2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题07数列小题部分训练手册(附答案)

答题技巧第2讲稳得填空题考向预测填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：(1)定量型：要求考生填写数值、数集或数量关系,如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等；(2)定性型:要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质,如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.解答填空题时，由于不反映过程,只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格。

《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速".为此在解填空题时要做到：快-—运算要快，力戒小题大做;稳——变形要稳，不可操之过急；全—-答案要全，力避残缺不齐;活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意.知识与技巧的梳理1.方法一直接法它是直接从题设出发，利用有关性质或结论,通过巧妙地变形，直接得到结果的方法。

要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.2。

方法二特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.3。

方法三数形结合法(图解法）一些含有几何背景的填空题，若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.4。

方法四构造法构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程，构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知(例如代数式）形式上的特点，然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景）,从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的。

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

数列求和的运算1．等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()21log n n n n b a a a +=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)*2,N n n a n =∈(2)n T 21222;n n n +=++-【详解】（1）已知等比数列{}n a 的公比为2，且234,2,a a a +成等差数列，()32422a a a ∴+=+，()11124228a a a ∴+=+,解得12a =，1*222,N ;n n n a n -∴=⨯=∈（2）()12122log 222log 22212n n n n n n n b n ++=⋅+=+=++，()()()()221221222221212n n n T n n n n -∴=++++++++=+++++- .21222;n n n +=++-2．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知221n n n a S a =+．(1)求证：数列{}2n S 为等差数列，并求出n S ，n a ；(2)若(1)nn nb a -=，求数列{}n b 的前2023项和2023T ．【答案】(1)n S ；=n a (2)2023T =.【详解】（1）由221n n n a S a =+可得，221121S S =+，又因为n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，所以111S a ==，因为1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=-+，所以()22112n n S S n --=≥，数列{}2n S 为等差数列，所以2nS n =，n S ，())112n n a n ⎧==≥，所以n a（2）(1)(1)nn n nb a -==-，202311T =-+-⋅⋅⋅--3．已知数列{}n a 为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4….即先取11a =，接着复制该项粘贴在后面作为2a ，并添加后继数2作为3a ；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为4a ，5a ，6a ，并添加后继数3作为7a ，…依次继续下去.记n b 表示数列{}n a 中n 首次出现时对应的项数.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求12363a a a a ++++ .【答案】(1)21nn b =-(2)120【详解】（1）由题意知：121n n b b +=+，即112(1)n n b b ++=+，且112b +=，所以数列{1}n b +是以112b +=为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=，则21nn b =-.（2）由（1）可知，662163b =-=，所以6在前63项中出现1次，5在前63项中出现2次，4在前63项中出现224⨯=次，3在前63项中出现428⨯=次，2在前63项中出现8216⨯=次，1在前63项中出现16232⨯=次，所以1236313221638445261120a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= .4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前2023项和.【答案】(1)n a n =(2)20232024【详解】（1）设公差为d ，由55a =，515S =，得1145545152a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得11a d ==，所以n a n =.（2）由（1）可得()1111111n n n b a a n n n n +===-++，所以122320232024111a a a a a a +++ 1111112023112232023202420242024⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故数列{}n b 的前2023项和为20232024.5．已知{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，数列{}n b 满足114,321n n b b b n +==-+.(1)证明{}n b n -是等比数列，并求{}{},n n a b 的通项公式；(2)若数列{}n a 与{}n b 中有公共项，即存在*,N k m ∈，使得k m a b =成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作{}n c ，求12n c c c +++ .【答案】(1)证明见解析，()*31N n a n n =-∈，()*3Nn n b n n =+∈(2)()()927131262n n n -++()*N n ∈【详解】（1）由题意可得：()()*21331N n a n n n =+-⨯=-∈，而114,321n n b b b n +==-+，变形可得：()()111333,13n n n b n b n b n b +-+=-=--=，故{}n b n -是首项为3，公比为3的等比数列.从而3nn b n -=，即()*3N n n b n n =+∈.（2）由题意可得：313m k m -=+，*,N k m ∈，令31m n =-()*N n ∈，则()312231331331n n k n n ---=+-=+-，此时满足条件，即2,5,8,,31m n =⋯-时为公共项，所以122531n n c c c b b b -+++=+++ ()()()25319271313332531262n n n n n --+=+++++++-=+()*N n ∈.6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()*12N n n S a n +=∈．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设,21,2n n a n k b n n k=-⎧=⎨=⎩且*N k ∈，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】(1)12n n a -=(2)()12221,234211,2134n n n n n n k T n n k +⎧+-+=⎪⎪=⎨--⎪+=-⎪⎩，*N k ∈【详解】（1）当1n =时，11a =，当2n ≥时，111212n nn n S a S a --+=⎧⎨+=⎩12n n a a -⇒=，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n a -=.（2）由题设知：12,21,2n n n k b n n k-⎧=-=⎨=⎩，*N k ∈，当n 为偶数时，13124()()n n n T b b b b b b -=+++++++ 022(222)(24)n n -=+++++++ 21(2)34n n n -+=+；当n 为奇数时，13241()()n n n T b b b b b b -=+++++++ 021(222)(241)n n -=+++++++- 1221134n n +--=+；综上，()12221,234211,2134n n n n n n k T n n k +⎧+-+=⎪⎪=⎨--⎪+=-⎪⎩，*N k ∈.7．已知数列{}n a 满足：12a =，且对任意的*n ∈N ，11,,222,.nnn n n a n a a n ++⎧⎪=⎨⎪+⎩是奇数是偶数(1)求2a ，3a 的值，并证明数列2123n a -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)设()21N *n n b a n -=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21a =，310a =，证明见解析(2)()824193n n T n =--【详解】（1）1212a a ==，3322210a a =+=.由题意得212121212212121288822244332333n n n n n n n n a a a a a ++-+---⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又128033a +=≠，所以数列2123n a -⎧⎫+⎨⎩⎭是等比数列.（2）由（1）知12182433n n n b a --==⋅-.运用分组求和，可得()0121828142444++4333143n n n T n n--=++⋅⋅⋅-=⋅--()824193n n =--.8．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n T ，12a =且对任意2n ≥，11,,n n n n a T a a T -成等差数列，又正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，23413,39S S ==.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足2n n n c T b =⋅，是否存在正整数n ，使129n c c c +++> .若存在，求出n 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2n a =，n b =113n -⎛⎫⎪⎝⎭(2)不存在，理由见解析【详解】（1）设{}n b 的公比为q ，显然1q ≠，由23413,39S S ==，可得()()2131141311319b q qb q q⎧-⎪=-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得13q =或14q =-（舍去），又11b =，所以n b =113n -⎛⎫⎪⎝⎭，又对任意2n ≥，11,,n n n n a T a a T -成等差数列，12a =，所以14n n n n a T a T -+=.因为()12n n n a T T n -=-≥，所以()()114n n n n T T T T ---+=，所以2214n n T T --=()2n ≥，故{}2n T 是以214T =为首项，公差4d =的等差数列，所以()24144n T n n =+-⨯=，又0n a >，所以0n T >，所以n T =当2n ≥时，142n n n a T T -==+，1n =时，12a =满足上式，故2n a =.（2）12143n n nn c T b n -⎛⎫=⋅=⨯ ⎪⎝⎭，设12n n K c c c =+++ ，121114812333n K ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1143n n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭①，123111148123333n K ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()11141433n nn n -⎛⎫⎛⎫+-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，①-②，得122114444333n K ⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3111144333n nn -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111341313n n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎣⎦331142233n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()11119969329333nnn n K n n -⎛⎫⎛⎫=--=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故不存在正整数n ，使129n c c c +++> .9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足226n n S a +=-，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记m b 为数列{}n S 在区间()2,m m a a +中最大的项，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)132n n a -=⨯；(2)222313n n T n +--=⨯.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则0q >，又226n n S a +=-，当1n =时，1326S a =-，当2n =时，2426S a =-，两式相减可得，2432a a a =-，所以22q q =-，所以2q =或1q =-(舍去)，所以1312646S a a =-=-，即13a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为132n n a -=⨯；（2）由132n n a -=⨯，226n n S a +=-，可得()()1211632632322n n n n S a ++=-=⨯-=⨯-，所以113n n n S a a ++=-<，又0n a >，所以n n S a ≥，当且仅当1n =时等号成立，所以122m m m m m a S S a S +++≤<<<，所以11323m m m b S ++==⨯-，所以()2341322223n n T n +++=+-+ 22233322212312n n n n ++-⨯⨯-==---.即222313n n T n +--=⨯.10．已知等差数列{}n a 的公差0d >，且满足11a =，1a ，2a ，4a 成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足22,1,n a n n n n b n a a+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】(1)n a n =(2)21221534412n n T n +=--+【详解】（1）因为1a ，2a ，4a 成等比数列，所以2214a a a =，即2(1)1(13)d d +=⨯+，解得0d =或1d =．因为0d >，所以1d =，所以11(1)n a n n =+⨯-=．（2）由（1）得()2,,1,,2n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩为奇数为偶数所以2,,111,22n n n b n n n ⎧⎪=⎨⎛⎫- ⎪⎪+⎝⎭⎩为奇数为偶数，所以21232121321242()()n n n n n T b b b b b b b b b b b --=+++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+13211111111(222)22446222n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12122222111122222n n --⋅⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，2121534412n n +=--+，所以数列{}n b 的前2n 项的和21221534412n n T n +=--+．11．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，已知30a =，1(1)2n nn n a S ++-=.(1)求1a ，2a ；(2)令12n n n b a a +=+，求2462n b b b b ++++ .【答案】(1)121,3a a ==(2)2122n +-【详解】（1）由1(1)2n nn n a S ++-=得212,a a -=即212,a a =+23242a S +==，即1324a a a +=+，又30a =，所以121,3a a ==，（2）当2n k =时，22122kk k a S ++=，当21n k =-时，221212k k k a S --=-，两式相加可得22121221222k k k k k k a S a S +--=+-++，得221212222k k k k a a -++=+，由于12n n n b a a +=+，所以()()()()32547462622212222n n n b b b b a a a a a a a a +=++++++++++++ ()()()()21436522122222222n n -=++++++++ ()()24621352122222222n n -=+++++++++ ()()21414214221414n n n +--=+=---12．已知{}n a 是递增的等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，22b a =，35b a =，414b a =．(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)n *∀∈N ，数列{}n c 满足1122313n n n c a c c b b b ++++⋅⋅⋅+=，求{}n c 的前n 项和n S ．【答案】(1)21n a n =-，13n n b -=(2)3n n S =【详解】（1）解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，则221b a d ==+，3514b a d ==+，414113b a d ==+，因为数列{}n b 为等比数列，则2324b b b =，即()()()2141113d d d +=++，因为0d >，解得2d =，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-.又因为223b a ==，359==b a ，所以，等比数列{}n b 的公比为323b q b ==，因此，2123n n n b b q --==.（2）解：由1122313n n n c a c c b b b ++++⋅⋅⋅+=，①可得12213c a b ==，所以，13c =，当2n ≥时，112233n n n c a c c b b b -++⋅⋅⋅+=，②①-②得11233n n n n c a a b ++-==，所以，()1122323n n n c b n -+==⋅≥，13c =不满足()1232n n c n -=⋅≥，所以，13,123,2n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩.当1n =时，113S c ==，当2n ≥时，()()1121613323333313n n n n S ---=+⨯+++=+=- ，13S =也满足()32n n S n =≥，综上所述，对任意的n *∈N ，3nn S =.13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且225n n S a n =+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()21log 2n n b a +=-，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T ．