2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课后演练提升北师大版选修2-1资料

第二章 空间向量与立体几何
§5 夹角的计算
学习目标
1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.
2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
直线间的夹角
思考1
设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大
(2)异面直线的夹角
当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1
和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.
π π (0，2] 两条异面直线的夹角的范围为 ，当夹角为2时，称这两条直线异面 垂直 . π [0，2] 综上，空间两条直线的夹角的范围是 .
π π －〈n，a〉 2 当 0≤〈n，a〉≤2时，θ＝ ；
π π 〈n，a〉－2 当2＜〈n，a〉≤π 时，θ＝ .
即sin θ＝|cos〈n，a〉|.
题型探究
类型一 例1
直线间的夹角求解
已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1，0，1)，直线l2的一个方向向量
为s2＝(－1，2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值. 解答 ∵s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)，
OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝ 3 ，求异
面直线A1B与AO1夹角的余弦值.
解答
类型二 例2
求平面间的夹角
如图，已知 ABCD 为直角梯形， ∠DAB ＝ ∠ABC ＝ 90°， SA⊥ 平面 1 ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ .求平面SAB与平面SCD的夹角的余弦值. 2
(1)证明：SE＝2EB； 证明

6．直线与平面的夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与 此平面的夹角．夹角的范围是[0，π2]．
7．直线与平面夹角的求法
设平面 α 的法向量为 n，直线 l 的方向向量为 a，直线 l 与平
面 α 所成的角为 θ. 当 0≤〈n，a〉≤π2时，θ＝_π2_－__〈__n_，__a_〉__； 当π2<〈n，a〉≤π 时，θ＝_〈__n_，__a_〉__－__π2_. 即 sinθ＝__|c_o_s_〈__n_，__a_〉_.|
预习效果检测
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于
120°，则直线l与平面α所成的角等于( )
A．120°
B．60°
C．30°
D．以上均错
[答案] C
2．若直线 l 与平面 α 所成角为π3，直线 a 在平面 α 内，且与
直线 l 异面，则直线 l 与直线 a 所成角的取值范围是( )
cos∠BOD＝
232＋ 2×
232－
23×
3 2
262＝0，
∴∠BOD＝90°，即 AB1 与 BC1 所成的角为 90°.
[总结反思] (1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序 化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积．
4．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因 此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围 是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能 仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难 点．
5．异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角 或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两 个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦 值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A ．a 与b 共线 B ．a 与b 同向 C ．a 与b 反向 D ．a 与b 共面解析： 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B 、C 都是A 的一种情况，空间中任两个向量都是共面的，故D 错．答案： A2．已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A ．2a ，a －b ，a ＋2b B ．2b ，b －a ，b ＋2a C ．a,2b ，b －c D ．c ，a ＋c ，a －c解析： 不共面的三个向量才可以构成基底，A 中，a ＋2b ＝32(2a )＋(－2)(a －b )，三个向量共面；B 中，b ＋2a ＝32(2b )＋(－2)(b －a )，三个向量共面；D 中，a ＋c ＝2c ＋(a －c )，三个向量共面；只有C 中的三个向量不共面．答案： C3.在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则BE →等于( )A.12a －12b ＋12cB.12a －12b －12cC.12a －32b ＋12cD.12a －12b ＋32c 解析： BE →＝PE →－PB →＝12PD →－PB →＝12(P A →＋AD →)－PB → ＝12(P A →＋BC →)－PB → ＝12(P A →＋PC →－PB →)－PB → ＝12P A →－32PB →＋12PC → ＝12a －32b ＋12c . 