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第14章 微积分（和微分方程）在经济中的应用一、考试内容与要求1 经济数学中的常用函数(1) 成本函数C(x): C(x)=固定成本+可变成本(2) 需求函数Q(p): 需求量为价格p 的函数, 常用线性函数为Q=a-bp (3) 供给函数S(p): 需求量为价格p 的函数, 常用线性函数为S=c+dp (4) 收益函数R(x): R(x)=x ·p, x 是产量，p 是价格 (5) 利润函数L(x): L(x)=R(x)-C(x) （或-T ，税收）(6) 平均成本函数：C x C x x()()=2 导数在经济分析中的应用(1) 边际概念： y=f(x), 'f x ()0 边际成本: 'C x () 边际收益: 'R x () 边际利润: 'L x () (2) 函数的弹性 y f x x f x f x ==⋅'(),()()ε 特别需求价格弹性：)()(),(p Q p Q p p Q Q '==ε, 或假定Q 为p 的递减函数，且弹性大于零，则)()(p Q p Q p'-=ε. 表示价格每变动1%时，需求量变动的百分数(3) 最值问题 最大利润、最大成本等，通过建立函数关系式转化为一元函数或多元函数的极值与最值问题。
通常，在所求问题只有一个极值点，而所求最值一定存在，则此极值即为最值。
3 微分与差分方程在经济分析中的应用 如已知商品价格弹性，求商品需求函数等问题4 积分在经济分析中的应用如已知总产量变化率dQ/dt, 则时间间隔[a, b]内产量Q =dQ dtdt ab ⋅⎰二、重要公式与结论 1 复利公式分期复利计息公式 A A r t =+01(), 其中r 为年利率 连续复利计息公式 A A e rt =0 现值公式 A Ae rt 0=-2 库存模型某一时期内，需求总量为Q ，分x 次进货，每次进货费用为k, 每件产品库存费用为p, 产品均匀销售，求最优批次，使总费用最小？总成本为： C Qxp x k =+=+⋅库存费进货费用12三、典型题型与例题1 微分在经济上的应用例1 已知某厂生产x 件产品的成本为240120025000x x C ++=（元），问： （1） 若使平均成本最小，应生产多少件产品？（2） 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解 （1） 由240120025000)(x x x C ++=，得平均成本 4020025000)(xx x C ++= 因而401250002+-=x dx C d , 令0=dx C d 得x=1000或x=-1000(舍去). 0100022>=x dxCd ,所以x=1000时，)(x C 取极小值，也即最小值。
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
微分方程的公式一、引言微分方程是研究函数与其导数之间关系的数学工具。
它的形式通常可以写作：dy/dx = f(x, y)其中，y是未知函数，x是自变量，f(x, y)是已知的函数。
这个公式表示了y关于x的导数与x和y的函数关系。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
二、常微分方程的解法对于一阶常微分方程，我们可以通过分离变量、一阶线性微分方程、变量替换等方法求得其解析解。
例如，对于dy/dx = x^2，我们可以将方程分离变量，然后积分求解，得到y = x^3/3 + C，其中C为常数。
对于高阶常微分方程，可以通过变量替换、特征方程、级数展开等方法求得其解析解或近似解。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以热传导方程为例，它描述了物体内部的温度分布随时间的变化。
热传导方程可以写作∂u/∂t = k∇^2u，其中u是温度场，t是时间，k是热导率，∇^2是拉普拉斯算子。
