二项式定理课件好

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《观书有感》
朱熹,南宋著名理学家.
半亩方塘一鉴开, 天光云影共徘徊. 问渠那得清如许, 为有源头活水来.
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探究1 推导 (a b)2的展开式.
(a b)2 (a b)(a b)
aaabbabb a2 2ab b2
问： 合并同类项前的展开式中，共有几项？ 能利用分步乘法计数原理解释一下吗？ 每项的次数为几次？
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探究4：请分析 (a b)n的展开过程
(a b)n (a b)(ab)(ab)
n
项的形式： a n a n1b L a nk bk L bn
系数：
Cn0 Cn1
C
k n
Cnn
请利用组合的知识解释下 为什么a nk bk的系
数是
C
k n
呢？
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二项式定理: 一般地，对于nN*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnkankbk Cnnbn
直接利用二项式定理
(2) 求二项展开式的第几项及其系数、二项式系数。
(3) 求二项展开式中含x的几次方的项的问题。
利用通项
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1、巩固型作业： 课本36页 习题1.3 A组 1、3、4（1）（2）5
2、思维拓展型作业：（查阅相关资料）
（1）查阅有关杨辉一生的主要成就。
（2）探究二项式系数
Cn0，Cn1，Cn2 ， ，Cnn 有何性质.
练习：(2 x)5
C50 25 C51 24 x C52 23 x2 C53 22 x3 C54 2x4 C55 x5 32 80x 80x2 40x3 10x4 x5
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？
第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x)5 的展开式呢？

①展开式中，每一项是怎样得到的？ （4次） ②既然这样，每一项的次数都应为几次？ 展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4) ③每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项 系数为什么？ 探索：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)在上面4个括号中： 每个都不取b，有 C 4 恰有１个取b，有 恰有２个取b，有 恰有３个取b，有
tr12二项式系数与项的系数不同二项式系数是组合数而项的系数是该项的数字因数3通项公式可用求展开式中任意一项求时必需明确r
二 项 式 定 理
回顾：
（a b) a 2ab b 3 (a b) (a b)(a b)(a b) 2 2 (a b)(a ab ba b ) 2 2 3 2 a a b aba ab ba 3 2 bab b a b 3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 0 0 4 (a b) ？ (a b) ？
∴ 9-2r=3，r=3，
3 3 3 ∴ 的系数 (1)3 C9 84 , 3的二项式系数 C9 84．
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满足某种条
件的项,或者求某种性质的项,如含有x 3项
的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项
式的通项求解.
注意(1)二项式系数与系数的区别.
4、在定理中，令a=1，b=x，则
(1 x) C C x C x C x C x
n 0 n 1 n 2 2 n r n r n n
n
尝试二项式定理的应用：
1 4 例 1 展 开 (1 ) x 1 4 1 4 1 1 1 1 2 3 1 3 解: (1 ) 1 C4 ( ) C4 ( ) C4 ( ) ( ) x x x x x

(1)求3
x＋
1 4 x
的展开式；
(2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[思路导引] (1)直接利用二项式定理展开即可；(2)为二项式
定理的逆用，找好对应的 a，b 及 n 的值．
[解]
(1)解法一：3
x＋
1 4 x
＝04(3
x)4＋C41(3
运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展 开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个 字母是升幂．形如(a－b)n 的展开式中会出现正负间隔的情况．对 较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的 求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的 系数．
[要点梳理] 1．二项式定理 (a＋b)n＝ C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn (n∈N*)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n 的二项展开式，展 开式中一共有 n＋1 项．
(3)二项式系数：各项的系数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n}叫做 二项式系数．
题型二 二项式定理中的特定项与系数问题 思考 1：在(a＋b)n 展开式中，第 k 项是什么？ 提示：Tk＝T(k－1)＋1＝Ckn－1an－k＋1bk－1. 思考 2：在(a＋b)n 的二项展开式中，Tk＋1＝Cknan－kbk 是二项展 开式的第几项？其二项式系数是什么？ 提示：Tk＋1＝Cknan－kbk 是第 k＋1 项，其二项式系数为 Cnk.
用二项式定理证明 1110－1 能被 100 整除． [思路导引] 由于 100 是 10 的整数倍，故可将 1110 转化为(10 ＋1)10，用二项式定理展开． [证明] 1110－1＝(10＋1)10－1 ＝C0101010＋C110109＋C210108＋…＋C910·10＋C1100－1 ＝C010·1010＋C110·109＋C210·108＋…＋102 ＝100(108＋C110·107＋C210·106＋…＋1) 显然上式括号内的数是正整数，所以 1110－1 能被 100 整除．

1
答案:10
课堂小结
1.二项式定理的概念、特点,用二项式定理解决整除问题.
2.通项的应用.利用通项求二项展开式的某一项,特定项和特定项的系数.
3.简单了解二项式系数.
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课时作业
(2)解:0.998 =(1-0.002) =1+ ×(-0.002)+ ×(-0.002) +…+ ×(-0.002) .
2
2
由题意知 T3= ×(-0.002) =15×0.002 =0.000 06<0.001,
且第 3 项以后(包括第 3 项)的项的绝对值都远小于 0.001,
探究点一
角度1
通项公式及其应用
求二项展开式中的特定项

[例 1] ( -


10
) 的展开式中,所有的有理项为

.
解析:二项展开式的通项为
-

Tk+1= (- ) .

-
由题意知
令

∈Z,且 0≤k≤10,k∈N.
-



=r(r∈Z),则 10-2k=3r,k=5- r.
n
答案:(-1)n
.
4.已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=
.
解析:x 是(1+kx ) 的展开式的第 5 项,x 的系数为 k =15k .由已知得
4
4
15k <120,即 k <8.又 k 是正整数,故 k=1.
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答案:1
2 6
8
4
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课堂探究·素养培育
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