奇异值分解的几何解释

奇异值分解的几何解释
奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）是一种矩阵分解的方法，可以将一个矩阵分解成三个矩阵的乘积。

在几何上，SVD可以用于对数据集进行降维，以及在数据集上进行主成分分析。

在几何上，矩阵可以被视为表示线性变换的操作。

奇异值分解将矩阵分解成三个基本的线性变换的乘积：旋转、缩放和旋转的逆操作。

这三个变换可以用来描述原始矩阵的几何性质。

具体来说，给定一个矩阵A，SVD将其分解为以下形式：
A = UΣV^T
其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素称为奇异值。

在几何上，矩阵A的列空间由矩阵U的列向量确定，而A的行空间由矩阵V的列向量确定。

奇异值则表示了变换过程中的缩放因子，可以用来量化数据的重要程度。

SVD的几何解释可以理解为对原始数据进行一系列变换，从而找到对数据进行紧凑表示的最佳方式。

这种变换可以帮助我们找到数据中的主要模式和特征，从而进行数据压缩、降噪、特征提取等任务。

矩阵奇异值的几何意义矩阵奇异值的几何意义矩阵奇异值是矩阵分解的一种方式，它们在数据处理、图像处理、模式识别等领域有着重要的应用。

奇异值分解是一种特殊的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，分别是左奇异向量矩阵、奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。

从几何意义上讲，矩阵奇异值提供了矩阵变换的重要信息。

它们揭示了矩阵在高维空间中的几何特性。

具体来说，矩阵的奇异值反映了矩阵的伸缩比例和旋转效果。

我们可以将矩阵看作是一个线性变换，矩阵的奇异值则表示了这个变换在每个坐标轴上的缩放比例。

在二维平面中，矩阵的奇异值可以帮助我们理解矩阵的两个重要几何效果：旋转和缩放。

首先，奇异值提供了矩阵变换的旋转角度信息。

在二维平面中，旋转矩阵可以表示为：R = | cosθ -sinθ || sinθ cosθ |其中，θ是旋转角度。

通过对旋转矩阵进行奇异值分解，我们可以得到两个奇异值，它们分别表示了旋转变换在x轴和y轴方向上的缩放比例。

如果两个奇异值相等，那么表示旋转变换是等比例的。

其次，奇异值还反映了矩阵变换的缩放效果。

通过奇异值的大小，我们可以了解到矩阵变换对不同方向上的数据点进行了怎样的缩放。

奇异值越大，表示变换对应的方向上的数据点缩放比例越大；奇异值越小，表示变换对应的方向上的数据点缩放比例越小。

这对于图像处理和模式识别等领域的特征提取非常有用，可以帮助我们更好地理解和解释数据。

在高维空间中，矩阵奇异值的几何意义依然存在，只是我们很难直观地观察到。

在高维空间中，矩阵的奇异值表示了矩阵在每个坐标轴方向上的缩放比例。

通过对矩阵进行奇异值分解，我们可以获得特征向量和特征值，它们反映了高维空间中数据的方向和变化程度。

特征向量代表了矩阵变换对应的方向，特征值则表示了矩阵变换在每个特征向量方向上的缩放比例。

通过分析矩阵的奇异值和特征向量，我们可以了解数据在高维空间中的分布情况，从而有助于我们进行数据降维、特征提取和模式识别等任务。

1. 奇异值的特征1) 奇异值分解的第一个特征是可以降维。

A 表示n 个m 维向量，通过奇异值分解可表示成m+n 个r 维向量，若A 的秩r 远远小于m 和n ，则通过奇异值分解可以大大降低A 的维数。

可以计算出，当1nm r m n =++时，可以达到降维的目的，同时可以降低计算机对存贮器的要求。

2)奇异值分解的第二个特征是奇异值对矩阵的扰动不敏感，而特征值对矩阵的扰动敏感。

3)奇异值的第三个特征是奇异值的比例不变性。

4)奇异值的第四个特征是奇异值的旋转不变性。

奇异值的比例和旋转不变性特征在数字图像的旋转、镜像、平移、放大、缩小等几何变化方面有很好的应用。

5) 当A 是方阵时，其奇异值的几何意义是：若x 是n 维单位球面上的一点，则Ax 是一个n 维椭球面上的点，其中椭球的n 个半轴长正好是A 的n 个奇异值。

简单地说，在二维情况下，A 将单位圆变成了椭圆，A 的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。