通过求解热传导方程，可以预测物体内部温度分布的演化过程，从而指导工程实践。
四、微分方程的数值解法对于复杂的微分方程，往往难以求得解析解。
这时，数值方法成为一种有效的求解手段。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、有限差分法等。
这些方法通过将微分方程转化为差分方程，然后利用计算机进行迭代计算，逼近微分方程的解。
数值解法在科学计算和工程实践中具有重要的应用价值。
五、微分方程的应用案例微分方程的应用广泛涉及自然科学和社会科学的各个领域。
在物理学中，微分方程常被用于描述质点的运动、电磁场的变化等。
在生物学中，微分方程可以描述种群的增长、化学反应的动力学等。
在经济学中，微分方程可以描述市场供求关系、经济增长等。
这些应用案例进一步展示了微分方程在解决实际问题中的重要性和实用性。
六、结语微分方程作为数学的重要分支，在科学研究和工程实践中发挥着重要作用。
通过求解微分方程，我们可以揭示自然界和社会现象的规律，预测未来的变化趋势，为人类提供更好的生活和工作环境。
微分方程解法总结微分方程（DifferentialEquations）是数学中一类重要的运筹学问题，也是许多应用数学领域中最重要的数学工具之一。
微分方程可以应用在物理学、化学、工程学、生物学及经济学等学科中，在多学科领域中都发挥了重要作用。
一般来说，微分方程可以用一组方程来描述某种函数的变化，其中包括两个或更多的未知函数。
常用的微分方程解法包括，比如直接法、可积性法、积分变换法等。
1.接法直接法是指从微分方程的定义出发，直接寻找微分方程的解的方法。
一般来说，将定义域上的某个变量作为一个变量来代替原方程中的其它变量，从而将原方程变为一个关于这个变量的微分方程，再解此新的微分方程，最终得到需要的解。
2.积性法可积性法，即牛顿-拉夫逊定理，是指依据微分方程中的微分操作，运用积分学手段求出微分方程的解的方法。
牛顿-拉夫逊定理具有很强的通用性，几乎可以用于解决所有的不定积分问题，而且可以在多个变量之间进行推导。
3.分变换法积分变换法是一种特殊的可积性法，通过运用微积分中的奇偶变换，由傅里叶变换求出微分方程的解。
这种方法主要用于解决有限区间上的微分方程，既可以解决常规的微分方程，也可以解决非线性微分方程。
4.值方法数值方法是指用计算机从解析计算的角度进行微分方程的解法。
数值方法可分为两类，一类是有限差分的方法，另一类是可积性方法。
有限差分方法是在有限域上利用数值误差求解微分方程，它主要用于解决常微分方程组和椭圆型方程；可积性方法是指基于可积性定理，将微分方程转变为积分形式，再采用计算机数值解法，求出积分方程的解的方法。
总之，上述四类解法分别具有自己的优势和不足，因此要采取最适合的方式来解决某一类微分方程。
此外，在进行解微分方程的过程中，要进行精确的数学推导，以确保最终得到的解析解是准确可靠的。
通过上述分析，可以清楚地了解微分方程解法。
差分方程的定义差分方程的定义差分方程是一种数学方程，用于描述离散化的动态系统。
它可以被视为微分方程的离散版本，通常用于模拟和预测离散时间下的自然现象和工程问题。
一、差分方程的基本概念1.1 差分方程的定义差分方程是一种数学方程，描述一个序列在相邻时间点之间如何变化。
它通常采用递推公式表示，其中当前时刻的值是前一时刻值和其他参数的函数。
1.2 差分方程的分类根据差分方程中所涉及到变量的类型，可以将其分类为一阶差分方程、二阶差分方程等。
此外，还可以根据其递推公式中所包含的项数进行分类。
1.3 差分运算符在差分方程中，通常使用差分运算符来表示序列在相邻时间点之间发生了什么变化。
最常见的两个运算符是前向差分运算符和后向差分运算符。
二、解差分方程2.1 差分方程求解方法求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法。
