模拟试卷2

中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力模拟卷（二）（高级中学）考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设1234(,,,)=A αααα是4阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组=Ax 0的一个基础解系，则*=A x 0的基础解系可为（）．A ．13,ααB ．12,ααC ．123,,αααD ．234,,ααα2．方程yxdx dy =的解是（）．A ．cx y +=B ．cy x =+22C ．c x y =-22D ．c y x =+2213．若级数1nn a∞=∑收敛，1nn b∞=∑发散，则（）．A ．1n nn a b∞=∑必发散B ．21nn a∞=∑必收敛C ．21nn b∞=∑必收敛D ．1()nn n ab ∞=+∑必发散4．过点)2,1,1(-M 且垂直于平面π：05432=-+-z y x 的直线方程为（）．A ．42z 31y 21x -=-+=-B ．42z 31y 21x -=+=-C ．42z 31y 21x +=-+=-D ．42z 31y 21x -=-+=+5．函数的零点的个数为（）．A ．0B ．1C ．2D ．36．将5名学生分到,,A B C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有（）．A ．18种B ．36种C ．48种D ．60种7．假设n （n ≥2）阶矩阵A 为非奇异矩阵，则下列等式正确的是（）．A ．2()n A AA -**=⋅B ．1()n A AA-**=⋅C ．1()n A AA +**=⋅D ．2()n A AA+**=⋅8．从整个数学教学的宏观来看，数学教学有五大类难点，它们包括：利用方程解应用题，代数到几何的过渡，常量数学到变量数学的过渡，有限到无限的过渡以及（）．A ．换元法B ．数字化C ．必然到或然的过渡D ．函数的概念二、简答题（本大题共5题，每小题7分，共35分）9．判别级数111......1335(21)(21)n n ++++∙∙-∙+的收敛性，如果收敛，求其和．10．设123,,ααα线性无关，证明122331,,αααααα+++也线性无关．11．设随机变量X的概率分布为P{X＝1}＝P{X＝2}＝0．5，在给定x=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U（0，i）,（i=1,2）．问题：（1）求Y的分布函数F（y）（2）求EY12．怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何使学生成为学习的主体？13．学生在学习数学过程中，会因为各种原因出现错误，教师应如何对待学生的数学错误．三、解答题（本大题1小题10分）14．《中小学数学课程标准》中提出，教师应成为学生活佛那个的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件，请结合教学实际，教师“组织”“引导”“合作”分别体现在哪些方面．四、论述题（本大题1小题，15分）15．人们常说：“一个好的开始就是成功的一半．”数字来源于生活又服务于生活，请你结合一个具体的案例说明创设生活化情景对数学课堂教学有何作用．五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题16．某学生在做题目求过点)1,0(的直线，使它与抛物线x y 22=仅有一个交点．的解题过程如下：设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y ，则它与抛物线的交点为⎩⎨⎧=+=xy kx y 212，消去y 得.02)1(2=-+x kx 整理得.01)22(22=+-+x k x k 直线与抛物线仅有一个交点，,0=∆∴解得∴=.21k 所求直线为.121+=x y （1）指出学生的错误之处（2）分析学生的错误原因（3）写出正确解法六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．下列是普通高中课程标准实验教科书必修《数学》第四册（人教版）关于“简单的三角恒等变换”的部分教学内容，请阅读并据此回答问题．例2．求证：（1）sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];（2）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=证明：（1）因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β将以上两式的左右两边分别相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β即sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)](2)有（1）可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2把α，β的值带入（1）即得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=问题：（1）写出该部分教学内容的教学目标、重点和难点（2）写出该部分教学内容的教学应渗透的数学思想（3）对该内容设计教学过程简案（4）对例2（2）给出另一种证明中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力模拟卷（二）（高级中学）考试时间：120分钟满分：150分一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．