由逻辑表达式画卡诺图

逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。

前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。

1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。

例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。

显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。

（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。

二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。

图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。

几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。

2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。

对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。

（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。

因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。

即可以得到逻辑函数的卡诺图。

【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。

第一章习题答案一周期性信号的波形如图题所示，试计算：（1）周期；（2）频率；（3）占空比0121112（ms）图题1.1.4解： 周期T=10ms 频率f=1/T=100Hz占空比q=t w /T ×100%=1ms/10ms ×100%=10%将下列十进制数转换为二进制数、八进制数和十六进制数，要求误差不大于2-4：（1）43（2）127（3）（4）解：1. 转换为二进制数：（1）将十进制数43转换为二进制数，采用“短除法”，其过程如下：2 43 ………………………余1……b 02 21 ………………………余1……b 12 1 ………………………余1……b 52 2 ………………………余0……b 42 5 ………………………余1……b 32 10 ………………………余0……b 2高位低位从高位到低位写出二进制数，可得（43）D =（101011）B（2）将十进制数127转换为二进制数，除可用“短除法”外，还可用“拆分比较法”较为简单： 因为27=128，因此（127）D =128-1=27-1=（1000 0000）B -1=（111 1111）B（3）将十进制数转换为二进制数，整数部分（254）D =256-2=28-2=（1 0000 0000）B -2=（1111 1110）B 小数部分（）D =（）B（）D=（1111 ）B（4）将十进制数转换为二进制数整数部分（2）D=（10）B小数部分（）D=（）B演算过程如下：0.718×2=1.436……1……b-1 0.436×2=0.872……0……b-2 0.872×2=1.744……1……b-3 0.744×2=1.488……1……b-4 0.488×2=0.976……0……b-5 0.976×2=1.952……1……b-6高位低位要求转换误差小于2-4，只要保留小数点后4位即可，这里算到6位是为了方便转换为8进制数。

1.4 用卡诺图化简逻辑函数本次重点内容1、卡诺图的画法与性质2、用卡诺图化简函数 教学过程 应用卡诺图化简 一、卡诺图逻辑函数可以用卡诺图表示。

所谓卡诺图，就是逻辑函数的一种图形表示。

对n 个变量的卡诺图来说，有2n 个小方格组成，每一小方格代表一个最小项。

在卡诺图中，几何位置相邻（包括边缘、四角）的小方格在逻辑上也是相邻的。

二、最小项的定义及基本性质： 1、最小项的定义在n 个变量的逻辑函数中，如乘积项中包含了全部变量，并且每个变量在该乘积项中或以原变量或以反变量的形式但只出现一次，则该乘积项就定义为该逻辑函数的最小项。

通常用m 表示最小项，其下标为最小项的编号。

编号的方法是：最小项的原变量取1，反变量取0，则最小项取值为一组二进制数，其对应的十进制数便为该最小项的编号。

如最小项C B A 对应的变量取值为000，它对应十进制数为0。

因此，最小项C B A 的编号为m 0，如最小项C B A 的编号为m 4，其余最小项的编号以此类推。

2、最小项的基本性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而其余各种变量取值均使它的值为0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。

图1.4.1分别为二变量、三变量和四变量卡诺图。

在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态。

变量状态的次序是00，01，11，10，而不是二进制递增的次序00，01，10，11。

这样排列是为了使任意两个相邻最小项之间只有一个变量改变（即满足相邻性）。

小方格也可用二进制数对应于十进制数编号，如图中的四变量卡诺图，也就是变量的最小项可用m0, m１,m２,……来编号。

01 0100011110 01ABCABCDBA0001111000011110m m m mm m m mm mm m01230112233mmmmmmmmmmmmmmmm456789101112131415图1.4.1 卡诺图二、应用卡诺图表示逻辑函数应用卡诺图化简逻辑函数时，先将逻辑式中的最小项(或逻辑状态表中取值为1的最小项)分别用1填入相应的小方格内，其它的则填0或空着不填。