2.基于SVD 的图像水印数值分析中的奇异值分解 ( SVD) 是一种将矩阵对角化的数值算法. 在图像处理中应用 SVD 的主要理论背景是 : ( 1) 图像奇异值的稳定性非常好 ,即当图像被施加小的扰动时 ,图像的奇异值不会有大的变化 ; (2) 奇异值所表现的是图像的内蕴特性而非视觉特性.从线性代数的角度看 , 一幅灰度图像可以被看成是一个非负矩阵. 若一幅图像用 A 表示定义为n n A R ⨯∈ ( 为方便起见 , 以后均只对方阵进行讨论) , 其中 R 表示实数域. 则矩阵A 的奇异值分解定义如下 : TA USV = ( 1)其中n n U R ⨯∈和n n V R ⨯∈均为正交阵 , n n S R ⨯∈为对角阵 ,上标 T 表示矩阵转置.水印的嵌入和检测SVD 方法的基本原理是将水印嵌入到原始图像的奇异值中. 在水印的嵌入过程中 , 先做 n ×n 灰度图像 A 的奇异值分解 , 得到两个正交矩阵 U 、 V 及一个对角矩阵 S . 尽管假设 A 是方阵 , 但其他非方阵可以完全用同样的方法来处理. 这个特性是 SVD 方法的一个优点 , 因为很多流行的水印算法都不能直接处理长方阵. 水印n n W R ⨯∈被叠加到矩阵 S 上 , 对新产生的矩阵 S +aW 进行奇异值分解 , 得到 U1 、 S1 和 V1( S + aW =111T U S V ) ,其中常数 a > 0 调节水印的叠加强度. 然后将矩阵 U 、 S1 和TV 相乘 , 得到处理后的包含水印的图像 A1 . 即如果矩阵 A 和W 分别表示原始图像和水印 , 那么通过如下三个步骤得到水印图像 A1 :T A USV ⇒,111T S W U SV +⇒,11T A USV ⇐. 在水印的检测过程中 , 如果给出矩阵 U1 、 S 、 V1 和可能损坏的水印图像*A , 那么通过简单的逆过程就就可以提取出可能已经失真的水印*W , 即 :****1T A U S V ⇒,**111T D U S V ⇐,**1(D S)W a⇐- 注意到三个矩阵 U1 、 S 和 V1 的总的自由度为2n , 即等于一个 n ×n 矩阵的自由度. 与其他一些水印算法要求原始图像来提取水印不同的是 , SVD 算法需要上面的三个矩阵来提取水印 , 但没有要求额外的信息量。

奇异值分解(SVD) --- 几何意义奇异值分解( The singular value decomposition )该部分是从几何层面上去理解二维的SVD：对于任意的 2 x 2 矩阵，通过SVD可以将一个相互垂直的网格(orthogonal grid)变换到另外一个相互垂直的网格。

我们可以通过向量的方式来描述这个事实: 首先，选择两个相互正交的单位向量v1 和v2, 向量M v1和M v2正交。

u1和u2分别表示M v1和M v2的单位向量，σ1* u1= M v1和σ2* u2= M v2。

σ1和σ2分别表示这不同方向向量上的模，也称作为矩阵M的奇异值。

这样我们就有了如下关系式M v1= σ1u1M v2= σ2u2我们现在可以简单描述下经过M线性变换后的向量x 的表达形式。

由于向量v1和v2是正交的单位向量，我们可以得到如下式子：x = (v1x) v1 + (v2x) v2这就意味着：M x = (v1x) M v1 + (v2x) M v2M x = (v1x) σ1u1 + (v2x) σ2u2向量内积可以用向量的转置来表示，如下所示v x = v T x最终的式子为M x = u1σ1v1T x + u2σ2v2T xM = u1σ1v1T + u2σ2v2T上述的式子经常表示成M = UΣV Tu 矩阵的列向量分别是u1,u2 ，Σ是一个对角矩阵，对角元素分别是对应的σ1和σ2，V 矩阵的列向量分别是v1,v2。

上角标T表示矩阵V 的转置。

这就表明任意的矩阵M是可以分解成三个矩阵。

V 表示了原始域的标准正交基，u 表示经过M 变换后的co-domain的标准正交基，Σ表示了V 中的向量与u 中相对应向量之间的关系。

(V describes an orthonormal basis in the domain, and U describes an orthonormal basis in the co-domain, and Σ describes how much the vectors in V are stretched to give the vectors in U.)如何获得奇异值分解？( How do we find the singular decomposition? ) 事实上我们可以找到任何矩阵的奇异值分解，那么我们是如何做到的呢？假设在原始域中有一个单位圆，如下图所示。

1、奇异值的意义对任意m×n阶距阵A做分解之后得到两个正交距阵U，V和一个广义对角阵（其中的对角元素就是奇异值），有了这样一个简单的描述后，对任意向量x，对应的变换Ax就可以用A分解后的三个距阵来计算了。

这样的话，对于v阵的任一个元素Vi，经过变换AVi就可以得到唯一的一个Uiσi，这样就有了大家都知道的几何意义：当A是方阵时，其奇异值的几何意义是：若X是n维单位球面上的一点，则Ax是一个n维椭球面上的点，其中椭球的n个半轴长正好是A的n个奇异值。

简单地说，在二维情况下，矩阵A将单位圆变成了椭圆，A的两个奇异值是椭圆的长半轴和短半轴。

（自己理解：因此奇异值-----------就是相应的特征，在目标识别中，进行奇异值分解后，就找到了特征值，然后把目标图像和模型图像中的奇异值进行比较，来进行识别）2、奇异值分解的几何意义一是矩阵奇异值分解的几何意义，二是对称阵在几何上的特点。

我们知道奇异值分解在计算广义逆、主成分分析和相关性分析中都有广泛应用，它说的是任何矩阵(不仅包括方阵，因此适用范围比特征值分解更广)都可以分解为三个矩阵的乘积M = SVD，其中S 和D 均是酉阵(正交阵在复数域的推广)，而V 为增广对角阵。

从直观上讲，S 和 D 可视为旋转操作，V 可视为缩放操作。

因此奇异值分解的含义就是说，若将矩阵看做一个变换，那么任何这样的变换可以看做是两个旋转和一个缩放变换的复合。

那么为什么矩阵可以做这样的分解？而不是 M = SV 或 M = VD ？我们看下面这个例子就清楚了。

左边上面一排图形显示了 M = SV 的操作，下面一排图形显示了 M = VD 的操作，但是这两种操作都不能单独得到 G 中显示的斜切操作。

对于对称阵，我们知道可以做 cholesky 分解，对于实矩阵的情形，可以有 M = CC'。

我们接着对 C 做奇异值分解，可得 M = (SVD)(D'V'S') = S(VV')S'，这意味着将实对称阵进行 SVD 分解时，前后两个旋转是互逆的。