【答案】D ．解析：因为=Ax 0的基础解系含一个线性无关的解向量，所以()3,r =A 于是*()1r =A ，故*=A x 0的基础解系含有3个线性无关的解向量，排除A 、B ．又*||==A A A E 0，且()3,r =A 所以A 的列向量组中含有*=A x 0的基础解系，所以13+=αα0，故选D ．2．【答案】C ．解析：方程为'yy x =，两边同时积分得222211,22y x c y C =+-=即x ，正确选项为C ．3．【答案】D ．解析：根据级数收敛的定义可知，D 选项为正确选项．4．【答案】A ．解析：因为所求直线与已知平面垂直，所以所求直线与已知平面的法向量平行．因此，取已知平面的法向量为所求直线的方向向量，即v =}4,3,2{-．于是，所求直线的方程为423121-=-+=-z y x ．5．【答案】D ．解析：画出函数的图象，观察图象与x 轴交点个数有3个，故选D ．6．【答案】D ．解析：第一步：先安排甲学生，他可以去B 或C 宿舍，共有2种安排方法；第二步：若甲在B 宿舍，B 宿舍可以不安排其他学生，那么其余4人平均安排在A 、C 宿舍有2242C C ；B 宿舍也可再安排一个学生有14C 种，其余3人安排在A 、C 宿舍，其中一个1人、一个2人，有12213231C C C C +种，所以共有1122143231()C C C C C +．综上两步有：221122142432312[()]2[64(33)]60C C C C C C C ++=⨯+⨯+=种，故选择D ．7．【答案】A ．解析：211111,,()()n A A A A A A A A A A A A A*--*-**---==⋅=⋅⋅=⋅．8．【答案】C ．解析：从整个数学教学的宏观来看，数学教学有五大类难点，它们包括：利方程解应用题，代数到几何的过渡，常量数学到变量数学的过渡，有限到无限的过渡以及必然到或然的过渡．二、简答题（本大题共5题，每小题7分，共35分）9．【答案】解析：由于211(21)(21)n n n ≤-∙+，而级数211n n∞=∑是收敛的，利用比较判别法即知111......1335(21)(21)n n ++++∙∙-∙+是收敛的．10．【答案】解析：设由线性关系112223331()()()0k k k αααααα+++++=，则131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=．再由题设知123,,ααα线性无关，所以13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1230k k k ===，所以122331,,αααααα+++线性无关．11．【答案】（1）0,03014()11124212y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩；（2）78．解析：()()(,1)(,2)(/1)(1)(/2)(2)F y P Y y P Y y X P Y y X P Y y X P X P Y y X P X =≤=≤=+≤==≤==+≤==1[(/1)(/2)]2P Y y X P Y y X =≤=+≤=，当0y <时，()0F y =；当01y ≤<，1113()2224F y y y y =+⨯=，当12y ≤<，11111()22242F y y y =+⨯=+；当2y ≥，()1F y =．所以0,03014()11124212y y y F y y y y <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪+≤<⎪⎪≥⎩．（2）'3,0141()(),1240,y f y F y y ⎧<<⎪⎪⎪==<<⎨⎪⎪⎪⎩其他则，可知1201317()448E Y ydy ydy =+=⎰⎰．12．【参考答案】好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一．一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展．启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径．教师富有启发性的讲授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体．13．【参考答案】作为老师，我们应该正视学生在学习过程中出现的错误，立足于学生，和学生一起去探索、学习数学知识，真正发挥学生学习主体作用，要善于变“错”为宝，合理利用这些“错误”资源．首先要能够及时展现学生潜在的错误，并及时引导学生自查自纠，引导学生联系生活实际发现自己的问题，并且知道学生建立自己的错题集，争取以后少犯错．三、解答题（本大题1小题10分）14．【参考答案】教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活动．教师的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累经验、感悟思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学习活动，提高教学活动的针对性和有效性．