其中递推法是最基本也是最常见的方法，它通过逐个计算序列中每个时间点的值来得到整个序列的解。
2.2 初始条件和边界条件在求解差分方程时，需要给出初始条件和边界条件。
初始条件是指序列在起始时刻的值，而边界条件则是指序列在某些时间点上的限制。
三、应用领域3.1 差分方程在物理学中的应用差分方程广泛应用于物理学中，例如描述运动物体的速度、加速度等问题。
此外，在热力学和电磁学等领域也有广泛的应用。
3.2 差分方程在经济学中的应用差分方程在经济学中也有广泛的应用，例如描述市场需求和供给之间的关系、货币政策对通货膨胀率的影响等问题。
3.3 差分方程在工程学中的应用差分方程在工程学中也有广泛的应用，例如描述机器人运动轨迹、控制系统稳定性等问题。
四、总结差分方程是一种重要的数学工具，在模拟和预测离散时间下自然现象和工程问题时具有重要作用。
其基本概念包括差分方程定义、分类以及差分运算符等。
求解差分方程需要使用递推法或转换法等方法，并给出初始条件和边界条件。
差分方程在物理学、经济学和工程学等领域都有广泛的应用。
差分方程方法总结差分方程是用来描述离散时间系统行为的一种数学工具。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等。
本文将总结差分方程方法的基本原理和常见应用。
差分方程的基本原理是通过描述系统在不同时间点上的状态来推导出系统的动态行为。
差分方程可以应用于任何离散时间系统，这些系统的行为只在特定时间点上进行观察和量化。
差分方程的一般形式为：y(n+1)=f(y(n),y(n-1),...,y(n-k))其中，y表示系统在时间点n的状态，f是一个给定的函数，k表示差分方程的阶数，表示系统在过去k个时间点上的状态对当前状态的影响。
差分方程的解可以通过递归方法求得。
给定一个初始条件（通常是系统在初始时间点的状态），可以使用差分方程的递推关系式计算未来时间点上的状态。
例如，对于一个一阶差分方程：y(n+1)=a*y(n)+b其中a和b是常数，可以通过给定的初始条件y(0)求得差分方程的解。
根据递推关系式，可以计算y(1)、y(2)、y(3)等等。
在应用中，差分方程通常用于建模和预测。
通过观察系统在过去时间点上的行为，可以构建一个差分方程来描述系统的动态行为。
然后，可以使用差分方程来预测未来时间点上的系统状态。
这对于许多实际问题是非常有用的，例如经济学中的经济增长模型、工程学中的控制系统等。
此外，差分方程还可以用于分析系统的稳定性和收敛性。
通过分析差分方程的特征根（即差分方程的解的形式），可以得出系统是否稳定或收敛到一个特定的平衡点。
这对于控制系统设计和优化非常重要。
差分方程方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，差分方程可以用于描述离散化的空间或时间系统，例如计算机模拟、粒子追踪等。
在工程学中，差分方程可以用于建模和控制系统，例如电路设计、机器人控制等。
在经济学中，差分方程可以用于经济增长模型、市场预测等。
总结起来，差分方程方法是一种描述离散时间系统行为的数学工具。
它具有简单的原理和应用广泛的特点，并且可以用于建模、预测和分析系统的稳定性和收敛性。
差分方程基本概念和方法差分方程是一种描述离散系统行为的数学模型，与微分方程类似。
差分方程的解描述了系统的演化过程，这使得差分方程在多个领域中有广泛的应用，如物理、生物、经济学等。
差分方程的基本概念：1.序列：差分方程的解是一个序列，即有序数字集合。
通常用{x_n}表示，其中n是自然数。
2.差分算子：在差分方程中，通常使用差分算子△来表示序列的递推关系。
差分算子△的作用是将序列中的元素转化为下一个元素。
3.初始条件：差分方程还需要初始条件。
初始条件是差分方程的一个边界条件，用来确定序列的起点。
差分方程的一般形式为：x_{n+1}=f(x_n)其中，x_{n+1}是序列中的下一个元素，f是一个给定的函数。
