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Z(A,B,C,D)=ABC+ABD+AC’D+C’D’+AB’C+A’CD’+++Z+BA=,(,,)C+BACADCDCABDABCACDD先填ABC项，即利用ABC=ABC（D+D’）=ABCD+ABCD’，如下图填入：图一’D,但ABCD项的表格已填入1，则不在填，只填ABC’D按照上述方法填好整个函数表达式，如下图：卡诺图圈“1”法化简步骤：1、先圈包含1个数最多的最大“1”圈，其中1格数只能为1、2、4、8、16；2、再圈包含1个数第二多的“1”圈，其中1格数也只能为1、2、4、8、16；以此类推，直到把卡诺图中所有的1格圈完。
3、检查每个“1”圈中是否至少有一个1格未被其它“1”圈圈过，若都被其他圈圈过，则该“1”圈舍去。
4、保留每个“1”圈中的不变的变量，其中“0”用原变量表示，“1”用反变量表示，变量之间用“.”连接，则构成该“1”圈的乘积项。
5、一个“1”圈对应一个乘积项，有多少“1”圈，就有多少乘积项，它们之间用“+”连接。
例题2：Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m15解：1、在卡诺图中填充好函数表达式，如下图：4、圈完所有的1格，通过检查，发现原来圈4个1格的最大“1圈”中所有的1格都被其6、按照写化简后的函数逻辑表达式的规则，得化简后的函数表达式：Y（A,B,C,D）=A’C’D+ABC’+ ACD+A’BCABC’ACD A’BC。
卡诺图化简画圈的原则
画圈应遵循以下原则：1、取大不取小，圈越大，消去的变量越多，与项越简单，能
画入大圈就不画入小圈；2、圈数越少，化简后的与项就越少；3、一个最小项可以重复使用，即只要需要，一个方格可以同时被多圈所圈。
一个圈中的小方格至少有一个小方格不为其它圈所圈；画圈必须覆盖完每一个填“1”方格为止。
结构特点
卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，变量的坐标值0表示相应变量的反变量，1
表示相应变量的原变量，变量的取值变化规律按“循环码”变化。
各小方格依变量顺序取
坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
n个变量的卡诺图由2^n个大方格共同组成，每个大方格代表一个最轻项；
卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
逻辑函数的卡诺图化简法 习题及参考答案习题1 用卡诺图化简下列函数，并写出最简与或表达式： （1）C B C B B A F ++=参考答案：B A F +=，卡诺图如下所示。
（2）D B A CD A B A D C A ABD F ++++=参考答案：CD A D B A D C B BD B A F +⋅+⋅⋅++=，卡诺图如下所示。
（3）()15,13,10,8,7,5,2,0),,,(∑=D C B A F参考答案：D B BD F ⋅+=，卡诺图如下所示。
习题2 用卡诺图化简下列具有约束条件为AB +AC = 0的函数，并写出最简与或表达式：（1）C A B A F +=参考答案：C A B F ⋅+=，卡诺图如下所示。
（2）D C B A D B A BD A C B A F +++=参考答案：D A C B F ++=，卡诺图如下所示。
习题3 根据如下真值表，写出逻辑函数。
化简此函数，并画出逻辑图。
A B C F 1 F 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 1 1 0 0 1 0 10 0 0 1 0 1 1 1参考答案：C B A AC C B ABC C B A C B A C B A F ++=+++⋅=1BC AC AB ABC C AB C B A BC A F ++=+++=2逻辑图如下所示：习题4 某逻辑电路有三个输入A 、B 、C ，当输入相同时，输出为1，否则输出为0，列出此逻辑事件的真值表，写出逻辑表达式。
参考答案：真值表如下图所示 逻辑表达式为ABC C B A F +⋅⋅=。
卡诺图
n个最小项组织在给定的方格矩阵中，同时为相邻最小项（相邻与项）运用邻接律化简提供了直观的图形工具。
[编辑]变量卡诺图
▪表示各最小项的2n（n-变量数）个小格，排列呈矩形。
▪小格按“循环码”排列，保证最小项间“几何相邻”与“逻辑相邻性”的统一。
（几何相邻有“内相邻”“外相邻”和“中心对称”）
[编辑]函数卡诺图
把函数包含的所有最小项，以“1”填入变量卡诺图对应编号的小格
内。
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[编辑]用卡诺图化简逻辑函数的步骤
▪如果表达式为最小项表达式，则可直接填入卡诺图
▪如表达式不是最小项表达式，但是“与—或表达式”，可将其先化成最小项表达式，再填入卡诺图。
也可直接填入。
▪合并相邻的最小项，即根据下述原则画圈
▪尽量画大圈，但每个圈内只能含有2n（n=0,1,2,3……）个相邻项。
要特别注意对边相邻性和四角相邻性。
▪圈的个数尽量少。
▪卡诺图中所有取值为1的方格均要被圈过，即不能漏下取值为1的最小项。
▪在新画的包围圈中至少要含有1个未被圈过的1方格，否则该包围圈是多余的。
▪写出化简后的表达式。
