1 n2
⋅
nλ
=
λ n
∑ ∑ D(T2)
=
D(
n
1 −
2x x+y=2
可知
SG
= 1，故
0 0
− 1⎟⎞ 0⎟
，
⎜⎝1 0 0 ⎟⎠
⎜⎝ −1 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝0 0 0 ⎟⎠
故对应于
λ
=
1
的两个线性无关的特征向量为
ξ1
=
⎜⎛ ⎜
0 ⎟⎞ 1 ⎟, ξ2
=
⎜⎛ ⎜
1 ⎟⎞ 0⎟
；
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
对于
λ
=
−1，有
−
E
−
A
=
⎜⎛ ⎜
− −
1 1
0 −2
−1⎟⎞ ⎜⎛1 1 ⎟ →⎜0
−1 − a −1 1 a 0 所以 λ = −1，即| −E − A |= 0 ，即 −1 − 2 1 = 1 2 2 = 2a = 0 ，所以 a = 0 。
−1 0 −1 1 0 0
⎜⎛ 0 （Ⅱ）A = ⎜1
0 1
1 ⎟⎞ − 1⎟
，对于特征值
λ
=
1，有E源自−A=⎜⎛ ⎜
1 −1
0 0
−1⎟⎞ ⎜⎛1 1 ⎟ →⎜0
（7）选（B）
解：因为 0 < P(A) < 1， A ⊂ B ，故 0 < P( A) ≤ P(B) ≤ 1。又 A ∪ B = B, AB = A ，所
以 P(A | A ∪ B) = P( A | B) = P( AB) = P(A) ≥ P( A) ，选（B）。 P(B) P(B)
（8）选（D） 解：因为 X1, X2,", Xn 是来自参数为 λ 的泊松分布的简单随机样本，则有
（4）选（A）
解：
dz
=
− 1+
e− xy e − 2 xy
( xdy
+
ydx)
=
− 1+
e xy e2 xy
( xdy
+
ydx)
，选（A）。
（5）选（D）
解：A⎜⎜⎝⎛11
10 ⎟⎟⎠⎞
=
B
，⎜⎜⎝⎛
0 1
1 0
⎟⎟⎠⎞B
=
E
，所以
A
=
⎜⎜⎝⎛
0 1
1 0
⎟⎟⎠⎞−1
⋅
⎜⎜⎝⎛11
0 1
⎟⎟⎠⎞−1
三、解答题
（15）解：
（Ⅰ）因为 lim f (x) = lim ex − cos x = lim (ex + sin x) = 1，而 f (0) = a ，故 a = 1 时
x→0
x→0 x
x→0
f (x) 在 x = 0 处连续。
（Ⅱ）当
x
≠
0
时，
f
/ (x)
=
(ex
+ sin
x)x − (ex x2
E( X1) = E( X 2) = " = E( X n ) = λ ， D( X1) = D( X 2) = " = D( X n ) = λ ，那么
1
E(T1)
=
E(1 n
n
∑
i =1
Xi)
=
1 n
n
∑
i =1
E(Xi)
=
1 n
⋅
nλ
=
λ
E (T2 )
=
∑ 1 n−1
E( n −1 i=1 Xi
P−1AP
=
Q。
⎜⎝ 0 1 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
（22）解：
（Ⅰ）因为 P( X 2 = Y 2) = 1 ，所以 P( X 2 ≠ Y 2) = 1 −1 = 0 ，则
P( X = 1, X 2 ≠ Y 2) = P( X = 1,Y = 0) = P( X = 1| X 2 ≠ Y 2)P( X 2 ≠ Y 2) = 0
t dt = t arcsin t + 1−t2
1− t2 + C0
= x arcsin x + 1 − x + C0
所以原式 = 2 x + 2 x arcsin x + 2 1− x + C 。
（17）解： xdy + (x − 2 y)dx = 0 ，即 dy − 2 ⋅ y = −1，故 dx x
则
⎜⎛ ⎜
x1 x2
⎟⎞ ⎟
=
⎜⎛ −1⎟⎞ ⎜2⎟
+
⎜⎛ 2 ⎟⎞ k⎜− 3⎟
，于是
β
=
(2k
− 1)α1
+
(−3k
+
2)α2
+
kα3 。
⎜⎝ x3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 ⎟⎠
（21）解： （Ⅰ）1 是 A 的二重特征值，设 λ 是 A 的另一个特征值，则 trA = 1+ 1+ λ = 0 +1+ 0 = 1，
P( X = 1,Y = −1) = P(Y = −1) − P( X = 0,Y = −1) = 1 3
P( X = 1,Y = 1) = P(Y = 1) − P( X = 0,Y = 1) = 1 3
故（X，Y）的概率分布为
X
Y
‐1
0
0
0
1
1/3
0
1/3
1
1/3
0
1/3
2/3
1/3
1/3
1/3
x→0
=
1 2
所以 λ = 2 ， k = 3 ，选（C）。
（3）选（A）
解：当 0 < x < π 时， sin x < x ，故 sin x < 1 < x ，所以有
4
x
sin x
I1
=
∫0π
/
4
sin x
x
dx
<
∫0π
/
4
dx
<
∫0π
/
4
x sin
x
dx
=
I2
即 I1
<
π 4
<
I2 ，选（A）。
t→0
t→0
f / (x) = e3x + 3xe3x = (1 + 3x)e3x 。
（10） y = 2
解： y/ = 3x2 − 6x + 3 ， y// = 6x − 6 ， y/// = 6 ，所以点 (1,2) 为曲线的拐点，而
y/ (1) = 0 ，所以 y = 2 为拐点处的切线方程。
又 P( X = 0, X 2 ≠ Y 2) = P( X = 0,Y = 1) + P( X = 0,Y = −1) = 0 ，则
P(X = 0,Y = 1) = P(X = 0,Y = −1) = 0
而 P( X = 0,Y = 0) = P( X = 0) − P( X = 0,Y = 1) − P( X = 0,Y = −1) = 1 3
⎜⎝ 1 2 4 a ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 3 a −1⎟⎠ ⎜⎝0 0 0 a − 3⎟⎠
（Ⅰ）当
a
≠
3
时，r(α1,
α2
,
α
3)
≠
r(α1,
α2,
α3,
β
)
，方程组
(α1,
α
2
,α3
⎜⎛ )⎜
x1 x2
⎟⎞ ⎟
=
β
无解，
⎜⎝ x3 ⎟⎠
故此时 β 不能由α1,α2,α3 线性表示。
（Ⅱ）当
a
=
3
时，r (α1, α 2 ,
0 −2
1⎟⎞ ⎜⎛1 2⎟ → ⎜0
0 1
1 ⎟⎞ − 1⎟
，故对应于
⎜⎝ −1 0 −1⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 0⎟⎠ ⎜⎝0 0 0 ⎟⎠
λ
=
−1的特征向量
ξ3
=
⎜⎛ ⎜
− 1⎟⎞ 1⎟
。
⎜⎝ 1 ⎟⎠
5
取
P
=
⎜⎛ ⎜