【答案】(1)122n n a -=+(2)1n n +【详解】（1）当1n =时，111225S a a ==+-，解得13a =，当2n ≥时，()112215n n S a n --=+--．可得()112252215n n n n S S a n a n --⎡⎤-=+--+--⎣⎦，整理得：122n n a a -=-，从而()()12222n n a a n --=-≥，又121a -=，所以数列{}2n a -是首项为1，公比为2的等比数列；所以()1112222n n n a a ---=-⋅=，所以122n n a -=+，经检验，13a =满足122n n a -=+，综上，数列{}n a 的通项公式为122n n a -=+；（2）由（1）得122n n a --=，所以122nn a +-=，所以()21log 2n n b a n +=-=，()1111111n n b b n n n n +∴==-⋅++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=++++ 11111111.1223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111nn n =-=++14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11a =，且2*,N n n na S n n n -=-∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()()122121nnn a n a a b +=--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-(2)21111321n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭【详解】（1）因为2n n na S n n -=-，所以211(1)(1)(1)(2)n n n a S n n n ----=---≥，两式相减得1(1)22n n n na n a a n ----=-，化简得12(2)n n a a n --=≥，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1(1)221n a n n =+-⨯=-．（2）()()21212121212111321212121n n n n n n b --+-+⎛⎫==-⎪----⎝⎭，所以12n nT b b b =++¼+335212111111113212121212121n n -+⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪------⎝⎭21111321n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭所以21111321n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭．15．已知函数{}n a 的首项135a =，且满足1321n n n a a a +=+．(1)求证11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求n a ．(2)对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，求123100123100a a a a ⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦ 的值．【答案】(1)证明见解析，332nn na =+(2)5051【详解】（1）因为135a =，1321n n n a a a +=+，所以0n a ≠，所以12113n n n a a a ++=2133n a =+，所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又因为11213a -=，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为23，公比为13的等比数列，所以112112333nn n a -⎛⎫-=⨯⎪=⎝⎭，所以1213n n a =+，所以332n n na =+.（2）因为1213n n a =+，所以1210012310012310024200123100333a a a a +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()1210010010011210023332⨯+⎛⎫=⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭.设1231001231003333T =+++⋅⋅⋅+，所以234101112310033333T =+++⋅⋅⋅+，所以2310010121111100333333T =+++⋅⋅⋅+-100101100101111100111003311323313⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=-=⨯-- ⎪⎝⎭-，所以1003203443T =-⨯，所以100123123100a a a a +++⋅⋅⋅+100100320320*********.522323=+-=-⨯⨯.因为100203013<<，所以10020310232<<⨯，所以10020350515051.55051.523<-<⨯，所以1001231231005051a a a a ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎣⎦.16．已知各项均为正数的数列{n a }满足111,23n n a a a -==+（正整数2)n ≥(1)求证：数列{}3n a +是等比数列；(2)求数列{n a }的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析(2)2234n n S n +=--【详解】（1）证明：已知递推公式123n n a a -=+，两边同时加上3，得：()()13232n n a a n -+=+≥，因为0,30n n a a >+>，所以()13223n n a n a -+=≥+，又1340a +=≠，所以数列{}3n a +是以134a +=为首项、以2为公比的等比数列.（2）由（1）113=422n n n a -++⨯=，则()1*23N n n a n +=-∈，所以23112232323n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()2312223n n+=++⋅⋅⋅+-()2412323412nn n n +⋅-=-=---.17．已知在数列{}n a 中，112a =，且1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n n n n a b a a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使得425m T ≤的最大整数m 的值；(3)设12nn n na c a -=⋅，求数列{}n c 的前n 项和nQ 【答案】(1)11n a n =+(2)8(3)222n nnQ +=-【详解】（1）由112a =可知112a =，又1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，所以12(1)11n n n a =+-⨯=+，故11n a n =+．（2）1111112112n n n n a n b a a n n n n ++=+=+=+-++++，121111111123341222n n T b b b n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+-+-++-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1142225m T m m =+-≤+，整理得210(2)99(2)100m m +-+-≤，解得18m ≤≤，故满足条件的最大整数m 的值为8．（3）由题得122n n nn n a nc a -==⋅，则2311111232222n n Q n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，2311111112(1)22222n n n Q n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得231111111111122222222n nn n n Q n n ++⎛⎫=++++-⨯=--⨯ ⎪⎝⎭，所以2222222n n n nn nQ +=--=-.18．已知数列{}n a 各项都不为0，前n 项和为n S ，且32n n a S -=，数列{}n b 满足11b =-，1n n b b n +=+．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)令21n nn a b c n =+，求数列{}n c 的前n 项和为nT 【答案】(1)132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;()()122nn n b +-=;(2)()138342n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）由32n n a S -=，可得()11322n n a S n ---=≥，两式相减得1133n n n n n a a S S a ---=-=，整理得132n n a a -=，因为数列{}n a 各项都不为0，所以数列{}n a 是以32为公比的等比数列．令1n =，则11132a S a -==，解得11a =，故132n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题知1n n b b n +-=，所以()()()()11232211n n n n n b b b b b b b b b b ---=-+-++-+-+ ()()()()21221221122n n n n n n +---=-+-+++-==（2）由（1）得()123212n n n n a b c n n -⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，所以()()01112333102222n n n T c c c n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()()1233331022222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得()()1133122133312463222212n n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦-=-+--⨯=-+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以()138342n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭．19．已知等比数列{}n a 的公比为2，数列{}n b 满足12b =，23b =，12n n n n n a b a b +-=．(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记n S 为数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：13n S ≤<．【答案】(1)2n n a =；1n b n =+(2)证明见解析【详解】（1）当1n =时，12112a b a b -=，又122,3b b ==，解得12a =．所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，故1222n nn a -=⨯=．则1222n n nn n b b +-=，即11n n b b +=+．所以{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，故()2111n b n n =+-⨯=+．（2）由（1）可得2n n a =，1n b n =+，所以12n n n b n a +=．则2323412222n n n S +=+++⋅⋅⋅+①，23411234122222n n n S ++=+++⋅⋅⋅+②，①-②可得122311111122111111331112222222212n n n n n n n n n S -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-+-=- ⎪⎝⎭-，所以3332n nn S +=-<．因为111432330222n n n n n n n n S S ++++++-=--+=>，所以{}n S 是递增数列．则113312n S S +≥=-=，故13n S ≤<．20．在数列{}n a 中，11a =-，()*12362,N n n a a n n n -=+-≥∈.(1)求证：数列{}3n a n +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析；23nn a n =-；(2)122(1)n n n +--+【详解】（1）()*12362,N n n a a n n n -=+-≥∈ ，∴当2n ≥时，()()11111333263133332233n n n n n n a n a n a n a n n n a n a -----+-+-+===+-++-+-，数列{}3n a n +是首项为132a +=，公比为2的等比数列，32n n a n ∴+=，23n n a n =-；（2）2322n nn n n b a n a n n n=+==-+=-数列{}n b 的前n 项和()()()()12312...222426...22n n n T b b b n =+++=-+-+-++-()()1212122222...2246...222(1)122n n n nn n n n +-+=+++-++++=-⨯=--+-．21．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}11,2n na a =是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：4n S <.【答案】(1)12n n na -=(2)证明见解析【详解】（1）因为11a =，所以122a =，因为{}2nn a 是公差为2的等差数列，所以()22212n n a n n =+-=，所以1222n n n n n a -==.（2）01211232222n n n S -++++=，①所以121112122222n n n n nS --=++++ ，②①-②则2111111122121222222212nn n n n n n n n S --+=++++-=-=-- ，所以12442n n n S -+=-<.22．已知数列{}n a 满足1224n n a a n -=-+（n ≥2，*n ∈N ），14a =．(1)求证：数列{}2-n a n 为等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)求数列(){}1nn a -的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析，22n n a n=+(2)1122,3325,33n n n n n S n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪---⎪⎩为偶数为奇数【详解】（1）∵1224n n a a n -=-+，∴()112244221n n n a n a n a n ---=-+=--⎡⎤⎣⎦，所以()12221n n a na n --=--，又122a -=，∴{}2-n a n 是首项为2，公比为2的等比数列，∴22nn a n -=，∴22n n a n =+．（2）∵()()()1221n n nn a n -=-+-，∴()()()()12222212341n nn S n ⎡⎤=-+-++-+-+-+-+-⎣⎦，当n 为偶数时，()()()()()()11212222221234212123233nn n n n S n n n n ++⎡⎤----⎣⎦=+-++-+++-++--=+⨯=+-⎡⎤⎣⎦-- ．当n 为奇数时，()()()()()()112122222123421121233nn n n S n n n n n ++⎡⎤-----⎣⎦=+-++-+++-++--=+--=-⎡⎤⎣⎦-- 53n --．综上1122,3325,33n n n n n S n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪---⎪⎩为偶数为奇数．23．已知数列{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，且满足111,2n n a a xa +==+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设14(1)nn n n nb a a +=-⋅，求数列{}n b 的前10项和10S .【答案】(1)21n a n =-(2)2021-【详解】（1）因为{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，111,2n n a a xa +==+，所以当1n =时，2122a xa x =+=+，当2n =时，()23222222a xa x x x x =+=++=++，因为3221a a a a -=-，即21x x x +=+，解得1x =±，所以2d =或0d =（舍去），所以()12121n a n n =+-=-；（2）由（1）得，()()14411(1)(1)(1)21212121n n n n n n n n b a a n n n n +⎛⎫=-⋅=-⋅=-⋅+ ⎪-+-+⎝⎭.所以101111111120113355719212121S =--++--+++=-+=- .24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n n S a =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n nS 的前n 项和n T ．【答案】(1)12n n a +=(2)3(1)22(1)8n n T n n n +=--++【详解】（1）因为24n n S a =-，所以当2n ≥时，1124n n S a --=-，两式相减，得1124(24)n n n n S S a a ---=---，整理得12n n a a -=，即2n ≥时，12n n a a -=，又当1n =时，11124S a a ==-，解得14a =，所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以11422n n n a -+=⨯=.（2）由（1）知1222424n n n S ++=⨯-=-，所以224n n n n nS +=⋅-，令22,4n n n b n c n +=⋅=-，易知，12(1)42(1)2n n n c c c n n ++++=-⨯=-+ ，设数列{}n b 的前n 项和为n K ，则34521222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ①，456321222322n n K n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，由①-②，得3456231222222n n n K n ++-=⨯+++++-⋅ ，即4133332(12)2222812n n n n n K n n -+++--=+-⋅=-⋅--，所以413332(12)22(1)2812n n n n K n n -++-=+-⋅=-⋅+-，所以32(1)(1)22(1)8n n n T K n n n n n +=-+=-⋅-++.25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且23439a a a ++=，54323a a a =+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足n n b n a =⋅，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)13n n a -=；(2)()21314n nn T -+=.【详解】（1）设数列{}n a 的公比为()0q q >，则()2314321113923a q q q a q a q a q⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，0q >，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=，即{}n a 的通项公式为13n n a -=；（2）由题可知13n n b n -=⋅，则()12210132333133n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，()31123132333133n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得：12312133333n nn T n --=+++++-⨯ ()1231133132n n nn n ---=-⨯=-，()21314n nn T -+∴=.26．已知数列{}n a 中，11a =，12n n n a a +=，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22log 3n n b a n =+，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，求证：34n S <．