每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为l的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。
然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与—或表达式。
在进行化简时，如果用图中真值为0的项更方便，可以用他们来处理，方法和真值取1时一样，只是结果要再做一次求反。
数字电路中卡诺图的应用与研究王珊珊摘要：迄今为止，未见到一本全面阐述卡诺图知识的专著。
本文将卡诺图在数字电路中的应用进行了系统的总结，按其应用的共同特点分为：在逻辑化简上的应用、在逻辑运算上的应用和在解决电路中问题的应用三大类。
在此基础上，对发现的四个未见文献阐述过的问题：在特殊化简中的区域整体现象、用卡诺图圈“0”的方法把函数化简成与或式应该有的前提条件、奇数个逻辑变量的同或与异或相等的卡诺图证明方法和利用无关项在卡诺图化简中的相应说明作了研究，在这四个问题上作了推证，给出了结论并举例加以说明。
关键词：卡诺图应用推证The Applications and Research on The Karnaugh Map in Digital CircuitWangShanshanAbstract:So far, we have not seen any monographs of karnaugh map。
This paper summarizes any situation of applications on Karnaugh map in digital circuit, its application in common is divided into three big parts：The application of the logic simplification 、The application of the logic operation and The application solve the problems in digital circuit 。
Found four problems that no literature expounded on the basis of the summarizes：The overall regional situation in the special simplification、The prerequisite must have in the karnaugh map circle "0" simplification that make logic function into the most simplified、Prove that same-or gate equal else-or gate in odd number logic variable in Karnaugh map and The application of the related items in the K-map simplification，then do research on this four problems，Made a deduction and gives the conclusion with examples。
Keywords: karnaugh map applications deduction目录前言 (1)1卡诺图的应用 (1)1.1卡诺图在逻辑化简上的应用 (1)1.1.1与或逻辑化简 (1)1.1.2与非逻辑化简 (2)1.1.3或与逻辑化简 (2)1.1.4或非逻辑化简 (2)1.1.5与或非逻辑化简 (2)1.1.6单输出特殊逻辑函数的卡诺图化简 (2)1.1.7阻塞法 (3)1.2卡诺图在逻辑运算上的应用 (6)1.2.1卡诺图中两个函数的“或”运算 (7)1.2.2卡诺图中两个函数的“与”运算 (8)1.2.3卡诺图中两个函数的“异或”运算 (9)1.2.4卡诺图中两个函数的“同或”运算 (9)1.3卡诺图在电路中的应用 (9)1.3.1利用卡诺图检验电路中的竞争冒险 (9)1.3.2卡诺图在数据选择器中的应用 (12)2卡诺图的研究 (13)2.1卡诺图在特殊化简中的区域整体现象 (13)2.2卡诺图圈“0”用法的说明 (16)2.3单输出特殊逻辑函数卡诺图化简的说明 (19)2.4无关项应用在卡诺图化简中的说明 (23)3总结 (25)成果申明 (25)致谢 (25)参考文献 (26)前言卡诺图在数字逻辑电路的分析和设计中有着重要的作用并被广泛应用。
卡诺图最初是运用在化简逻辑函数上，随着卡诺图的性质和应用范围的逐步完善，现在，无论是在逻辑函数的化简和逻辑运算中，还是电路设计中都占有重要的地位。
卡诺图已不仅仅是应用于化简领域。
卡诺图是根据格雷码设计出来的，当一个逻辑函数用卡诺图表示时，容易得出它的最简或与式，正确运用卡诺图的前提是把给定的逻辑函数正确填图。
在阅读大量有关卡诺图的资料时，发现有关卡诺图的知识的资料散布于各种教材、学术期刊中，而并没有一本资料将卡诺图的知识介绍完全。
本论文是对卡诺图在数字电路中的应用进行归纳，并按规律将卡诺图的应用分成三个大的方面进行逐一详细的介绍，同时举例予以佐证说明是将各中资料卡诺图的介绍收集成册，方便读者查阅。
在阅读大量资料的基础上，就一些卡诺图的现象进行分析与研究，并作出结论。
以下将依次讨论卡诺图在各方面的应用，以及本人对卡诺图的一些论证。