差分方程的解法可以分为两种方法：定解条件法和递推法。
1.定解条件法：此方法适用于已知一些递推关系的问题。
定解条件法的基本思想是找到满足差分方程的序列，并给出初始条件来解决方程。
步骤如下：a.先猜测一个可能的递推关系，并将其代入差分方程中。
b.解得的递推关系与给定的初始条件进行比较，如果相符，则该递推关系为差分方程的解。
c.如果猜测的递推关系与初始条件不符，可以再次猜测一个新的递推关系，继续以上步骤，直到找到满足条件的递推关系。
2.递推法：此方法适用于无法直接找到递推关系的情况。
递推法的基本思想是通过已知的序列元素来逐步计算下一个元素，以构造出满足差分方程的序列。
步骤如下：a.给出初始条件，即序列的前几项。
b.根据初始条件计算出序列的下一项，再利用这一项计算出下下一项，以此类推。
c.最终得到满足差分方程的序列。
需要注意的是，差分方程的解不一定存在，且可能存在多个解。
此外，解的形式可能是递推公式、闭式公式或者一个序列。
总之，差分方程是一种离散系统行为的数学模型，差分方程的解描述了系统的演化过程。
通过定解条件法和递推法，我们可以解决差分方程问题并得到满足条件的解。
微分方程与差分方程简介 本章简单地介绍微分方程、差分方程的一些基本概念和稳定性概念。
§2.1 微分方程的基本概念微分方程的定义及其阶在许多实际和理论问题中，需要寻找变量之间的函数关系。
一般来说，变量之间的函数关系很难直接求出，然而，根据以知条件，往往可以得到一个自变量、未知函数与它的导数之间的关系式。
因此，希望利用以知的函数与它的导数之间的关系式，去求出这个函数本身。
为此，给出下列描述性的定义：定义 含有未知函数和未知函数各阶导数的等式称为微分方程。
在该等式中，若未知函数及其导数是一元函数，就称该微分方程是常微分方程。
若未知函数是多元函数，且该等式中所含的导数是偏导数，则称该微分方程是偏微分方程。
本章仅介绍常微分方程。
在下面，“微分方程”一词，均是指常微分方程。
微分方程的一般形式是其中，x 是自变量，y 是x 的函数，)( , , n y y '是y 对x 的各阶导数。
微分方程的解、通解、特解和初始条件若函数（可以是显函数，也可以是隐函数）)(x y y =满足该微分方程，即将)(x y y =，)(x y y '='， , )()()(x y y n n =代入到微分方程0) , , , , ()(='n y y y x F ，能使等式成为恒等式，则称这个函数)(x y y =是这个微分方程的解。
例 假设曲线在点x 处的切线斜率是x 2。
求满足这一条件的所有曲线。
解：根据导数的几何意义，有这是一个一阶微分方程。
两边同时积分，有所以，该微分方程的解是由于一个函数对应平面上的一条曲线，故也常常称微分方程0) , , , , ()(='n y y y x F 的解)(x y y =是该微分方程的积分曲线。
上例的积分曲线如图 2.1所示。
从图中可以看到，该微分方程有无穷多条积分曲线，并且，所有的积分曲线都可以通过其中的某一条积分曲线沿纵轴平行移动而得到。
一般来说，若一个微分方程有解，则它有无穷多个解，且这些解的图象互相平行。
从上例可以看出微分方程有无穷多个解的原因。
从本质上讲，求一个微分方程的解，就是要设法进行积分；n 阶微分方程就要进行n 次积分（当然，根据微分方程的不同形式，在进行具体求解时，可能不需要直接作积分运算）。
积分一次就会出现一个常数。
因此，n 阶微分方程的一般解应含有n 个任意常数，故而微分方程有无穷多解。
为此，我们给出下列定义： 定义 若一个n 阶微分方程的解含有n 个独立的任意常数，就称这个解是该微分方程的通解。
这样，n 阶微分方程通解的一般形式是在这里，以例子的方式，直观地解释“独立的”一词的含义。
例如，函数x c c y 21+=含有两个独立的任意常数。
在函数x c x c y 21+=中，虽然形式上有两个常数，然而，该函数可以合并为cx x c c y =+=)(21。
因此，该函数只含有一个独立的任意常数。