教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果．四、论述题（本大题1小题，15分）15．【参考答案】学习的创造性来源于学生对问题的解决，在数学课堂教学中，适时地．合理地创设生活化的问题情境，设置适当的悬念，引导学生在教师创设的生活情境中不断地根据自己的生活经验进行探索．可以激发学生的学习兴趣，更有利于新知识的讲授以及理解．比如我们在七年级数学的“绝对值”这节的学习中．我们可以通过具体的例子：星期天黄老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行20千米，到松下沙滩，下午她又向西行30千米，回到家中（学校．松下沙滩．家在同一直线上），如果规定向东为正，①用有理数表示黄老师两次所行的路程；②如果汽车每公里耗油0．15升，计算这天汽车共耗油多少升？体现了数学知识与生活实际的紧密联系，让学生在这些熟悉的日常生活情境中获得数学体验，不仅加深对绝对值的理解，更感受到学习绝对值概念的必要性和激发学习的兴趣．避免了通过练习归纳出求有理数的绝对值的规律，直接给出绝对值的概念，灌输知识，且太抽象，让学生不易接受，从而达到更好的学习效果．五、案例分析题（本大题1小题，20分）阅读案例，并回答问题16．【参考答案】（1）此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为1+=kx y 时，没有考虑0=k 与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的．第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况．原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透．第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即,0≠k 而上述解法没作考虑，表现出思维不严密．（2）高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略．改生没有考虑到直线存在的特殊情况以及相交只有一个交点时的特殊情况，均导致了题目解析错误，说明该生审题不认真，对于直线的表示形式没有理解透彻，也没有掌握一定的做题方法，如数形结合．（3）①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴，因为过点)1,0(，所以,0=x 即y 轴，它正好与抛物线x y 22=相切．②当所求直线斜率为零时，直线为y =1平行x 轴，它正好与抛物线x y 22=只有一个交点．③一般地，设所求的过点)1,0(的直线为1+=kx y )0(≠k ，则⎩⎨⎧=+=x y kx y 212，∴.01)22(22=+-+x k x k 令,0=∆解得k =12，∴所求直线为.121+=x y 综上，满足条件的直线为：.121,0,1+===x y x y 六、教学设计题（本大题1小题，30分）17．【参考答案】（1）教学目标：1、知识与技能：掌握三角恒等变换公式，能用三角恒等变换公式及二倍角公式正确解决简单的三角恒等变换问题．2、过程与方法：通过解决简单三角恒等变换问题，提升基础知识到实际运用的能力．3、情感态度价值观：从问题的前后设置，感受数学知识运用的联系，体会逆向使用公式的思想，提高推理能力，激发数学学习的兴趣．教学重难点：1、教学重点：运用三角恒等变换公式解决简单的三角恒等变换问题．2、教学难点：运用三角恒等变换公式以及倍角公式正确解决简单的三角恒等变换问题．（2）转化思想、类比思想（3）教学过程：一、复习引入：复习三角函数和差公式以及倍角公式二、探索新知：问题：思考α与2α的关系．尝试用cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα总结出：222sin ,cos ,tan 222ααα三、课堂练习：求证：（1）sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)];（2）sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=证明：（1）因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β将以上两式的左右两边分别相加得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β即sin αcos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]（2）有（1）可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β设α+β=θ，α-β=φ那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2把α，β的值带入（1）即得sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=四、小结作业：1、本节课所学到那些公式，与之前的公式有何关系？2、作业：思考：代数式变换与三角变换有何不同？（4）2sin cos 2sin cos cos sin cos cos sin sin 2222222222θϕθϕθϕθϕθϕθϕ+-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin cos sin 222222222222θθϕϕϕθθθϕϕϕθ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭2sin cos 2sin cos sin sin 2222θθϕϕθϕ=+=+。