【答案】(1)(1)22n n na -=(2)证明见解析【详解】（1）解：因为11a =，*1()2n n na a n +=∈N ，所以*12()n n na n a +=∈N ，所以121121n n n n n aaaa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅()(1)1211212222122n n n n n -+++---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== 当1n =时，11a =满足条件，所以(1)22n n na -=；（2）因为22log 3n n b a n =+(2)n n =+，所以11111()(2)2+2n b n n n n ==-+，所以111111=(1++)23242n S nn --⋅⋅⋅+-+11111311(1)()22122212n n n n =+--=--++++，所以34n S <.27．数列{}n a 满足2113,2,21n bn n n n a a a a a +=-==+.(1)求证：{}n b 是等比数列；(2)若1n nnc b =+，求{}n c 的前n 项和为n T .【答案】(1)证明见解析(2)22.2n nn T n +=+-【详解】（1）21221,log (1),log (31)2,n bn n n a b a b =+∴=+=+= 212,n n n a a a +=+ ()2211211,n n n n a a a a +∴+=++=+212log (1)2log (1),n n a a +∴+=+1212log (1)2,log (1)n n n n b a b a +++∴==+所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）可得，2nn b =，所以12n nnc =+，设,2n nnd =设其前n 项和为n S ，则12311231,22222n n nn n S --=+++++ ①234111231,222222n n n n nS +-=+++++ ②减②得111312111*********,12222222212nn n n n n n n n S -++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭+⎢⎥⎣⎦=++++-=-=-- 所以22,2n nn S +=-所以22.2n n nn T S n n +=+=+-28．已知正数数列{}n a ，11a =，且满足()()2211102n n n n a n a a na n -----=≥．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设1n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】(1)!n a n =(2)11!n S n =-【详解】（1）∵()()2211102n n n n a n a a na n -----=≥，∴()()()1102n n n n a na a a n ---+=≥，又0n a >，∴1n n a na -=，即()12nn a n n a -=≥．又()231121123!2n n n a a aa a n n n a a a -=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=≥，且111!a ==，∴!n a n =（2）1!n n b n -=，∴10b =，()()1112!1!!n n b n n n n -==-≥-，1234n nS b b b b b ∴=++++⋅⋅⋅+()111111111011!2!2!3!3!4!1!!!n n n =+-+-+-+⋅⋅⋅+-=--又111101!S b ==-=，∴11!n S n =-.29．已知数列{}n a 、{}n b ，满足1100a =，21n n a a +=，lg n n b a =.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若22122log log log n n n n c b b b +=+++ ，求数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1)2nn b =(2)()231n n S n =+【详解】（1）解：因为21n n a a +=，11001a =>，则2211a a =>，2321a a =>，L ，以此类推可知，对任意的n *∈N ，1n a >，所以21lg lg n n a a +=，即1lg 2lg n n a a +=，12n n b b +=，又因为12b =，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以{}n b 的通项公式为1222n nn b -=⨯=.（2）解：2log n b n =，则()()()()()123112222n n n n n n c n n n n +++=++++++==，所以，()122113131n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故()211111112121132233413131n nS n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .30．已知数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，数列2n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：121112nS S S +++< ．【答案】(1)n a n =(2)证明见解析【详解】（1）因为数列2n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为1的等差数列，所以()22111nnSn n a =+-⋅=+，则()21n n S n a =+，得112n n S na --=（2n ≥），两式相减得：()121n n n a n a na -=+-，则11n n a n a n -=-，121121121121n n n n n a a a n n a a n a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=-- （2n ≥），又11a =适合上式，故n a n =．另解：由()121n n n a n a na -=+-得11n n a a n n -=-（2n ≥），故{}n an为常数列，则111n a a n ==，故n a n =．（2）由（1）得()12n n n S +=，所以()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，则12111111111212221222311n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .31．已知在等差数列{}n a 中，14724a a a ++=-，25815a a a ++=-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列(){}1nn a -的前n 项和n T ．【答案】(1)320n a n =-(2)3,22373,212n nn k T n n k ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=-⎪⎩且*N k ∈【详解】（1）若等差数列公差为d ，则258147()()39a a a a a a d ++-++==，即3d =，由1474324a a a a ++==-，则48a =-，所以{}n a 的通项公式4(4)83(4)320n a a n d n n =+-=-+-=-.（2）由题设()12341nn n T a a a a a =-+-+-+- ，当n 为偶数，则()()()2143132n n n nT a a a a a a -=-+-++-=；当n 为奇数，则()()()()2143123137332022n n n n n nT a a a a a a a n ----=-+-++--=-+=；所以3,22373,212n nn k T n n k ⎧=⎪⎪=⎨-⎪=-⎪⎩且*N k ∈.32．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,21,,2,n n n a n k a a t n k ++=-⎧=⎨+=⎩*k ∈N ，317S a =，423a a =+．(1)求1a ，t ；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)11a =，t ＝2(2)()*31,21,232,22n n n k a k n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨-⎪=⎪⎩N (3)()2*231,21,43,24n n n k S k n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩N 【详解】（1）由11,21,,2,n n n a n k a a t n k ++=-⎧=⎨+=⎩（*N k ∈）可得，211a a =+，32a a t =+，431a a =+，又317S a =，423a a =+，则()()()111111117,213,a a a t a a t a ⎧+++++=⎪⎨++=++⎪⎩解得11a =，t ＝2．（2）由11,21,2,2,n n n a n k a a n k ++=-⎧=⎨+=⎩（*k ∈N ）可得，当n 为奇数时，212123n n n n a a a a ++=+=++=+，所以数列{}n a 的奇数项是一个公差为3的等差数列，又11a =，则1131322n n n a a --=+⨯=；当n 为偶数时，211213n n n n a a a a ++=+=++=+，所以数列{}n a 的偶数项是一个公差为3的等差数列，又2112a a =+=，则2232322n n n a a --=+⨯=，则()*31,21,232,22n n n k a k n n k -⎧=-⎪⎪=∈⎨-⎪=⎪⎩N ．（3）()()2135212462n n n S a a a a a a a a -=+++++++++ 2(1)(1)1323322n n n n n n n --⎡⎤⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=．()22*2,21,,2k k n k S a n k S k S n k -=-⎧=∈⎨=⎩N ，则()2*23223,21,23,2n k k n k S k k n k⨯-⎧-=-⎪=∈⎨⎪=⎩N ，即()2*231,21,43,24n n n k S k n n k ⎧+=-⎪⎪=∈⎨⎪=⎪⎩N ．33．数列{}n a 中，11a =，且121n n a a n +=+-．(1)证明：数列{}n a n +为等比数列，并求出n a ；(2)记数列{}n b 的前n 项和为n S ．若2n n n a b S +=，求11S ．【答案】(1)证明见详解，2nn a n =-(2)1360【详解】（1）因为121n n a a n +=+-，则()()()()1212211n n n n n n a a n n a n a a nn n n a ++++++==-+++=+，且112a +=，所以数列{}n a n +是以首项为2，公比为2的等比数列，故1222n n n a n -+=⨯=，可得2n n a n =-.（2）因为22n n n n n S a b b n =+=+-，即22nn n S b n =+-，当1n =时，则1121b b =+，解得11b =；当2n ≥时，则111221n n n S b n ---=+-+，两式相减得：11221n n n n b b b --=-+-，整理得1121n n n b b --+=-；所以()()()111234511123451011S b b b b b b b b b b b b b =+++++⋅⋅⋅+=+++++⋅⋅⋅++()()()()241024681012121212222241360=+-+-+⋅⋅⋅+-=++++-=，即111360S =.34．已知数列{}n a 满足13a =，1121n n n a a a ++-=．(1)记11n n b a =-求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．【答案】(1)32n b n =-(2)412nn-【详解】（1）1121n n n a a a ++-= ，112n na a +∴=-，又11n n b a =- ，11111111111221n n n n n n nb b a a a a a ++∴====-=-------，又111112b a ==-，所以数列{}n b 是以12为首项，1-为公差的等差数列，所以数列{}n b 的通项公式为13(1)22n b n n =--=-.（2）由（1）得111113113()()2222n n b b n n n n +==-----，所以数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为12233411111n n b b b b b b b b +++++ =11111111131313*********2222222n n -+-+-++--------- 1141312122nn n =-=---.35．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n +，n S ，a 成等差数列．(1)求a 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)若()21n n b n a =-求数列{}n b 的前n 项和nT 【答案】(1)2a =-，12n n a -=，*N n ∈；(2)()3232n n T n =+-⋅【详解】（1）12n + ，n S ，a 成等差数列，122n n S a +∴=+，即22n n a S =+，当1n =时，11224a S a ==+，即122a a =+，当2n ≥时，11122222nn n n n n a aa S S ---=-=+--=，{}n a 是等比数列，11a ∴=，则212a+=，得2a =-，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*N n ∈；（2）()()121212n n n b n a n -=-=-⋅，则前n 项和0121123252(21)2n n T n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ，1232123252(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅ ，两式相减可得2112(222)(21)2n nn T n --=++++--⋅ 12(12)12(21)212n n n --=+⋅--⋅-，化简可得()3232nn T n =+-⋅．36．已知数列{}n a 和{}n b ，12a =，111n nb a -=，12n n a b +=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)求数列n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】(1)221n n n a =-，1221n n n b +=-(2)2222n n n T n n +=+-+【详解】（1）由12a =，111n nb a -=，12n n a b +=得1211n n a a +-=，整理得1111112n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而111102a -=-≠，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，公比为12的等比数列，所以111111222n nn a -⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，221nn na ∴=-，1112221nn n n b a ++∴==-.（2）121222n nn n n nn n b +-=⋅=-，设212222n n n S =+++ ，则2311122222n n nS +=+++ ，两式相减得2111111111122211222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++-=-=-- ，从而222n nn S +=-()2222222n n nn n n T S n n ++∴=-=+-+.37．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，且23331,,a a S -成等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12n n a bn a +=，数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)14n n a -=(2)13286994n n n T -+=-⨯【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，因为23331,,a a S -成等差数列，所以32321323141a a S a a a =-+=-++，因为11a =，所以324a a =，即324a q a ==，所以1114n n n a a q --==.（2）由（1）得14nn a +=，因为12n n a bn a +=，所以2422n n a b n n ==，所以2n n a b n =，即1224n n n n n b a -==；101224644424n n n T -=+++ ，1231424424644n n n T =+++ ，两式相减可得12313222224442444nn n T n -=+++++- 1211211214444nn n -⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 114212144n nn ⎛⎫- ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭8244833nnn =--⨯863483nn +=-⨯；所以13286994n n n T -+=-⨯.38．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a >，且满足()241n n S a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设14nn n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】(1)21n a n =-(2)22221n n nT n +=+【详解】（1）因为()241n n S a =+，当2n ≥时，()21141n n S a --=+，两式作差得()()221121241212n n n n n n n a a a a a a a ---=+-=+--+，即221122n n n n a a a a --+=-，又0n a >，所以，当2n ≥时，12n n a a --=，又当1n =时，()21141a a =+，解得11a =，可知数列{}n a 是以首项为1，公差为2的等差数列，所以1(1)2n a n =+-⨯，即21n a n =-（2）由（1）知2(121)2n n n S n +-==，所以221444111111()(21)(21)(21)(21)22121n n n n S n n b a a n n n n n n +-+====+--+-+-+，22111111211(2131112)(1235)2112212n n n n n n T b b n n n n b =+++=-+-+-++=+-=+++-+ .39．已知数列{}n a 满足：()1113,2n n n a a a n n++==+.(1)证明：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)()2124n n T n +=-+【详解】（1）设1n n a b n =+，则1111,41n n ab b n ++=+=+，且0n b ≠，因为121n n a a nn n ++=+，所以112121211n nn n nn a a b n n a a b nn+++++===++，即{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，则数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.（2）由（1）知11422n n n b -+=⨯=，则12n n a n n +=⋅-，即12n n c n +=⋅，则23112222n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，()212222122n n n T n n ++=⨯++-⨯+⨯ ，两式相减得：()()1223224121242222212n n n n n n T n n n ++++-=-=----=+++-⨯⨯ ，所以()2124n n T n +=-+.40．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中24n n a a +-=，2224(1)(1)S a +=+.(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)若134n n n b a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)21n a n =+，()2n S n n =+；(2)()3364294nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【详解】（1）设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则224n n a a d +-==，则2d =，因为2224(1)(1)S a +=+，所以()()2114233a a +=+，。