1卡诺图的应用1.1卡诺图在逻辑化简上的应用1.1.1与或逻辑化简①根据给定的逻辑函数确定变量的个数，然后画出相应的卡诺图；②圈出无相邻项的孤立1格；③圈出只有一种圈法，即只有一种合并可能的1格的合并圈；④余下的1格都有两种或两种以上的圈法，此时的原则是在保证有没有圈到1格的前提下，合并圈越大越好，圈的数目越少越好，所有1格至少被圈过一次；⑤将所有合并圈对应的乘积项相加，即得到化简后的最简与或式。
例1化简F=B CD+BC+ACD+AB C。
解第一步：用卡诺图表示该逻辑函数。
BCD：对应m3、m11BC：对应m4、m5、m12、m13ACD：对应m1、m5ABC：对应m10、m11卡诺图如图例1（a）所示。
上述方格填入“1”，其他方格可不填入。
第二步：画卡诺圈圈住全部“1”方格。
具体过程见图例1（b）第三步：组成新函数。
每一个卡诺圈对应一个与项，然后将各与项“或”起来得新函数。
故化简结果为：F=BC+AB C+ABD1.1.2与非逻辑化简所谓与非式，就是全由与非门实现该逻辑，将与或式两次求反即得与非式。
1.1.3或与逻辑化简首先从卡诺图上求其反函数，其方法是圈“0”方格，然后再用摩根定律取反即得或与式。
例2 求F=∑(0,4,5,7,8,12,13,14,15)的反函数和或与式。
解求反函数的过程如图例2所示。
F=BD+BC+ACD其次，再由反函数求的原函数，利用摩根定律就得或与式。
F=F=B D+B C+ACD=BD·BC·ACD=(B+D)(B+C)(A+C+D)上述化简结果可直接由卡诺图上得到。
1.1.4或非逻辑化简将或与逻辑两次求反即得或非表示式。
1.1.5与或非逻辑化简与或非逻辑形式可以从两种途径得到：一种是从与或式得到，将与或式两次求反，不用摩根定律处理，即得与或非式。
另一种是求得反函数后，再求一次反，即不用摩根定律处理，也可得与或非式。
1.1.6单输出特殊逻辑函数的卡诺图化简用卡诺图法化简逻辑函数时，在卡诺图中一般能合并的项之间须两两相邻，但对有些逻辑函数在卡诺图中没有两两相邻的情况，一般无法直接进行化简，可以利用如下所给出的1～6种特殊函数卡诺图进行化简。
例3 试用卡诺图法化简如下逻辑函数Y=∑m(1,2,4,7,8,11,13,14)解设给定逻辑函数由A、B、C、D 4个变量构成，则有Y=F(A、B、C、D)=∑m(1,2,4,7,8,11,13,14)画出卡诺图如图5所示，而该函数中各最小项间两两互不相邻，但利用特殊函数卡诺图法很容易得到Y=F(A、B、C、D)= A⊕B⊕C⊕D1.1.7阻塞法我们观察在卡诺图中圈卡诺图时，有一个特殊的现象。
当卡诺圈含有全“1”方格（三变量的111即ABC方格，四变量的1111即ABCD方格），其化简结果均为原变量。
如图7所示，其中全“1”方格已用黑三角标示出。
图7 卡诺图上表示全1方格如以四变量为例：二单元圈：m13与m15ABDm7与m15BCDm11与m15ACD m14与m15ABC 四单元圈：m5，m7，m13，m15 BD m6，m7，m14，m15 BC m9，m11，m13，m15 AD m10，m11，m14，m15 AC m3，m7，m11，m15 CD m12，m3，m14，m15 AB 八单元圈：m1，m3，m5，m7m9，m11，m13，m15m2，m3，m6，m7m10，m11，m14，m15 Cm4，m5，m6，m7m12，m13，m14，m15 B m8，m9，m10，m11m12，m13，m14，m15 AD所以，如果在化简时每次圈卡诺圈时均含全“1”方格，则就不出现反变量，因此也就节省了非门。
但在实际的逻辑问题中，逻辑函数不一定包含全“1”方格，按常规法必然出现反变量。
为了得到原变量，必须圈进全“1”方格。
为此，我们可以这样做：先将全“1”方格圈入，然后再将该方格的作用扣除掉，或将该方格的作用阻塞掉，这样就保证化简的逻辑函数功能不变，该方格中的项称为阻塞项。
为了保证不出反变量，阻塞项也应围绕全“1”方格圈，为了保证化简结果最佳，阻塞项应尽可能圈大。
阻塞法化简如下：例4 用阻塞法化简F =∑（1,5,6,7,9,11,12,13,14）。
解 为了使化简结果最佳，我们将阻塞项合理地扩大，但最终化简函数应包含逻辑函数的全部最小项。
为说明问题，我们将过程详细叙述如下。
（如图例4（a ）、（b ）、（c ）、（d ）所示）。
图（a ）：此圈多圈了m 3和m 15，为了阻塞项也是原变量，我们用m 3+m 7+m 11+ m 15=CD为阻塞项，故得15913DCD=CD=m +m +m +m其中m 7和m 11在其他项体现。
图（b ）：此圈本来只多圈了m 15，我们将阻塞项扩大为m 3+m 7+m 11+ m 15=CD故得 121314A B C D =A B C +A BD =m +m +m 图（c ）：本来只多圈了m 15，我们将阻塞项扩大为m 12+m 13+m 14+ m 15=AB故 911A D A B =A B D=m +m 图（d ）：其考虑与ADAB 相同，67AB=ABC=m +m BC检查化简结果，包含了逻辑函数的全部最小项，故化简结果正确，其函数为=DCD+ABCD+ADAB+BCAB F=D C D A B C D A D A B B C A B如此化简，该逻辑函数需用5个门。
用常规化简法化简，其结果为=CD+ABC+ABD+ABD F需用9个门，比阻塞法化简的多用4个门，由此可看出，阻塞法化简比较节约成本。