武汉市2023-2024九年级元调物理模拟试卷（二）说明：满分70分；考试时间60分钟。

注意事项：1．答题前，务必将姓名、考号等信息填写在答题卡指定位置。

2．请将答案直接填写在答题卡上。

一、选择题（共12小题，共36分。

每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题选对的得3分，错选或未选的得0分。

）1.古诗词是中华传统文化的瑰宝，其中蕴含着丰富的物理知识，下列古诗词中加点字能够说明分子不停地做无规则运动的是（）A．流水落花春也去，天上人间B．零落成泥碾作尘，只有香如故C．城阙辅三秦，风烟望五津D．野马也，尘埃也，生物之以息相吹也2.如图所示，用塞子塞紧瓶口，再用打气筒向瓶内打气，当瓶内气压达到足够大时，塞子从瓶口冲出。

下列关于瓶内气体的说法，正确的是().A．向瓶内打气，外界对气体做功，气体内能减少；B．向瓶内打气，气体对外界做功，气体内能增加；C．塞子从瓶口冲出，气体对外界做功，气体内能减少；D．塞子从瓶口冲出，外界对气体做功，气体内能不变3.关于四冲程汽油机的工作过程，下列说法不正确的是（）A．图中1，活塞向下运动，汽油和空气的混合物进入汽缸B．图中2，活塞向上运动，燃料混合物内能增大C．图中3，燃料燃烧，将内能转化为机械能D．图中4，活塞向上运动，废气带走了大量内能4.如图，利用静电喷漆枪给物件上漆，涂料小液滴之间相互排斥，但被物件吸引。

则（）A．物件一定带负电B．小液滴一定带同种电荷C．小液滴可能不带电D．涂料小液滴喷向物件是因为分子热运动5.某组同学在做“探究小灯泡发光”实验，他们有一个小灯泡和一些新的干电池。

由图甲可知，灯丝的两端分别跟金属螺纹壳和金属触头相连，则下列说法正确的是（）A．按①和③的方式连接电路，灯泡可以发光B．按①方式连接电路，小灯泡会被烧坏C．按④方式连接电路，电源短路D．连接金属螺纹壳与金属触头的部件X，采用的材料是导体6.某同学在研究电阻大小的影响因素时使用了如图所示的电路，木板上装有两根长度、横截面积、温度相同的镍铬合金丝AB和锰铜合金丝CD。

贵州省2023年初中学业水平考试（模拟试卷二）数学同学你好！答题前请认真阅读以下内容：1．全卷共6页，三大题共25题，满分150分，考试时间为120分钟．考试形式为闭卷．2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效．3．不能使用计算器．一、选择题：以下每题均有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每题3分，共36分．1.计算（－5）＋5的结果是（A ）0（B ）－10（C ）－25（D ）－12.下列数学符号中，是轴对称图形的是（A ）∥（B ）⊥（C ）≌（D ）∽3.2023数博会于5月26日在贵阳盛大启幕，以“数实相融算启未来”为主题开展相关活动，活动布展规模达60000平方米.60000这个数用科学记数法可表示为（A ）60×102（B ）6×104（C ）6×105（D ）0.6×1054.如图，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截得的截面不可能是三角形的是5.若二次根式2x 有意义，则实数x 的值可能是（A ）-2（B ）0（C ）1（D ）36.如图，在平面内过点A 作直线m ∥l ，可作平行线的条数有（A ）0条（B ）1条（C ）0条或1条（D ）无数条7.已知a ＞3，下列不等式中，不一定正确的是（A ）a -3＞0（B ）a +1＞4（C ）2a ＞6（D ）am ＞3m 8.某市招聘教师，规定将笔试和面试成绩按照4∶6计算总分并择优录取.王星本次参加测试的笔试成绩是85分，面试成绩是90分，则王星最后得分为（A ）85分（B ）87.5分（C ）88分（D ）90分（A ）（B ）（C ）（D ）（第6题）（第11题）（第9题）图①图②9.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD ，转动这个四边形，使它形状改变.当∠B ＝90°时，如图①，测得AC ＝2；当∠B ＝60°时，如图②，AC 的长为（A）2（B ）2（C ）6（D ）2210.关于x 的一元二次方程(m －5)x 2＋2x ＋2＝0有实根，则m 能取到的最大整数值是（A ）2（B ）3（C ）4（D ）511.《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口P 处立一根垂直于井口的木杆AP ，视线AC 与井口的直径PB 交于点D ，如果测得AP ＝2米，BP ＝3.6米，DP ＝1米，则BC 为（A ）3.6米（B ）4.2米（C ）5.2米（D ）7.8米12.二次函数()220y ax ax c a =-+≠的图象过点（3，0），那么方程的解为（A ）1321-=-=x x ，（B ）1321=-=x x ，（C ）1321-==x x ，（D ）1321==x x ，二、填空题：每题4分，共16分．13.