又如，0=++c by ax 等价于⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b c x b a y ，所以，该隐函数仅含有两个独立任意常数。
类似的，函数x x c c x Be e Ae Ae y ===+也只含有一个独立的任意常数。
一般来说，不能通过合并同类项、变量代换等变换将其合并的常数才是独立的。
在微分方程的通解中，若指定其中的任意常数为一组固定的数值，则所得到的解称为该微分方程的一个特解。
例如，2x y =就是在上例中，令0=c 的特解。
在许多问题中，通常需要去求微分方程的一个满足某种条件的特解。
对于不同的条件，求对应特解的方法不同，一般方法是首先求出微分方程的通解，再根据所给的条件，去设法确定通解中的常数的适当值。
对于一个n 阶微分方程，求其某个特解的最常见的条件是给出在0x x =处，未知函数在该点的函数值以及直到1-n 阶的导数值。
这种条件称为微分方程的初始条件，记为其中，)1(000 , , ,-'n y y y 是已知常数。
给定初始条件，求对应特解的问题称为微分方程的初值问题。
求解初值问题的常见方法是：1) 求出微分方程的通解；2) 求出通解的直到1-n 阶的导数；3) 代入初始条件，得到含有n 个常数n c c c , , ,21 的n 个方程；解这组方程，得到n c c c , , ,21 的一组指定值；4) 代入通解，得到满足初始条件的特解。
§2.2 几类常见微分方程的解法可分离变量的微分方程下列形式的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程也就是说，若一阶微分方程可以按dy dx , 合并为两项，两个微分的系数都可以分解为两个因子的乘积，并且，每个因子要么只包含变量x ，要么只包含变量y ，则这种微分方程就是可分离变量的微分方程。
在该微分方程的两边同时除以)()(22y q x p ，可将它转化为下列形式：这种形式的微分方程称为变量已分离的微分方程。
其特点是变量x 的微分dx 的系数只与x 有关，变量y 的微分dy 的系数只与y 有关。
这类微分方程可以通过直接积分得到其通解。
事实上，在变量已分离的微分方程的两边同时积分，有不难验证，由这个方程确定的隐函数是原微分方程的通解。
例： 求微分方程)1(y Ay dxdy -=的通解。
解：该微分方程可以变形为所以，原微分方程是一个可分离变量的微分方程。
两边同时积分，得其中，0ce c =。
于是，该微分方程的通解为一阶线性微分方程下列形式的微分方程称为一阶非齐次线性微分方程：称微分方程为对应的齐次线性微分方程。
下面分两步求出一阶非齐次线性微分方程的通解公式。
1) 求对应齐次线性微分方程的通解；2) 在对应齐次线性微分方程的通解的基础上，用所谓的“常数变易法求出非齐次微分方程的通解。
齐次线性微分方程是可分离变量微分方程。
分离变量，有两边同时积分，所以，齐次线性微分方程的通解为“常数变易法”是通过对应齐次方程的通解，求非齐次方程解的一种常用方法。
它不仅用于一阶线性微分方程的求解，还可以用于高阶线性微分方程的求解。
其方法是假设非齐次微分方程的通解也具有上述的形式，只是视其中的常数c 是自变量x 的函数。
即假设 是一阶非齐次线性微分方程的通解。
然后将其代入原微分方程，确定函数)(x u ，从而求出它的通解。
根据假设，有代入方程，得整理得于是，这样，原微分方程的通解公式为由此可以看出，一阶线性非齐次微分方程的通解由两项组成。
一项是⎰-dx x p ce )(，它是对应齐次微分方程的通解；另一项是⎰⎰⎰-dx e x q e dx x p dx x p )()()(。
不难验证，它是非齐次线性微分方程的一个特解。
在解一阶非齐次线性微分方程时，可以直接套用公式（，也可以利用公式的推导过程来求解。
例： 求微分方程=+'-y y x y 2)6(2的通解。
解：显然，该微分方程不是关于y 的线性微分方程。