专题02 函数与导数小题部分【训练目标】1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法；2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式；4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质；5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系；6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题；8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。

【温馨小提示】本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。

【名校试题荟萃】1、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2019届高三上学期12月三校联考）已知函数，若()1f x =-，则x = ．【答案】12【解析】问题等价于；，无解。

2、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2019届高三上学期12月三校联考）已知函数1()1x f x x +=-的图像在点()2,(2)f 处的切线与直线10ax y ++=平行，则实数a =.A 2 .B 12 .C 12- D ．2- 【答案】A【解析】由于，根据导数的几何意义及两直线平行的条件可知。

3、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）函数的图象可能是( )【答案】D【解析】先由判断函数的奇偶性可知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A,B ；当，排除C ，故选D 。

4、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记，， ()0.52c f =，则（ ）A ． a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． b a c >>【答案】B5、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）已知定义域为),0(+∞，为的导函数，且满足，则不等式的解集是( )A ． )2,0(B ． ),2(+∞C ． )3,2(D ． ),3(+∞ 【答案】D【解析】构造函数，求导结合可知函数()g x 在定义域),0(+∞为减函数，不等式可化为，等价于，解得结果为),3(+∞。

2014-2019年高考数学真题分类汇编 专题7：数列（基础解答题）1．（2014•新课标Ⅱ理）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+． （Ⅰ）证明1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1211132n a a a ++⋯+<．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即1n nb b +=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）将1na 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式． 【解答】证明（Ⅰ）1111313()2223111222n n n n n n a a a a a a +++++===+++， 113022a +=≠， ∴数列1{}2n a +是以首项为32，公比为3的等比数列； 11333222n n n a -∴+=⨯=，即312n n a -=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知1231n n a =-，当2n …时，13133n n n -->-，∴11122131333n n n n n a --=<=--， ∴当1n =时，11312a =<成立， 当2n …时，211211()11111131331(1)133323213nn n n a a a --++⋯+<+++⋯+==-<-． ∴对n N +∈时，1211132n a a a ++⋯+<． 【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．2．（2014•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}2nna 的前n 项和． 【考点】等差数列的通项公式；数列的求和【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出2a ，4a 的值，从而解出通项； （2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程2560x x -+=的根为2，3．又{}n a 是递增的等差数列， 故22a =，43a =，可得21d =，12d =， 故112(2)122n a n n =+-⨯=+， （2）设数列{}2nna 的前n 项和为n S ， 3112123122222n n n n na a a a a S --=+++⋯++，① 311223411222222n n n n n a a a a a S -+=+++⋯++，② ①-②得1123411311(1)111111242()1222222222212n n n n n n n a a a S d -++-=++++⋯+-=+⨯--， 解得11131124(1)222222n n n n n n S -++++=+--=-． 【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．3．（2014•新课标Ⅰ理）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数． （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由． 【考点】等差数列的性质；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，相减即可得出；（Ⅱ）假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ．可得2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，2d λ=．得到222()2442n S n n λλλλλ=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，121()n n n n a a a a λ+++∴-= 10n a +≠，2n n a a λ+∴-=．（Ⅱ）解：假设存在λ，使得{}n a 为等差数列，设公差为d ． 则2211()()2n n n n n n a a a a a a d λ++++=-=-+-=，∴2d λ=．∴(1)12n n a λ-=+，112n na λ+=+，222(1)1[1][1]()222442n n n S n n λλλλλλλ-∴=+++=+-+-，根据{}n a 为等差数列的充要条件是0202λλ≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得4λ=． 此时可得2n S n =，21n a n =-． 因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n 项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题． 4．（2014•大纲版文）数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式；数列递推式【分析】（Ⅰ）将2122n n n a a a ++=-+变形为：2112n n n n a a a a +++-=-+，再由条件得12n n b b +=+，根据条件求出1b ，由等差数列的定义证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出n b ，代入1n n n b a a +=-并令n 从1开始取值，依次得(1)n -个式子，然后相加，利用等差数列的前n 项和公式求出{}n a 的通项公式n a ． 【解答】解：（Ⅰ）由2122n n n a a a ++=-+得， 2112n n n n a a a a +++-=-+，由1n n n b a a +=-得，12n n b b +=+，即12n n b b +-=， 又1211b a a =-=，所以{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n b n n =+-=-， 由1n n n b a a +=-得，121n n a a n +-=-，则211a a -=，323a a -=，435a a -=，⋯，12(1)1n n a a n --=--， 所以，11352(1)1n a a n -=+++⋯+-- 2(1)(123)(1)2n n n -+-==-，又11a =，所以{}n a 的通项公式22(1)122n a n n n =-+=-+．【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．5．（2014•大纲版理）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知113a =，2a 为整数，且4n S S …． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过4n S S …得40a …，50a …，利用113a =、2a 为整数可得4d =-，进而可得结论； （2）通过133n a n =-，分离分母可得111()3133103n b n n=---，并项相加即可．【解答】解：（1）在等差数列{}n a 中，由4n S S …得： 40a …，50a …，又113a =，∴13301340d d +⎧⎨+⎩……，解得131334d --剟，2a 为整数，4d ∴=-，{}n a ∴的通项为：174n a n =-；（2）174n a n =-， 111111()(174)(214)4417421n n n b a a n n n n +∴===------， 于是12n n T b b b =++⋯⋯+1111111[()()()]41317913417421n n =--+-+⋯⋯+-------111()441717n =----17(174)n n =-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题．6．（2014•北京文）已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -为等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论； （2）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列的和． 【解答】解：（1）{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =， 3312d ∴+=，解得3d =， 3(1)33n a n n ∴=+-⨯=．设等比数列{}n n b a -的公比为q ，则 344112012843b a q b a --===--，2q ∴=， 1111()2n n n n b a b a q --∴-=-=，132(1n n b n n -∴=+=，2，)⋯． （2）由（1）知132(1n n b n n -=+=，2，)⋯． 数列{}n a 的前n 项和为3(1)2n n +，数列1{2}n -的前n 项和为1212112nn -⨯=--，∴数列{}n b 的前n 项和为3(1)212n n n ++-．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．7．（2014•安徽文）数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈． （Ⅰ）证明：数列{}n an是等差数列；（Ⅱ）设3n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【考点】等比数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）将1(1)(1)n n na n a n n +=+++的两边同除以(1)n n +得111n na a n n+=++，由等差数列的定义得证．（Ⅱ）由（Ⅰ）求出33nn n n b a n ==，利用错位相减求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】证明（Ⅰ）1(1)(1)n n na n a n n +=+++，∴111n n a a n n +=++，∴111n n a an n+-=+， ∴数列{}na n是以1为首项，以1为公差的等差数列； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(1)1n a n n n=+-=，∴2n a n =， 33nn n n b a n ==，∴231132333(1)33n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+①23413132333(1)33n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+② ①-②得2323333n S -=+++⋯+13n n n +-1133313n n n ++-=--1123322n n +-=- ∴1213344n n n S +-=+【点评】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方法：错位相减法．求和的关键是求出通项选方法．8．（2014•福建文）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =． （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的n a 代入3log n n b a =，得到数列{}n b 的通项公式，由此得到数列{}n b 是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ， 由23a =，581a =，得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．∴13n n a -=； （Ⅱ）13n n a -=，3log n n b a =，∴1331n n b log n -==-．则数列{}n b 的首项为10b =， 由11(2)1(2)n n b b n n n --=---=…， 可知数列{}n b 是以1为公差的等差数列．∴1(1)(1)22n n n d n n S nb --=+=． 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题． 9．（2014•湖北文）已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d ，则数列的通项公式可得． （Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出n S 根据60800n S n >+，解不等式根据不等式的解集来判断． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，依题意，2，2d +，24d +成比数列，故有2(2)2(24)d d +=+， 化简得240d d -=，解得0d =或4， 当0d =时，2n a =，当4d =时，2(1)442n a n n =+-=-．（Ⅱ）当2n a =时，2n S n =，显然260800n n <+， 此时不存在正整数n ，使得60800n S n >+成立， 当42n a n =-时，2[2(42)]22n n n S n +-==，令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >，或10n <-（舍去），此时存在正整数n ，使得60800n S n >+成立，n 的最小值为41， 综上，当2n a =时，不存在满足题意的正整数n ， 当42n a n =-时，存在满足题意的正整数n ，最小值为41【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．10．（2014•湖南文）已知数列{}n a 的前n 项和22n n n S +=，*n N ∈．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2(1)n a n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）利用公式法即可求得； （Ⅱ）利用数列分组求和即可得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，111a s ==，当2n …时，221(1)(1)22n n n n n n n a s s n -+-+-=-=-=，∴数列{}n a 的通项公式是n a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)n n n b n =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则1222(222)(12342)n n T n =++⋯++-+-+-⋯+2212(12)2212n n n n +-=+=+--．∴数列{}n b 的前2n 项和为2122n n ++-．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法-公式法及数列求和的方法-分组求和法，考查学生的运算能力，属中档题．11．（2014•江西文）已知数列{}n a 的前n 项和232n n nS -=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意的1n >，都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）利用“当2n …时，1n n n a S S -=-；当1n =时，11a S =”即可得出；（2）对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．利用等比数列的定义可得21nm a a a =，即2(32)1(32)n m -=⨯-，解出m 为正整数即可．【解答】（1）解：232n n nS -=，*n N ∈．∴当2n …时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，(*)当1n =时，21131112a S ⨯-===．因此当1n =时，(*)也成立．∴数列{}n a 的通项公式32n a n =-．（2）证明：对任意的1n >，假设都存在*m N ∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．则21nm a a a =，2(32)1(32)n m ∴-=⨯-， 化为2342m n n =-+， 1n >，22223423()133m n n n ∴=-+=-+>，因此对任意的1n >，都存在2*342m n n N =-+∈，使得1a ，n a ，m a 成等比数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列与等比数列的通项公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了反证法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（2014•江西理）已知首项是1的两个数列{}n a ，{}(0n n b b ≠，*)n N ∈满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=． （1）令nn na b =ð，求数列{}n ð的通项公式； （2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð，可得数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，即可求数列{}n ð的通项公式； （2）用错位相减法来求和．【解答】解：（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，nn na b =ð， 120n n c +∴-+=ð，12n n c +∴-=ð，首项是1的两个数列{}n a ，{}n b ，∴数列{}n ð是以1为首项，2为公差的等差数列，21n n ∴=-ð；（2）13n n b -=，nn na b =ð，1(21)3n n a n -∴=-， 0111333(21)3n n S n -∴=⨯+⨯+⋯+-⨯，231333(21)3n n S n ∴=⨯+⨯+⋯+-⨯， 11212(33)(21)3n n n S n -∴-=++⋯+--， (1)31n n S n ∴=-+．