已知两个变量x 与y 满足112=-y x ，当自变量6=x 时，因变量y 的值是▲．14.转动如图所示的转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是▲．15.关于x 的分式方程22-+x m x =3的解是正数，则m 的取值范围为▲．16.如图，点A （1，0），点B （4，0），点C 从原点出发，沿y 轴正半轴移动，连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AD ，连接BD ，当线段BD 取最小值时，点C 的坐标为▲．（第14题）（第16题）220-+=ax ax c三、解答题：本大题共9题，共计98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本题满分12分）（1）如图，数轴上A ，B 两点所表示的数分别是a ，b ，则a ▲0，b ▲0，a －b ▲0；(（填“＜”或“＞”）（2）先化简(m ＋2)(m －2)－m 2＋m ，再从（1）中的数轴上A ，B 之间任取一个你喜欢的整数作为m 的值，代入化简的结果并求值.18.（本题满分10分）伴随网络化发展，网络销售的确给生活带来便利.小红对网上一家电子产品店在今年14-月的电子产品销售总额情况进行数据收集并整理如图①，其中一款平板电脑的销售额占当月电子产品销售总额的百分比如图②．（1）这家电子产品店从1月到4月，电子产品销售总额为多少万元？（2）直接写出这家电子产品店从1月到4月，电子产品每月销售总额的中位数▲；（3）小红通过图②得出结论，这款平板电脑24-月的销售额占当月电子产品销售总额的百分比与1月份相比都下降了；小星通过图②得出结论，这款平板电脑4月份的销售额比3月份有所下降.请判断，小红和小星得出的结论是否正确？若不正确，请说明理由.（第17题）（第18题）图①图②（第19题）如图，AE ，AD 分别是△ABC 的边BC 上的中线和高，已知BE ＝8．（1）BC ＝▲，∠DAC ＋∠C ＝▲°；（2）若AD ＝5，AE ＝AC ，求△ADE 的面积.20.（本题满分10分）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进乒乓球拍和羽毛球拍共300套进行销售，它们的进价和售价如下表：已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费120元；购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费270元.（1）求出表格中a ，b 的值；（2）该体育用品商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的13，若这批体育用品能够全部售完，如何购货才能获利最大？最大利润是多少？21.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（0，3），过点A 作y 轴的垂线交反比例函数(0)k y k x=>的图象于点B ，连接OB ，△AOB 的面积为6．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点C 为x 轴正半轴上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出∠BOC 的平分线，与反比例函数的图象交于点D ，并求出点D 的坐标（要求：不写作法，保留作图痕迹）．进价售价乒乓球拍（元／套）a 55羽毛球拍（元／套）b 50（第21题）构建几何图形是利用“数形结合”的思想解决代数问题.学习特殊角的三角函数值时，老师让同学们准备一副三角板如图①，利用直角三角形的边角关系直接探究即可得出结论.（1）填写表格中的特殊角的三角函数值；（2）【问题解决】学习特殊角的三角函数值后，老师布置的课后作业是计算tan22.5°的值.【构建图形】如图②，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到点D ，使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝22.5°，所以tan22.5°＝112211(1)(212)2-===-++-AC CD .【类比探究】计算tan15°的值.（要求，构建图形并写出计算过程）23.（本题满分12分）如图，△ABC 内接于⊙O ，过点B 作⊙O 的切线，交直径DA 的延长线于点E .（1）若∠ACB ＝26°，则∠BAD ＝▲°；（2）求证：∠ABE ＝∠ACB ；（3）若AE ＝2cm ，BE ＝4cm ，求⊙O 的半径.（第23题）（第22题图①）（第22题图②）24.（本题满分12分）如图①，抛物线l ：c bx x y ++=2与x 轴相交于点A ，B （3，0）两点，且与y 轴相交于点C （0，－3）．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）如图②，若抛物线l 沿着直线y ＝－x 平移，使其顶点落在坐标轴上，直接写出平移后抛物线的表达式；（3）当（2）中平移后的抛物线顶点落在y 轴上时，在x 轴上是否存在一点P （不与原点重合），过点P 作x 轴的垂线分别交平移前后的抛物线于点E ，F ，交直线y ＝－x 于点G ，使得PF =EG ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．25.（本题满分12分）【问题解决】（1）如图①，正方形ABCD 的对线相交于点O ，过点O 作OE ⊥OF ，分别交AB ，BC 边于点E ，F .在实验与探究中，小红发现通过证明△BOE ≌△COF ，可得OE ＝OF .请帮助小红完成证明过程；【类比探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，O 为对线BD 上任意一点，过点O 作OF ⊥OA ，交BC 边于点F ，当BC ＝2AB 时，求证：OA ＝2OF ；【拓展提升】（3）如图③，在□ABCD 中，O 为对线BD 上任意一点，过点O 作∠AOF ＝∠BAD .交BC 边于点F ，求证：BC AB OA OF =.图①图②（第24题）图①图②图③（第25题）。

