中考数学专题复习——存在性问题

中考数学专题复习——存在性问题

一、二次函数中相似三角形的存在性问题

1. 如图，把抛物线y = x 2向左平移1 个单位，再向下平移4 个单位，得到抛物线y =（x -h ）2 +k . 点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D.

2. 如图，抛物线经过 A （﹣2，0）， B （﹣3，3）及原点 O ，顶点为 C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且 A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形， 求点 D 的坐标；

（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点 P ， 使得以 P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

所得抛物线与x 轴交于 A ，B 两点 1）写出h 、k 的值；

2）

判断△ACD 的形状，并说明理由； 3）在线段 AC 上是否存在点 M ，

使△AOM∽△ABC？若存在，

二、二次函数中面积的存在性问题

3.如图，抛物线y = ax2+ bx（a >0）与双曲线y = k相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点 A 在第一象限内，且tan ∠ AOX ＝ 4 ．过点 A 作直线AC ∥ x轴，交抛物线于另一点 C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点 D，使△ABD的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．

4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a>0）经过梯形ABCD的四个顶

点，

A（－2,0），B（－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；（3 分）

（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2 分）

（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4 分）

（4）在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说

明理由。

三、二次函数中直角三角形的存在性问题

5.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线y=

x2+bx+c经过 A，B两点，抛物线的顶点为 D．

1）求b,c的值；

2）点 E是直角三角形 ABC斜边 AB上一动点（点 A、B除外），过点 E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段 EF的长度最大时，求点 E的坐标；

3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点 P，使△EFP是以 EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由.

四、二次函数中等腰三角形的存在性问题

6.如图，直线y =3x+3交x轴于 A点，交y轴于B 点，过 A、B两点的抛物线交x轴于另一点C

（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式 ;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点 Q ，使△ ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由.

五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题

7．如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A（- 1，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点

C；

2

（1）求该拋物线的解析式，并判断△ ABC的形状；

（2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；

（3）在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

六、二次函数中菱形的存在性问题

8．如图，抛物线经过原点O 和x 轴上一点A（4，0），抛物线顶点为 E，它的对称轴与x 轴交于点D．直线 y=﹣2x﹣1 经过抛物线上一点 B（﹣2，m）且与 y 轴交于点 C，与抛物线的对称轴交于点F．

（1）求 m 的值及该抛物线对应的解析式；

（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若 S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P 的坐标；

（3）点 Q是平面内任意一点，点 M从点 F出发，沿对称轴向上以每秒 1个单位长度的速度匀速运动，设点 M的运动时间为 t秒，是否能使以Q、A、E、M 四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点 M 的运动时间 t 的值；若不能，请说明理由．

七、二次函数中与圆有关存在性问题9.已知：抛物线y=x2+（1-2m）x-6+4m与 x 轴交于两点 A（x1，0）， B（x2，0）（x x，x10），

1 2x

2 它的对称轴交x 轴于点 N（x3，0），若 A，B 两点距离不大于 6，

（1）求 m 的取值范围；（2）当 AB=5 时，求抛物线的解析式；（3）试判断，是否存在 m的值，使过点 A和点 N能作圆与 y轴切于点（0，1），或过点 B和点 N能作圆与 y轴切于点（0，1），若存在找出满足条件的 m的值，若不存在试说明理由

定值问题：

1.如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E、F 分别在菱形的边BC．CD 上滑动，且E、F不与B．C．D 重合．

（1）证明不论E、F 在BC．CD 上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不

变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．