【点评】本题为等差等比数列的综合应用，用好错位相减法是解决问题的关键，属中档题．13．（2014•浙江文）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，2336S S =． （Ⅰ）求d 及n S ；（Ⅱ）求m ，*(,)k m k N ∈的值，使得1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=． 【考点】等差数列的前n 项和；数列的求和【分析】（Ⅰ）根据等差数列通项公式和前n 项和公式，把条件转化为关于公差d 的二次方程求解，注意d 的范围对方程的根进行取舍；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出等差数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的前n 项和公式，对1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=化简，列出关于m 、k 的方程，再由m ，*k N ∈进行分类讨论，求出符合条件的m 、k 的值．【解答】解：（Ⅰ）由11a =，2336S S =得， 12123()()36a a a a a +++=，即(2)(33)36d d ++=，化为23100d d +-=， 解得2d =或5-， 又公差0d >，则2d =， 所以2*1(1)()2n n n S na d n n N -=+=∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，12(1)21n a n n =+-=-， 由1265m m m m k a a a a ++++++⋯+=得，(1)()652m m k k a a +++=，即(1)(21)65k m k ++-=，又m ，*k N ∈，则(1)(21)513k m k ++-=⨯，或(1)(21)165k m k ++-=⨯， 下面分类求解：当15k +=时，2113m k +-=，解得4k =，5m =；当113k +=时，215m k +-=，解得12k =，3m =-，故舍去； 当11k +=时，2165m k +-=，解得0k =，故舍去；当165k +=时，211m k +-=，解得64k =，31m =-，故舍去； 综上得，4k =，5m =．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，及分类讨论思想和方程思想，难度较大，考查了分析问题和解决问题的能力．14．（2014•重庆文）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比为q 满足244(1)0q a q S -++=．求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出4a 和4S ，代入244(1)0q a q S -++=求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-．2(121)13(21)2n n n S n n +-=++⋯+-==； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，47a =，416S =．244(1)0q a q S -++=，即28160q q -+=，2(4)0q ∴-=，即4q =． 又{}n b 是首项为2的等比数列，∴11211242n n n n b b q ---===． 1(1)2(41)13n nn b q T q -==--．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．15．（2015•新课标Ⅰ理）n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2243nn n a a S +=+ ()I 求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式： （Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和． 【解答】解：()I 由2243n n n a a S +=+，可知2111243n n n a a S ++++=+两式相减得221112()4n n n n n a a a a a +++-+-=，即2211112()()()n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，0n a >，12n n a a +∴-=，2111243a a a +=+，11a ∴=-（舍)或13a =， 则{}n a 是首项为3，公差2d =的等差数列， {}n a ∴的通项公式32(1)21:n a n n =+-=+（Ⅱ）21n a n =+， 111111()(21)(23)22123n n n b a a n n n n +∴===-++++， ∴数列{}n b 的前n 项和1111111111()()23557212323233(23)n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=++++． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键． 16．（2015•北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -= （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【考点】等差数列的性质【分析】()I 由432a a -=，可求公差d ，然后由1210a a +=，可求1a ，结合等差数列的通项公式可求 ()II 由238b a ==，3716b a ==，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求6b ，结合()I 可求【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ． 432a a -=，所以2d =1210a a +=，所以1210a d +=14a ∴=， 42(1)22(1n a n n n ∴=+-=+=，2，)⋯()II 设等比数列{}n b 的公比为q ， 238b a ==，3716b a ==，∴121816b q b q =⎧⎨=⎩2q ∴=，14b =∴61642128b -=⨯=，而12822n =+63n ∴=6b ∴与数列{}n a 中的第63项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易．17．（2015•天津文）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2332b b a +=，5237a b -=．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n a b =ð，*n N ∈，求数列{}n ð的前n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（Ⅰ）设出数列{}n a 的公比和数列{}n b 的公差，由题意列出关于q ，d 的方程组，求解方程组得到q ，d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到1(21)2n n c n -=-，然后利用错位相减法求得数列{}n ð的前n 项和． 【解答】解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意，0q >， 由已知有24232310q d q d ⎧-=⎨-=⎩，消去d 整理得：42280q q --=．0q >，解得2q =，2d ∴=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，*n N ∈；数列{}n b 的通项公式为21n b n =-，*n N ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）有1(21)2n n c n -=-， 设{}n ð的前n 项和为n S ，则01221123252(23)2(21)2n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯， 12312123252(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+-⨯，两式作差得：2311222(21)223(21)2(23)23n n n n n n S n n n +-=+++⋯+--⨯=---⨯=--⨯-．∴*(23)23,n n S n n N =-+∈．【点评】本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．18．（2015•天津理）已知数列{}n a 满足2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列（1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设2221log nn n a b a -=，*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和． 【考点】数列的求和【分析】（1）通过2n n a qa +=、1a 、2a ，可得3a 、5a 、4a ，利用23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知12n n nb -=，*n N ∈，写出数列{}n b 的前n 项和n T 、2n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）2(n n a qa q +=为实数，且1)q ≠，*n N ∈，11a =，22a =， 3a q ∴=，25a q =，42a q =，又23a a +，34a a +，45a a +成等差数列，22323q q q ∴⨯=++， 即2320q q -+=，解得2q =或1q =（舍)，1222,2,n n n n a n -⎧⎪∴=⎨⎪⎩为奇数为偶数；（2）由（1）知2221121log 222n n n n n n a log nb a ---===，*n N ∈， 记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则2321111111234(1)22222n n n T n n --=++++⋯+-+， 233211111222345(1)22222n n n T n n --∴=+++++⋯+-+， 两式相减，得232111111322222n n n T n --=++++⋯+- 2111[1()]12231212n n n ---=+--21113122n n n --=+--1242n n -+=-．【点评】本题考查求数列的通项与前n 项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（2015•福建文）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋯+的值． 【考点】等差数列的性质【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，利用分组求和求12310b b b b +++⋯+的值． 【解答】解：（Ⅰ）设公差为d ，则1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩，所以3(1)2n a n n =+-=+； （Ⅱ）222n a n n b n n -=+=+，所以21012310(21)(22)(210)b b b b +++⋯+=++++⋯++210(222)(1210)=++⋯++++⋯+102(12)(110)102101122-+⨯=+=-．【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键． 20．（2015•广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*n N ∈．已知11a =，232a =，354a =，且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：11{}2n n a a +-为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【考点】数列递推式【分析】（1）直接在数列递推式中取2n =，求得478a =； （2）由211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，变形得到2144(2)n n n a a a n +++=…，进一步得到211112122n n n n a a a a +++-=-，由此可得数列11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列；（3）由11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，可得1111()22n n n a a -+-=．进一步得到11411()()22n n n n a a ++-=，说明{}1()2n n a 是以1212a =为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{}n a 的通项公式．【解答】（1）解：当2n =时，4231458S S S S +=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++， 解得：478a =； （2）证明：211458(2)n n n n S S S S n ++-+=+…，21114444(2)n n n n n n S S S S S S n ++-+∴-+-=-…， 即2144(2)n n n a a a n +++=…，3125441644a a a +=⨯+==，2144n n n a a a ++∴+=．2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----．∴数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列； （3）解：由（2）知，11{}2n n a a +-是以2112a a -为首项，公比为12的等比数列，∴1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a++-=， {}1()2n n a ∴是以1212a=为首项，4为公差的等差数列， ∴2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯， ∴数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．21．（2015•广东理）数列{}n a 满足：1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ； 【考点】数列的求和；数列与不等式的综合 【分析】（1）利用数列的递推关系即可求3a 的值；（2）利用作差法求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的前n 项和公式即可求数列{}n a 的前n 项和n T ； （3）利用构造法，结合裂项法进行求解即可证明不等式．【解答】解：（1）1212242n n n a a na -+++⋯=-，n N +∈． 1431a ∴=-=，2212212422a -++=-=， 解得212a =， 1212242n n n a a na -+++⋯+=-，n N +∈． 121212(1)42n n n a a n a --+∴++⋯+-=-，n N +∈． 两式相减得121214(4)222n n n n n n nna ---++=---=，2n …， 则112n n a -=，2n …， 当1n =时，11a =也满足，112n n a -∴=，1n …， 则321124a ==； （2）112n n a -=，1n …，∴数列{}n a 是公比12q =， 则数列{}n a 的前n 项和111()222112nn n T --==--． 【点评】本题主要考查数列通项公式以及前n 项和的计算，以及数列和不等式的综合，利用作差法求出数列的通项公式是解决本题的关键．考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．22．（2015•湖北文理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式 （2）当1d >时，记nn na b =ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当1d >时，由（1）知1212n n n --=ð，写出n T 、12n T 的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）设1a a =，由题意可得10451002a d ad +=⎧⎨=⎩，解得12a d =⎧⎨=⎩，或929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，当12a d =⎧⎨=⎩时，21n a n =-，12n nb -=； 当929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩时，1(279)9n a n =+，129()9n n b -=；（2）当1d >时，由（1）知21n a n =-，12n n b -=， 1212n n n n a n b --∴==ð， 23411111113579(21)22222n n T n -∴=+++++⋯+-， ∴234111111111357(23)(21)2222222n n n T n n -=++++⋯+-+-， ∴23421111111232(21)322222222n n n nn T n -+=+++++⋯+--=-， 12362n n n T -+∴=-． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．23．（2015•湖南文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，22a =，2133n n n a S S ++=-+，*n N ∈， （Ⅰ）证明23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ． 【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）当2n …时，通过2133n n n a S S ++=-+与1133n n n a S S +-=-+作差，然后验证当1n =时命题也成立即可；（Ⅱ）通过()I 写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可． 【解答】（Ⅰ）证明：当2n …时，由2133n n n a S S ++=-+， 可得1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-， 23n n a a +∴=，当1n =时，有3123331(12)33a S S =-+=⨯-++=， 313a a ∴=，命题也成立，综上所述：23n n a a +=；（Ⅱ）解：由()I 可得11211112233323k k k k k ka a a a -----⎧=⨯=⎪⎨=⨯=⨯⎪⎩，其中k 是任意正整数， 211234232221()()()k k k k S a a a a a a a ----∴=++++⋯+++2113333k k --=++⋯++113(13)313k k ---=+-153322k -=⨯-，111221253333232222k k k k k k S S a +---=+=⨯-+⨯=-，综上所述，1222533,2233,22n n n n S n -+⎧⨯-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数．【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 24．（2015•山东文）已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和 【分析】（1）通过对11n n n a a +=ð分离分母，并项相加并利用数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +即得首项和公差，进而可得结论；（2）通过4n n b n =，写出n T 、4n T 的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公式即得结论． 