2023年天津市十二区重点学校高考数学考前模拟试卷（二）1. 已知全集，集合，，则( )A. B.C.D.2. 设，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.4. 已知，，，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.B. C. D.5. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年2月1至4月1日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年2月1日至2月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数单位：万人的数据如下表：日期2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日第x 天12345人数单位：万人75849398100依据表中的统计数据，该电商平台直播黄金时间的天数x 与到该电商平台专营店购物的人数单位：万人具有较强的线性相关关系，经计算得，到该电商平台专营店购物人数y 与直播天数x 的线性回归方程为请预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数单位：万人为( )A. 312B. 313C. 314D. 3156. 已知函数，则不等式的解集是( )A. B.C. D.7. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一．端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰．粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同．某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄．若粽子的棱长为9cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为( )参考数据：，A. B. C. D.8. 已知，分别是双曲线E：的左、右焦点，焦距为4，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的左、右支分别交于A，B两点，，则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.9. 将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的图象，则下列说法正确的个数是( )①函数的最小正周期为；②是函数图象的一个对称中心；③函数图象的一个对称轴方程为；④函数在区间上单调递增A. 1B. 2C. 3D. 410. 若复数为纯虚数，则______ .11. 二项式的展开式中，常数项为______ 用数值表示12. 圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程为______ .13. 接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗．截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新冠病毒疫苗供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若5人去接种新冠疫苗，恰有3人接种同一种疫苗的概率为__________.14. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，正八边形ABCDEFGH 中，若，则的值为______ ；若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点，则的最小值为______ .15. 已知，函数当时，函数的最大值是；若函数的图象上有且只有两对点关于y轴对称，则a的取值范围是 . 16. 在非等腰中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，，求的值；求b的值；求的值.17. 已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点.证明：；求二面角的大小；求直线CA与平面所成角的正弦值.18. 已知椭圆C：的离心率为，左，右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两点，面积的最大值为求椭圆C的方程；设直线AP，QB的斜率分别为，，且求证：直线PQ经过定点.