故选C. 答案： C4．正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，O 1，O 2，O 3分别是AC ，AB ′，AD ′的中点，以{AO 1→，AO 2→，AO 3→}为基底，AC ′→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→，则x ，y ，z 的值是( )A ．x ＝y ＝z ＝1B ．x ＝y ＝z ＝12C ．x ＝y ＝z ＝22 D ．x ＝y ＝z ＝2解析： AC ′→＝AB →＋BC ′→＝AB →＋BB ′→＋B ′C ′→＝AB →＋AA ′→＋AD →＝12(AB →＋AD →)＋12(AB →＋AA ′→)＋12(AA ′→＋AD →) ＝12AC →＋12AB ′→＋12AD ′→＝AO 1→＋AO 2→＋AO 3→， 对比AC ′→＝xAO 1→＋yAO 2→＋zAO 3→得x ＝y ＝z ＝1. 答案： A二、填空题(每题5分，共10分)5．如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点，若记AB →＝a ，AC →＝b ，AA →1＝c ，则DE →＝________.(用a ，b ，c 表示)解析： DE →＝DA1→＋A 1E →＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1C →) ＝12AA 1→＋12(AB →＋AC →－AA 1→) ＝12c ＋12(a ＋b －c ) ＝12a ＋12b 答案： 12a ＋12b6．我们称(x ，y ，z )是向量p ＝x a ＋y b ＋z c 关于基底{a ，b ，c }的坐标，则向量m ＝2a －b －3c 的相反向量关于基底{a ，b ，c }的坐标为________．解析： －m ＝－2a ＋b ＋3c ，∴坐标为(－2,1,3)． 答案： (－2,1,3)三、解答题(每小题10分，共20分)7.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，则在如图所示的空间直角坐标系中．求DO →，A 1B →的坐标．解析： 设x 、y 、z 轴正方向上的单位向量分别为i ，j ，k ，则 OA →＝4i ，OB →＝2j ，OO 1→＝4k ， ∴OD →＝OO 1→＋O 1D →＝OO 1→＋12(O 1A 1→＋O 1B 1→)＝12O 1A 1→＋12O 1B 1→＋OO 1→＝12OA →＋12OB →＋OO 1→ ＝2i ＋j ＋4k ， ∴DO →＝－OD →＝－2i －j －4k ， ∴DO →＝(－2，－1，－4)， A 1B →＝OB →－OA 1→＝OB →－(OA →＋AA 1→) ＝OB →－OA →－AA 1→＝OB →－OA →－OO 1→ ＝－4i ＋2j －4k ， ∴A 1B →＝(－4,2，－4)．8.如图所示，四棱锥P -OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC ，设O A →＝a ，O C →＝b ，O P →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示：B F →、B E →、A E →、E F →.解析： 连接BO ，则B F →＝12B P →＝12(B O →＋O P →)＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c .B E →＝BC →＋C E →＝－a ＋12C P →＝－a ＋12(C O →＋O P →)＝－a －12b ＋12c .A E →＝A P →＋P E →＝A O →＋O P →＋12(P O →＋O C →)＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋12c .E F →＝12C B →＝12O A →＝12a .尖子生题库☆☆☆9.(10分)如图所示，已知正四面体的棱长为1，点E 、F 分别是OA 、BC 的中点，选择适当的基底：(1)表示EF →，并求出|EF →|；(2)计算EF →·AC →，并求出〈EF →，AC →〉．解析： 设OA →＝a ，OB ＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝π3，∴a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝12.(1)EF →＝OF →－OE →＝12(OB →＋OC →)－12OA →＝－12a ＋12b ＋12c ＝－12(a －b －c )则有|EF →|＝14(a －b －c )2＝14(a 2＋b 2＋c 2－2a ·b －2a ·c ＋2b ·c )＝121＋1＋1－1－1＋1＝22；(2)∵AC →＝OC →－OA →＝c －a ＝－(a －c ) ∴EF →·AC →＝12(a －b －c )·(a －c )＝12(a 2＋c 2－a ·b ＋b ·c －2a ·c )＝12⎝⎛⎭⎫1＋1－12＋12－1＝12. 则有cos 〈EF →，AC →〉＝EF →·AC →|EF →||AC →|＝1222＝22，∵〈EF →，AC →〉∈[0，π]，∴〈EF →，AC →〉＝π4.。