【解答】解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a 、公差为d ，则10a >， 1(1)n a a n d ∴=+-，11n a a nd +=+，令11n n n a a +=ð，则11111111[][(1)]()(1)n a n d a nd d a n d a nd==-+-++-+ð，1211111111111111[]2(1)n n c c c d a a d a d a d a n d a nd-∴++⋯++=-+-+⋯+-++++-+ð 11111[]d a a nd=-+11()n a a nd =+211n a a dn =+， 又数列11{}n n a a +的前n 项和为21nn +，∴21112a a d ⎧=⎪⎨=⎪⎩，11a ∴=或1-（舍)，2d =，12(1)21n a n n ∴=+-=-；（2）由（1）知21(1)2(211)24n a n n n n b a n n -=+=-+=，121214244n n n T b b b n ∴=++⋯+=++⋯+， 23141424(1)44n n n T n n +∴=++⋯+-+， 两式相减，得121113434444433n n n n n T n ++--=++⋯+-=-， 1(31)449n n n T +-+∴=． 【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．25．（2015•山东理）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n n S =+．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b ，满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）利用233n n S =+，可求得13a =；当1n >时，11233n n S --=+，两式相减1222n n n a S S -=-，可求得13n n a -=，从而可得{}n a 的通项公式；（Ⅱ）依题意，3log n n n a b a =，可得113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，于是可求得1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，利用错位相减法可求得{}n b 的前n 项和n T ．【解答】解：（Ⅰ）因为233n n S =+，所以112336a =+=，故13a =， 当1n >时，11233n n S --=+，此时，1112223323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，即13n n a -=， 所以13,13, 1.n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ）因为3log n n n a b a =，所以113b =，当1n >时，133log 3n n b -=11(1)3n n n --=-⨯，所以1113T b ==；当1n >时，121121(1323(1)3)3n n n T b b b n ---=++⋯+=+⨯+⨯+⋯+-⨯，所以012231(132333(1)3)n n T n ---=+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得：10122111221313632(3333(1)3)(1)33313623n n n nn nn T n n --------+=++++⋯+--⨯=+--⨯=--⨯， 所以13631243n nn T +=-⨯，经检验，1n =时也适合，综上可得13631243n nn T +=-⨯． 【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．26．（2015•四川文）设数列{}(1n a n =，2，3)⋯的前n 项和n S ，满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n 项和【分析】（Ⅰ）由条件n S 满足12n n S a a =-，求得数列{}n a 为等比数列，且公比2q =；再根据1a ，21a +，3a 成等差数列，求得首项的值，可得数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）由于112n n a =，利用等比数列的前n 项和公式求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有 1122(2)n n n n n a S S a a n --=-=-…，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==． 又因为1a ，21a +，3a 成等差数列，即1322(1)a a a +=+ 所以11142(21)a a a +=+，解得：12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故2n n a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）得112n n a =，所以11(1)1111122112482212n n n nT -=+++⋯+==--． 【点评】本题主要考查数列的前n 项和与第n 项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n 项和公式，属于中档题．27．（2015•四川理）设数列{}(1n a n =，2，3，)⋯的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且1a ，21a +，3a 成等差数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列1{}n a 的前n 项和为n T ，求使得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值．【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到12(2)n n a a n -=…，再由已知1a ，21a +，3a 成等差数列求出数列首项，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则其通项公式可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列1{}n a 的通项公式，再由等比数列的前n 项和求得n T ，结合1|1|1000n T -<求解指数不等式得n 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知12n n S a a =-，有1122n n n n n a S S a a --=-=- (2)n …，即12(2)n n a a n -=…，从而212a a =，32124a a a ==， 又1a ，21a +，3a 成等差数列，11142(21)a a a ∴+=+，解得：12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：112n n a =， ∴211[1()]11112211222212n n n nT -=++⋯+==--． 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n >． 9102512100010242=<<=，10n ∴…．于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10．【点评】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．28．（2015•浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，*12()n n a a n N +=∈，*12311111()23n n b b b b b n N n++++⋯+=-∈（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ． 【考点】数列的求和【分析】（Ⅰ）直接由12a =，12n n a a +=，可得数列{}n a 为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{}n a 的通项公式；再由11b =，1231111123n n b b b b b n++++⋯+=-，取1n =求得22b =，当2n …时，得另一递推式，作差得到11n n n b b b n +=-，整理得数列{}n b n为常数列，由此可得{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出2n n n a b n =，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ． 【解答】解：（Ⅰ）由12a =，12n n a a +=，得*2()n n a n N =∈． 由题意知，当1n =时，121b b =-，故22b =，当2n …时，12311111231n n b b b b b n -+++⋯+=--，和原递推式作差得，11n n n b b b n+=-，整理得：11n n b b n n +=+，∴*()n b n n N =∈；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n n a b n =， 因此23222322n n T n =+++⋯+23412222322n n T n +=+++⋯+， 两式作差得：2112(12)2222212n nn n n T n n ++--=++⋯+-=--，1*(1)22()n n T n n N +=-+∈．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．29．（2015•重庆文）已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，由32a =，前3项和392S =．可得122a d +=，19332a d +=，解得1a ，d ．即可得出．11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得q ．利用求和公式即可得出．【解答】解：()I 设等差数列{}n a 的公差为d ，32a =，前3项和392S =． 122a d ∴+=，19332a d +=，解得11a =，12d =． 111(1)22n n a n +∴=+-=． 11()1II b a ==，4158b a ==，可得等比数列{}n b 的公比q 满足38q =，解得2q =．{}n b ∴前n 项和212121n nn T -==--． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．30．（2015•安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【考点】数列的求和【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{}n a 的通项公式； （2）求出11n n n n a b S S ++=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）数列{}n a 是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =． 149a a ∴+=，14238a a a a ==．解得11a =，48a =或18a =，41a =（舍)， 解得2q =，即数列{}n a 的通项公式12n n a -=； （2）1(1)211n n n a q S q -==--， 1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-∴===-，∴数列{}n b 的前n 项和11223111111111111121n n n n n T S S S S S S S S +++=-+-+⋯+-=-=--． 【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．31．（2016•新课标Ⅰ文）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n b 的前n 项和． 【考点】数列递推式【分析】（Ⅰ）令1n =，可得12a =，结合{}n a 是公差为3的等差数列，可得{}n a 的通项公式； （Ⅱ）由（1）可得：数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，进而可得：{}n b 的前n 项和．【解答】解：（Ⅰ）11n n n n a b b nb +++=． 当1n =时，1221a b b b +=． 11b =，213b =，12a ∴=，又{}n a 是公差为3的等差数列， 31n a n ∴=-，（Ⅱ）由()I 知：11(31)n n n n b b nb ++-+=． 即13n n b b +=．即数列{}n b 是以1为首项，以13为公比的等比数列，{}n b ∴的前n 项和111()3313(13)1222313nn n n S ---==-=--． 【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n 项和公式，难度中档． 32．（2016•新课标Ⅱ文）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=． 【考点】等差数列的性质；等差数列的通项公式【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知构造关于首项和公差方程组，解得答案； （Ⅱ）根据[]n n b a =，列出数列{}n b 的前10项，相加可得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===， 452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，等差数列的性质，难度中档．33．（2016•新课标Ⅱ理）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，记[]n n b lga =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[99]1lg =． （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 【考点】等差数列的性质；数列的求和【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{}n b 的前1000项和．【解答】解：（Ⅰ）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =，4728a =． 可得44a =，则公差1d =． n a n =，[]n b lgn =，则1[1]0b lg ==， 11[11]1b lg ==， 101[101]2b lg ==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：12390b b b b ===⋯==，101112991b b b b ===⋯==． 1001011021039992b b b b b ====⋯==，10,003b =．数列{}n b 的前1000项和为：90901900231893⨯+⨯+⨯+=．【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．34．（2016•新课标Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20nn n n a a a a ++---=． （1）求2a ，3a ；（2）求{}n a 的通项公式． 【考点】数列递推式【分析】（1）根据题意，由数列的递推公式，令1n =可得21212(21)20a a a a ---=，将11a =代入可得2a 的值，进而令2n =可得22323(21)20a a a a ---=，将212a =代入计算可得3a 的值，即可得答案； （2）根据题意，将211(21)20n n n n a a a a ++---=变形可得11(2)()0n n n n a a a a ++-+=，进而分析可得12n n a a +=或1n n a a +=-，结合数列各项为正可得12n n a a +=，结合等比数列的性质可得{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 当1n =时，有21212(21)20a a a a ---=， 而11a =，则有221(21)20a a ---=，解可得212a =， 当2n =时，有22323(21)20a a a a ---=， 又由212a =，解可得314a =， 故212a =，314a =； （2）根据题意，211(21)20nn n n a a a a ++---=， 变形可得1(2)(1)0n n n a a a +-+=，即有12n n a a +=或1n a =-， 又由数列{}n a 各项都为正数，则有12n n a a +=， 故数列{}n a 是首项为11a =，公比为12的等比数列，则11111()()22n n n a --=⨯=， 故11()2n n a -=．【点评】本题考查数列的递推公式，关键是转化思路，分析得到n a 与1n a +的关系． 35．（2016•新课标Ⅲ理）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠． （1）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）若53132S =，求λ． 【考点】等比数列的性质；数列递推式【分析】（1）根据数列通项公式与前n 项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．（2）根据条件建立方程关系进行求解就可． 【解答】解：（1）1n n S a λ=+，0λ≠． 0n a ∴≠．当2n …时，11111n n n n n n n a S S a a a a λλλλ---=-=+--=-， 即1(1)n n a a λλ--=，0λ≠，0n a ≠．10λ∴-≠．即1λ≠，即11n n a a λλ-=-，(2)n …， {}n a ∴是等比数列，公比1q λλ=-，当1n =时，1111S a a λ=+=， 即111a λ=-， 11()11n n a λλλ-∴=--． （2）若53132S =， 则若451311[()]1132S λλλλ=+=--， 即5311()113232λλ=-=--， 则112λλ=--，得1λ=-． 【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据2n …时，1n n n a S S -=-的关系进行递推是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．36．（2016•天津文）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为*()n S n N ∈，且123112a a a -=，663S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n nb -的前2n 项和． 【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q ，利用求和公式解出1a ，得出通项公式； （2）利用对数的运算性质求出n b ，使用分项求和法和平方差公式计算． 【解答】解：（1）设{}n a 的公比为q ，则2111112a a q a q -=，即2121q q -=，解得2q =或1q =-．若1q =-，则60S =，与663S =矛盾，不符合题意．2q ∴=， 616(12)6312a S -∴==-，11a ∴=．12n n a -∴=．（2）n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，221211(log log )(log 222n n n b a a +∴=+=12log 2n -+1)2n n =-．11n n b b +∴-=． {}n b ∴是以12为首项，以1为公差的等差数列． 设2{(1)}n nb -的前2n 项和为n T ，则 2222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋯+-+1234212n n b b b b b b -=+++⋯++12112222222nn b b n n +-+==22n =． 【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．37．（2016•山东文）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a b ++=+ð，求数列{}n ð的前n 项和n T ．【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（Ⅰ）求出数列{}n a 的通项公式，再求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求出数列{}n ð的通项，利用错位相减法求数列{}n ð的前n 项和n T ． 【解答】解：（Ⅰ）238n S n n =+，2n ∴…时，165n n n a S S n -=-=+，。