设和的面积分别为，，求的最大值.19. 已知数列的前n项和为，，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项.求数列与数列的通项公式；若数列，求数列的前2n项和；求证：20. 已知函数，求函数的单调区间；若，，使成立，求m的取值范围；当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求实数k的取值范围，并且证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：或，，又，，故选：化简集合A，B，再求及即可．本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：，，可以推出，而不能推出，故“”是“”的必要不充分条件．故选：根据必要不充分条件的定义判断即可．本题考查充分必要条件的应用，考查对数不等式，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．利用函数的奇偶性排除选项AB，通过特殊点的位置判断即可．【解答】解：因为，所以函数是非奇非偶函数，排除A、B，函数的一个零点是，当时，，排除选项故选：4.【答案】C【解析】解：，，又，，，，又，，综上所述：故选：将a，b化为同底的对数形式，根据对数函数单调性可知；利用可得，由此可得结论．本题主要考查了三个数比较大小，考查了对数函数和正弦函数的性质，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由表中数据，计算，，所以线性回归方程过样本中心点，即，所以，当时，即预测从2023年2月1日起的第38天到该专营店购物的人数为314万人．故选：根据表中数据计算、，由线性回归方程过样本中心点求出a，写出回归方程，计算时的值即可．本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：由题意可得函数的定义域为，因为与在均为单调递增函数，所以在为单调递增函数，因为，所以的解集为故选：求出函数的定义域，判断出函数在定义域上为单调递增函数，求出函数的零点，即可得答案．本题主要考查了利用函数的单调性解函数值不等式，属于基础题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查正四面体内切球半径的求法，属于较难题．蛋黄近似看成一个棱长为9cm的正四面体ABCD的内切球，正四面体为ABCD，设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，由四面体的体积为，求得四面体ABCD的内切球半径，即可求解．【解答】解：蛋黄近似看成一个棱长为9cm的正四面体ABCD的内切球，正四面体为ABCD，设四面体的内切球的球心为O，内切球半径为r，则球心O到四个面的距离都是r，四面体表面积为S，四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为，四面体ABCD的内切球半径，棱长为9的正四面体的表面积，棱长为9的正四面体的高，棱长为9的正四面体的体积，可得，包裹的蛋黄的最大体积为故选8.【答案】C【解析】解：因为，解得，设，，，，根据题意可知，，设双曲线方程为，设，若P点在双曲线的左支上，则双曲线的焦半径为：，，由题意可得，，所以，，根据变形得，所以，故，同理可得，同理可得，若P点在双曲线的右支上，则双曲线的焦半径为：，，根据双曲线焦半径公式可得：，；，，，解得故选：根据三角形面积得到，将各个线段按比例表示出来，以此表示出A，B两点坐标，最后根据双曲线焦半径公式列式计算即可．本题考查双曲线的几何性质，焦半径公式的应用，化归转化思想，属中档题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．直接利用三角函数的关系式的变换和函数图象的平移变换和伸缩变换，进一步利用三角函数的性质的应用判断①②③④的结论．【解答】解：函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将函数的图象上的所有点的横坐标变成原来的，得到的函数关系式；对于①函数的最小正周期为，故①错误；对于②当时，，故是函数图象的一个对称中心，故②正确；对于③令，整理得，函数图象的对称轴方程不为，故③错误；对于④由于，所以，故函数在区间上单调递增，故④正确．故选10.【答案】【解析】解：为纯虚数，则，解得，故故答案为：根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数模公式，即可求解．本题主要考查纯虚数的定义，以及复数模公式，属于基础题．11.【答案】1120【解析】解：因为二项式的展开式通项为，令，得，故常数项为故答案为：先求出二项式的展开式通项，然后令得，即可求出常数项．本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】解：记圆心为点C，点为点A，因为圆心C在直线上，故可设圆心C的坐标为，因为圆C与直线相切于点，所以直线CA与直线垂直，直线CA的斜率为，直线的斜率为，所以，所以，所以圆心为，圆的半径为，所以圆的方程为故答案为：设圆心为，记点为A，由已知直线AC与直线垂直，由此可求t，再求可得圆的半径，由此可得圆的方程．本题主要考查了圆的标准方程，属于中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查了分步乘法计数原理及古典概率模型的应用，属于基础题．