逻辑函数卡诺图表示方法从前面可知，代数化简法有其优点，但是代数化简法也不易判断所化简的逻辑函数式是否已经达到最简式。

一、最小项的定义 1.最小项如果一个具有n 个变量的逻辑函数的“与项”包含全部n 个变量，每个变量以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这种“与项”被称为最小项。

对两个变量A 、B 来说，可以构成4个最小项：AB B A B A AB 、、、；对3个变量A 、B 、C 来说，可构成8个最小项：C AB C B A C B A BC A C B A C B A C B A 、、、、、、和ABC ；同理，对n 个变量来说，可以构成2n 个最小项。

2.最小项的编号最小项通常用符号m i 表示，i 是最小项的编号，是一个十进制数。

确定i 的方法是：首先将最小项中的变量按顺序A 、B 、C 、D … 排列好，然后将最小项中的原变量用1表示，反变量用0表示，这时最小项表示的二进制数对应的十进制数就是该最小项的编号。

例如，对三变量的最小项来说，ABC 的编号是7符号用m 7表示，C B A 的编号是5符号用m 5表示。

下表为3变量最小项对应表。

3变量全部最小项的真值表3.最小项表达式如果一个逻辑函数表达式是由最小项构成的与或式，则这种表达式称为逻辑函数的最小项表达式，也叫标准与或式。

例如：ABCD D ABC D BC A F ++=是一个四变量的最小项表达式。

对一个最小项表达式可以采用简写的方式，例如()()∑=++=++=7,5,2,,752m m m m ABC C B A C B A C B A F要写出一个逻辑函数的最小项表达式，可以有多种方法，但最简单的方法是先给出逻辑函数的真值表，将真值表中能使逻辑函数取值为 1的各个最小项相或就可以了。

例：已知三变量逻辑函数：F ＝AB ＋BC ＋AC ，写出F 的最小项表达式。

解：首先画出F 的真值表，将表中能使F 为1的最小项相或可得下式ABC C AB C B A BC A F +++=()∑=7,6,5,3m4.最小项的性质：①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1，而其余各项的取值均使它的值为0。

第四章例题解析【例1】电路如图4.15所示，试画出Q 1和Q 2的波形。

设两个触发器的初始状态均为“0”。

解答：对JK 触发器：J=Q 2，K=1，有nn n Q Q Q 1211=+ 对D 触发器： nn Q D Q Q D 1121,===+有有上述两方程画出Q 1和Q 2的波形图，如图4.16所示。

【例2】图4.17所示触发器电路中，A 和B 的波形已知，试对应画出Q 0～Q 3的波形。

设各触发器初态为0。

解答：①对图4.17（a ）0010Q D Q n ==+，且在A 的上升沿翻转。

因0,110==Q Q R D 故时输出端被置为0。

n nn Q Q D Q 10111==+，且在B 的上升沿翻转。

②对图4.17（b ）n n n n Q Q K Q J Q 222212=+=+，且在A 的下降沿翻转。

因为0332==Q Q R D ，所以时输出端被置为0。

n n n n n Q Q Q K Q J Q 3233313=+=+，且在B 的下降沿翻转。

Q 0、Q 1、Q 2、Q 3的波形如图4.18所示。

【例3】试画出主从结构RS 触发器转换成D 、T 、T ’及JK 型触发器的电路。

解答：RS 型触发器的特性方程为1=•+=+S R Q R S Q n n（1）RS →DD 触发器的特性方程为：n n n DQ D Q D D Q +=+==+)1(1 与RS 触发器的特性方程比较可得： S=D D R =根据方程式S=D ，D R =画出逻辑电路图，如图4.19所示。

（2）RS →TT 触发器的特性方程为：n n n Q T Q T Q+=+1与RS 触发器的特性方程比较可得：T R Q T S n==,但是当1,1==nQ T 时，出现R=1、S=1，不满足R ·S=0的约束条件。

故将T 触发器的特性方程变换为nn n n n n Q Q T Q T Q T Q T Q +=+=+1 与RS 触发器的特性方程联解可得：n n TQ R Q T S ==,根据方程式画出逻辑电路图，如图4.20所示。