专题08 数列大题部分【训练目标】1、 理解并会运用数列的函数特性；2、 掌握等差数列，等比数列的通项公式，求和公式及性质；3、 掌握根据递推公式求通项公式的方法；4、 掌握常用的求和方法；5、 掌握数列中简单的放缩法证明不等式。

【温馨小提示】高考中一般有一道小题，一道大题，小题侧重于考等差数列与等比数列的性质，熟练的灵活的使用数列的性质会大大减少计算量；大题则侧重于考查根据递推公式求通项公式，求和的方法。

总之，此类题目难度中等，属于必拿分题。

【名校试题荟萃】1、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设数列{}n a 的前n 项和，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求使得成立的n 的最小值.【答案】（1）2nn a = （2）10（2）由（1）可得112nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，由，即21000n>，因为，所以10n ≥，于是使得成立的n 的最小值为10.2、（宁夏长庆高级中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试卷）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）。

（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ； （2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}n na b 的前n 项和n T .【答案】（1） （2）（2）由函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线方程为所以切线在x 轴上的截距为21ln 2a -，从而，故22a =从而n a n =，2n n b =，2n n n a n b =所以故。

3、（辽宁省辽河油田第二高级中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知10a ≠，，n *∈N ．（1）求1a ，2a ；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n na 的前n 项和． 【答案】（1）1，2 （2）12-=n n a （3）（3）由（2）知12-=n n n na ，记其前n 项和为n T ，于是①②①-②得从而．4、（湖南省浏阳一中、株洲二中等湘东六校2019届高三12月联考数学（理）试题）已知数列}{n a 的前n 项 和n S 满足，且11=a 。

压轴题07数列的通项、求和及综合应用数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考向一：数列通项、求和问题考向二：数列性质的综合问题考向三：实际应用中的数列问题考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）（2n ≥，n *∈N ）不能判断数列{}n a 为等差数列，需要补充证明21a a d -=；2、数列{}n a 满足212n n n a a a +++=()*n ∈N ，则{}n a 是等差数列；3、数列{}n b 满足1n n b qb +=()*n ∈N ，q 为非零常数，且10b ≠，则{}n b 为等比数列；4、在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,n n S n S S n n - =⎧⎨-∈⎩N≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．5、遇到形如1()n n a a f n +-=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；（2）形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设n n n a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11n n n n qa pa a a ++-=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n nq pa a +-=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +-=，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．81k=，1111()n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（3）1111(2)22n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3n n n n n n n n ++--++=．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a +=+=．在等比数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a ==．12、前n 项和与积的性质（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．①n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，公差为2n d ．②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，公差为2d ．③若项数为偶数2k ，则 S S kd -=奇偶，1k kS a S a +=偶奇．若项数为奇数21k +，则1 k S S a +-=奇偶，1S k S k+=奇偶．（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为.n S ①当1q ≠-时，n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等比数列，公比为.n q ②相邻n 项积n T ，2n n T T ，32n nT T ，…也成等比数列，公比为()nn q 2n q =．③若项数为偶数2k ，则()2111k a q S S q--=+奇偶，1S S q=奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且等差数列{}n a 的公差为d ，λ，μ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ ()*,k m ∈N 也是等差数列，公差为kd ．②数列{}n a λμ+，{}n n a b λμ±也是等差数列，而{}na λ是等比数列．（2）设数列{}n a 和{}n b 均是等比数列，且等比数列{}n a 的公比为q ，λ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ 也是等比数列，公比为k q ．②数列{}(0)n a λλ≠，(0)n a λλ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，{}n a ，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}mn a也是等比数列，而{}log a n a ()010n a a a >≠>，，是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法1：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a -+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小．一、单选题1．（2023·上海闵行·统考二模）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得[]1,m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”B ．存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”C ．存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”D ．存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”2．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1530S =，160S <，则（）A ．当15n =时，n S 最大B ．当16n =时，n S 最小C ．数列{}n S 中存在最大项，且最大项为8SD ．数列{}n S 中存在最小项3．（2023·山西·校联考模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若70a >，70S <，则（）A ．360a a +<B ．580a a +>C ．47S S <D ．1493S a >4．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．175．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111n n nx x x x x x --⋅⋅⋅>+ Dnnxy <7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知{}n x 为()22f x x x =--的牛顿数列，2ln1n n n x a x -=+，且()11,1n a x n +=<-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023S =（）A ．202321-B ．202421-C ．2022112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2023·河南安阳·统考二模）已知数列{}n x 和{}n a 满足()212223n n n n x x x x +-=>-，2ln1n n n x a x -=-，11a =．若()22n n n b a a n *++=+∈N ，124b b +=，则数列{}n n b a -的前2022项和为（）A ．20222B ．20202C ．202224-D ．202023-10．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．10二、多选题11．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（）A ．若10k =，则110b =B ．若10k =，则{}n b 所有项的和为590C ．当13k =时，{}n b 所有项的和最大D ．{}n b 所有项的和可能为012．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，有一列曲线1Ω，2Ω，L ，n Ω，L ，且1Ω是边长为6的等边三角形，1i +Ω是对(1,2,)i n Ω= 进行如下操作而得到：将曲线i Ω的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i +Ω，记曲线(1,2,)n n Ω= 的边长为n a ，周长为n c ，则下列说法正确的是（）A ．212(3n n a -=⋅B ．52569c =C ．在3Ω中OA OC OD OC ⋅=⋅D ．在3Ω中40OB OC ⋅=13．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x ，如果x 是奇数㩆乘以3再加1，如果x 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设*N k ∈，各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =，1,,2,,nn n n n a a a a k a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则（）A ．当5k =时，54a =B ．当5n >时，1n a ≠C ．当k 为奇数时，2n a k≤D ．当k 为偶数时，{}n a 是递增数列14．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n n n n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+15．（2023·河北唐山·统考二模）如图，ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，…，如此继续下去，设n n n A B C 的边长为n a ，n n n A B C 的面积为n M ，则（）A ．234n n M =B ．2435a a a =C ．21222nn a a a -++⋅⋅⋅+=-D．12n M M M ++⋅⋅⋅+16．（2023·浙江金华·模拟预测）已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，若对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．函数()f x 是奇函数B ．对*N n ∀∈，有()()nf x nf x =C ．若()22f =，则()()()23(2)222(1)2-2n nf f f f n ++++=+ D ．若(2)2f =，则2310111122210232123101024f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++=-三、填空题17．（2023·广西·统考模拟预测）有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．18．（2023·江西九江·校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则8a =__________.19．（2023·北京石景山·统考一模）项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.20．（2023·广西·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.（参考公式：()2222*(1)(21)1236n n n n n ++++++=∈N ）21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S .若)*1N ,2n n n a S S n n -=∈≥，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为___________.22．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且3a ，7a 为方程218650x x -+=的两根，且73a a >.若对于任意*n ∈N ，不等式()()2241nn n a a λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为___________.23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．24．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列{}n a 满足n a n p =-+，数列{}n b 满足52n n b -=，设,,n n nn n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n ∈N 且9n ≠，有9n c c >，则实数p 的取值范围为____.四、解答题25．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n naa a++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-+.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2023·天津·校联考一模）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记211n n n n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)记()12221,21,N1,2,N n n n n n a n k k a d n k k b +**⎧-⋅=-∈⎪⎪+=⎨=∈⎪⎪⎩，求221nn k k S d ==∑．28．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29．（2023·天津·统考一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()24Nn n a a n *+-=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)若215n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)在（2）的条件下，设124n n n n n b c b b ++=，求证：111346822n n n k n n --=++-<-.30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．31．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131nii i b b =<-∑．32．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数1x >-且0x ≠，正整数n 不小于2，那么(1)1n x nx +≥+．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．(1)证明：当[1,)α∈+∞时，(1)1x x αα+≥+对任意1x >-恒成立；(2)证明：对任意*n ∈N ，123(1)n n n n n n n ++++<+ 恒成立．。