然而，若将x 看成因变量，y 看成自变量。
则该微分方程变形为整理后得到这是一个关于x 的线性微分方程。
运用公式（y y p 3)(-=， 2)(y y q -= 3ln 3)(y e e y dy y p ==⎰-， 3ln 3)(--==⎰y e e y dy y p代入公式通解，有所以，该微分方程的通解为§2.3 二阶常系数线性微分方程下列形式的微分方程称为二阶常系数线性非齐次微分方程：而称微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程。
下面首先介绍齐次方程解的性质，然后再借助这些性质去构造它的通解的结构。
然后利用齐次方程的通解去构造非齐次方程的解。
容易证明，定理 设)( , )(21x u x u 是二阶常系数齐次微分方程的解，1k ，2k 是任意常数。
则)()(2211x u k x u k +也是它的解；该定理常常表述为常系数齐次线性微分方程解的线性组合仍然是它的解。
根据该定理及微分方程通解的定义，容易得到定理 设)(1x u ，)(2x u 是常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的特解，则它们的线性组合)()(2211x u c x u c +它的通解。
其中，21 ,c c 是任意常数。
本定理常称为常系数齐次线性微分方程解的结构定理。
因此，求常系数线性齐次微分方程的通解的关键是求它的两个线性无关的特解。
通过观察，不难看出这种微分方程解应具有的函数类型。
事实上，从常系数齐次线性微分方程左边的表达式可知，若函数)(x f 是该微分方程的解，则)(x f 与它的一、二阶导数的某个线性组合应等于零。
因此，)(x f 与它的一、二阶导数应该是同类型的函数。
由导数基本公式可知，指数型函数rxe 具有这种性质。
因此，可以按下列方法寻找它的特解：假设它具有指数型函数rx e 的解，代回原微分方程，用待定系数法确定r 的值。
确定了r 的值，就求出了原方程的特解。
设rx e y =是常系数齐次线性微分方程的解。
将其代入，有注意，对任意的R x ∈，0≠rxe 。
所以，欲使rx e y =是方程的解，则r 必须是一元二次方程的根。
由于上述步骤步步可逆。
因此，我们得到了定理 rx e y =是常系数齐次线性微分方程的解的必要充分条件是r 是一元二次方程 的根。
为此，引入下列定义:定义 称上述代数方程是常系数齐次线性微分方程的特征方程，其根称为常系数齐次线性微分方程的特征根或特征值。
这样，求常系数线性微分方程的特解以转化为求它的特征方程的根。
由于一元二次方程的根可能会是有两个不等的实根、有两个相等的实重根、有一对互为共轭复根。
因此，常系数齐次线性微分方程的通解也有下列三种形式：1) 有两个不等的实特征根：此时，x r x r e c e c 2121+是其通解；2) 有两个相等的实重特征：由于两个重特征根给出的对应指数函数是同一个函数。
因此，需要去再找一个与x r e y 1=线性无关的特解。
此时容易验证，x r xe y 1=也是它的的一个特解。
因此，该微分方程的通解是 )(2121111x c c e xe c e c x r x r x r +=+；3) 有两个共轭复特征根：设βαβαi r i r -=+=21 , 。
虽然x r e 1，x r e 2是它的解，且它们线性无关，但是，这两个函数中含有复数，而在高等数学中，一般都仅在实数范围内讨论。
因此，希望将这两个函数转化为仅含实数的函数。
为此，根据欧拉公式，令则21 ,y y 是常系数齐次线性微分方程的两个解的线性组合，由解的结构定理，它们也是原微分方程的特解。
显然，1y ，2y 线性无关。
所以当常系数齐次线性微分方程有一对共轭复特征根时，它的通解为总结上述讨论，得到下列定理：定理 设常系数齐次线性微分方程的特征根是21 , r r ；21 , c c 为任意常数。