记恰有3人接种同一种疫苗为事件A，结合分步乘法计数原理求概率．【解答】解：记恰有3人接种同一种疫苗为事件A，则，故答案为：14.【答案】【解析】解：对第一空，建系如图，设正八面体的中心O到顶点的距离为1，则，，，，即，，，，又，，，解得，；对第二空，如图，分别延长GH与BA交于点I，则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：的最小值为，又，三角形HIA为等腰直角三角形，，的最小值为故答案为：；对第一空，建系，根据向量坐标运算，建立方程，即可求解；对第二空，分别延长GH与BA交于点I，则根据向量数量积的几何定义与向量投影的概念可得：的最小值为，再计算即可得解．本题考查坐标法的应用，向量数量积的几何定义与向量投影的概念，方程思想，数形结合思想，属中档题．15.【答案】【解析】解：当时，，令，当，即时取等号，即当时，，令，又因为，则；图象仅有两对点关于y轴对称，即的图象关于y轴对称的函数图象与仅有两个交点，当时，设其关于y轴对称的函数为，，由可知近似图象如图所示：当与仅有两个交点时，，综上，a的取值范围是，故答案为：，运用基本不等式求得时，的分母的最小值，结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值；求得关于y轴对称的函数和图象，画出和的图象，结合图象求得仅有两个交点的a 的范围．本题考查函数的最值求法和对称性，注意运用数形结合思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】解：在中，由正弦定理得，，，即，，，即，解得；在中，由余弦定理得，即，解得或，，b，c互不相等，；，，，，【解析】由正弦定理得，根据，即可得出答案；由余弦定理，建立方程，根据a，b，c互不相等，即可得出答案；由，得，应用二倍角的三角函数求得，，即可得出答案．本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：证明：三棱柱为正三棱柱，D为AB的中点平面底面ABC，，又底面ABC，平面底面，平面，又平面，；根据题意及建系如图，则根据题意可得：，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，设二面角的平面角为，且由图易知为锐角，，，二面角的大小为；由知，平面的法向量为，直线CA与平面所成角的正弦值为：【解析】根据面面垂直的性质即可证明；建系，根据向量法即可求解；建系，根据向量法即可求解．本题考查面面垂直的性质定理，向量法求解二面角问题，向量法求解线面角的问题，属中档题．18.【答案】解：当点P为椭圆C短轴顶点时，的面积取最大值，且最大值为，由题意可得，解得，所以椭圆C的标准方程为证明：设点、，若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则，不合乎题意；设直线PQ的方程为，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，则，联立，消去x可得，，可得，由韦达定理可得，则，所以，，解得，即直线PQ的方程为，故直线PQ过定点由韦达定理可得，所以，，，则，因为函数在上单调递增，故，所以，，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为【解析】根据题意可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C的方程；分析可知直线PQ不与y轴垂直，设直线PQ的方程为，可知，设点，将直线PQ的方程的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，利用求出n的值，即可得出直线PQ所过定点的坐标；写出关于t的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题目．19.【答案】解：，当时，，当时，，满足上式，所以，所以，，则，所以；由可得，，令①，所以②，①-②可得，，所以，令，令，则，则；证明：设，则，则【解析】根据题意，由与的关系，即可得到数列的通项公式，然后再由等比数列的通项公式得到数列的通项公式；根据题意，设的前2n项和为A，的前2n项和为B，分别求得A，B即可得到结果．由题意可得，，然后再结合等比数列的求和公式，即可得到结果．本题主要考查数列的求和，数列与不等式的综合，考查运算求解能力，属于难题．20.【答案】解：，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增．由知，，令，，，在上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，所以，所以，所以m的取值范围是当时，，由可知在上单调递减，在上单调递增，，若有两个实数根，，且，则，所以①，②，得，所以，令，，，因为，所以，即，所以在单调递减，所以，所以，因为，所以，即，所以，因为在上单调递减，所以，所以，得证．【解析】求导得，分析的正负，进而可得的单调性，即可得出答案．求出，令，求出，只需，即可得出答案．当时，，分析的单调性，进而可得，若有两个实数根，，且，则，且①，②，推出，，令，，求导分析的单调性，进而可得，再结合在上单调递减，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理解题意，属于中档题．。