利用空间向量求解空间的角一、掌握有关的基本知识:1、设向量,a b r r 的夹角为α,则cos ||||a ba b α⋅=⋅r rrr ; 2、设直线1l 的方向向量为1d ,直线2l 的方向向量为2d ,1l 与2l 的夹角为θ,则1212||cos ||||d d d d θ⋅=⋅u u r u u r uu r u u r ; 3、设平面α的法向量为n r ,直线1l 的方向向量为d u r,l 与α所成的角为ϕ,则||sin ||||d n d n ϕ⋅=⋅u r r ur r ; 4、设平面α的法向量为1n ,平面β的法向量为2n ,α与β所形成的二面角为φ,则1212cos ||||n n n n θ⋅=⋅u r u u r u r u u r (或1212cos ||||n n n n θ⋅=-⋅u r u u r u r u u r ). 二、求空间角的解题思路;1、分晰清楚求什么角;2、求出题目中线的方向向量和平面的法向量;3、计算出相应的三角函数值;4、求出相应的角.例1、如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB//DC,︒=∠90DAB ,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=121=AB .求AC 与PB 所成的角的余弦值； 解 以A 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴,AB 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(0,0,0),C(1,1,0),B(0,2,0).所以(1,1,0),(0,2,1)AC PB ==-u u u r u u u r;所以10cos ,||||AC PB AC PB AC PB ⋅<>==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ; 所以AC 与PB 所成的角的余弦值为105.评析 因规定直线与直线的夹角]20[πθ，∈,两向量所成角[0,]π,所以直线的方向向量所成的角可能是两直线的夹角,也可能是两直线的夹角的补角.如此题若用向量,AC BP u u u r u u u r则求出的是一个钝角的余弦值,故两直线的夹角的余弦值为两向量夹角的余弦值的绝对值.例2在直三棱柱111ABC A B C -中,底面是等腰直角三角形,90ACB ∠=o,侧棱12AA =,D,E 分别是1CC 与1A B 的中点,点E 在平面ABD1A B 与平面ABD 所成角的正弦值.解:如图2,以C 为坐标原点,CA 所在直线为x 轴,CB 所在直线为1CC 所在直线为z 轴,建立直角坐标系,设CA CB a ==,则 ,0,0A a （）,0,,0B a （）,1,0,2A a （）,0,0,1D （）∴ ,,122a a E （）, 1,,333a a G （）, 2,,663a a GE =u u u r （）,0,,1BD a =-u u ur （）, ∵ 点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G;∴ GE ⊥u u u r 平面ABD, ∴ 0GE BD ⋅=u u u r u u u r ,解得 2a =.∴ 112,,333GE =u u u r （）, 12,2,2BA =-u u u r（）, ∵ GE ⊥u u u r 平面ABD, ∴ GE uuu r为平面ABD 的一个法向量.由 1114cos ,||||GE BA GE BA GE BA ⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u ur u u u r ∴ 1A B 与平面ABD 所成的角的正弦值为3评析 因规定直线与平面所成角[0]2πθ∈，,两向量所成角[0]απ∈，,所以用此法向量求出的线面角应满足||2πθα=-.例3如图3,正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为3,侧棱1AA =, D 是CB 延长线上一点,且BD BC =.CA 1C 1zA求二面角B AD B --1的大小. 解 取BC 的中点O,连AO.由题意 平面⊥ABC 平面11B BCC ,BC AO ⊥, ∴⊥AO 平面11B BCC ,以O 为原点,建立如图6所示空间直角坐标系, 图3 则 ）（323,0,0A ,）（0,0,23B ,）（0,0,29D ,）（0,323,231B , ∴ ）（323,0,29-=AD , ）（0,323,31-=D B , ）（0,323,01=BB , 由题意 ⊥1BB 平面ABD, ∴ ）（0,323,01=BB 为平面ABD 的法向量. 设 平面D AB 1的法向量为 ),,(2z y x n =,则 ⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B n n 122, ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122B n n , ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ,即 ⎪⎩⎪⎨⎧==xz y x 3323. ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n , 由 212323323,cos 212121=⨯=>=<n BB , 得ο60,21>=<n BB . 故所求二面角B AD B --1的大小为ο60.评析 （1）用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”,这表面似乎谈化了学生的空间想象能力,但实质不然,向量法对学生的空间想象能力要求更高,也更加注重对学生创新能力的培养,体现了教育改革的精神.（2）此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题中若取)23,1,23(2---=n 时,会算得21,cos 21->=<n BB ,从而所求二面角为ο120,但依题60.因为二面角的大小有时为锐角、直角,有时也为钝角.所以在计算之前不妨先依意只为题意判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”.。