专题7数列的综合应用测试题命题报告：1.高频考点：等差数列、等比数列的综合，数列与函数的、不等式、方程等的综合考情分析：数列的综合问题在近几年的高考试题中一直比较稳定，难度中等，主要命题点是等差数列和等比数列的综合，数列和函数、方程、不等式的综合，与数列有关的探索性问题以及应用性问题等，对于数学文化为背景的数列问题需要特别关注。

3.重点推荐：基础卷第2、7等，涉及新定义和数学文化题，注意灵活利用所给新定义以及读懂题意进行求解。

一．选择题（共12小题，每一题5分）1. （2018春•广安期末）在等差数列{a n}中，a2=3，若从第7项起开始为负，则数列{a n}的公差d的取值范围是（）A．[﹣，﹣）B．[﹣，+∞）C．（﹣∞，﹣）D．（，]【答案】：A【解析】，解得﹣≤d＜﹣．故选：A．2. （2018•永定区校级月考）定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列a n，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x3；②f（x）=3x；③；④f（x）=lgx，则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B【解析】由任意给定的等比数列a n，公比设为q，定义在（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x3；=q，即有==q3为常数，则f（x）为“保等比数列函数”；②f（x）=3x；=q，即有==3不为常数，则f（x）不为“保等比数列函数”；3. （2018 •黄冈期末）数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1﹣1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4﹣1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．4. (2019华南师范大学附属中学月考) 设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设等差数列的公差为,由可得，即由可得，解得,，,，解得,的最大值为，则故选5. 在数列{a n}中，，又，则数列{b n}的前n项和S n为（）A．B．C．D．【答案】：A6. 已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*有，且1＜S k＜12则k的值为（）A．2或4 B．2 C．3或4 D．6【答案】：A【解析】对任意的n∈N*有，可得a1=S1=a1﹣，解得a1=﹣2，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，S n﹣1=a n﹣1﹣，又，相减可得a n=a n﹣﹣a n﹣1+，化为a n=﹣2a n﹣1，则a n=﹣2•（﹣2）n﹣1=（﹣2）n，S n==﹣[1﹣（﹣2）n]，1＜S k＜12，化为＜（﹣2）k＜19，可得k=2或4，故选：A．7. 公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍．当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟仍然前于他10米．当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然前于他1米……，所以，阿基里斯永远追不上乌龟．按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10﹣2米时，乌龟爬行的总距离为（）A．B．C．D．【答案】：B【解析】由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{a n}，且a1=100，q=，a n=10﹣2；∴乌龟爬行的总距离为S n===．故选：B．8. 已知函数f（x）=sin（x﹣3）+x﹣1，数列{a n}的公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f （a7）=14，则a1+a2+a3+…+a7=（）A．0 B．7 C．14 D．21【答案】：D【解析】∵f（x）=sin（x﹣3）+x﹣1，∴f（x）﹣2=sin（x﹣3）+x﹣3，令g（x）=f（x）﹣2，则g（x）关于（3，0）对称，∵f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，∴f（a1）﹣2+f（a2）﹣2+…+f（a7）﹣2=0，即 g（a1）+g（a2）+…+g（a7）=0，∴g（a4）为g（x）与x轴的交点，由g（x）关于（3，0）对称，可得a4=3，∴a1+a2+…+a7=7a4=21．故选：D．9. 巳知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n+（n≥2），则S2018等于（）A．B．C．D．【答案】：D【解析】数列{a n}的前n项和为S n，满足S n+（n≥2），则：，所以：，，当n=2时，=﹣，当n=3时，，…猜想：，所以选择D。

专题18 统计知识及统计案例小题部分【训练目标】1、理解简单随机抽样每个个体被抽取的概率相等，掌握简单随机抽样，系统抽样，分层抽样的方法和本质；2、掌握频率分布直方图的画法和性质，能够根据频率分布直方图计算平均数、中位数、众数和方差；3、能根据茎叶图计算平均数、中位数、众数和方差；4、能看懂条形图，扇形统计图，雷达图，折线统计图等常见的统计图表；5、熟记平均数，方差的计算公式及性质，理解平均数，中位数，众数，方差的实际意义；6、能根据数据和公式求线性回归方程，把握线性回归方程的核心即一定经过样本中心点x, y；7、理解相关系数，残差等概念及相应的含义，并能正确的使用公式求解；8、会根据数据列22列联表，掌握利用 2 公式进行独立性检验的方法；【温馨小提示】此类问题在高考中属于必考题，一般在大题或者小题中出现，所占分值比重较大，题目容易，但是阅读量大，需要学生能够快速准确的把握题目的核心，同时计算量也偏大，另外要求学生多加训练，解出各种统计的题型，知晓解题方法。

【名校试题荟萃】1、气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为．则肯定进入夏季的地区有（）A.①②③B.①③C.②③D.①【答案】B2、某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（说明：结余=收入-支出）（）A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月C. 至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元【答案】D3、某公司将职员每月的工作业绩用的自然数表示，甲、乙两职员在2018年月份的工作业绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是（）A.两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定B.两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定C.两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定D.两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定【答案】C【解析】设甲、乙两职员的平均业绩分别为，方差分别为.由茎叶图可得：，，由平均数和方差可知，两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定.4、如图是一名篮球运动员在最近5场比赛中所得分数的茎叶图，若该运动员在这5场比赛中的得分的中位数为12，则该运动员这5场比赛得分的平均数不可能为（）A. B. C.14 D.【答案】D5、等差数列的公差为1，这组数据的方差为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵是等差数列，∴，∵公差为1，∴，故选B.6、为了了解某校九年级名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数)，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，根据统计图的数据，下列结论错误的是()A. 该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数的中位数为次B. 该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数的众数为次C. 该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数超过次的人数约有人D. 该校九年级学生分钟仰卧起坐的次数少于次的人数约有人【答案】D7、总体由编号为00，01，02，…48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取8个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第8个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 49503211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A.16B.19C.20D.38【答案】B【解析】从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，符合条件依次为：，故第个数为.8、如图是某位篮球运动员场比赛得分的茎叶图，其中一个数据上污渍用代替，那么这位运动员这场比赛的得分平均数不小于得分中位数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B9、某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体名职工中抽取名职工进行一项安全生产调查，现将名职工从到进行编号，已知从到这个编号中抽到的编号是，则在到中随机抽到的编号应是（）A. B. C.6 D.7【答案】C【解析】某工厂采用系统抽样方法，从一车间全体名职工中抽取名职工进行一项安全生产调查，∴抽样间隔为：，现将名职工从到进行编号，从到这个编号中抽到的编号是，则在到中随机抽到的编号应是：.10、为了调查某重点高校年大学生就业质量，一调查公司从该校的本科毕业生、硕士毕业生、博士毕业生中共分层抽取了人作为样本研究，已知该校本科毕业生比硕士毕业生多人，其中本科生抽取了人，硕士毕业生抽取了人，则该校共有毕业生人数为（）A. B. C. D.【答案】A11、若的平均数为3，标准差为4，且，，则新数据的平均数和标准差分别为（）A. 、B. 、C. 、D. 、【答案】D【解析】由平均数和标准差的性质可知，若的平均数为，标准差为，则：的平均数为，标准差为，据此结合题意可得：的平均数为：，标准差分别为12、名工人某天生产同一零件，生产的件数是，设其平均数为，中位数为，众数为，则有（）A. B. C. D.【答案】D13、将参加夏令营的名学生编号为：，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，三个营区被抽中的人数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据系统抽样特点，被抽到号码.第号被抽到，因此第二营区应有人，所以三个营区被抽中的人数为.14、从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2007人中剔除7人,剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取,则每人入选的可能性（）A.不全相等B.均不相等C.都相等,且为D.都相等,且为【答案】D【解析】用简单随机抽样从2007人中剔除7人,每个人被剔除的概率相等,剩下的人再按系统抽样的方法抽取,每个人被抽取的概率也相等,∴这种方法下,每人入选的概率是相等的,为,故选D.15、某公司新研发了两种不同型号的平板电脑,公司统计了消费者对这两种型号平板电脑的评分情况,如下图,则下列说法不正确的是( )A.甲、乙型号平板电脑的综合得分相同B.乙型号平板电脑的拍照功能比较好C.在性能方面,乙型号平板电脑做得比较好D.消费者比较喜欢乙型号平板电脑的屏幕【答案】D16、某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为，据此模型预报广告费用为万元时销售额为（）A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元【答案】B【解析】回归方程为，中心点为，代入回归方程得，回归方程为，当时.17、观测一组的数据，利用两种回归模型计算得.①与②，经计算得模型①的，模型②的，下列说法中正确的是（）A.模型①拟合效果好B.模型①与②的拟合效果一样好C.模型②拟合效果好D.模型①负相关【答案】C【解析】系数反映了回归模型的拟合度，一个是，一个是，相关指数的值越大,模型拟合的效果越好.故选C．18、以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模拟的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于；③若数据的方差为，则的方差为；④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（）A. B. C. D.【答案】B19、一位母亲记录了儿子岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为，用这个模型预测这孩子岁时的身高，则正确的叙述是（)A.身高一定是B.身高在以上C.身高在以下D.身高在左右【答案】D【解析】由回归直线方程可得当，时，但回归分析是对实际生产和生活问题的估测，还要受其它一些因素的影响，可能大于估算值，也可能小于估算值，故应选D.20、给出下列四个命题：①使用统计量作列联表的独立性检验时，要求表中的个数据都要大于；②使用统计量进行独立性检验时，若，则有的把握认为两个事件有关；③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线④在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数就越接近于．其中真命题的个数为（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】A21、在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，这已经成为全球性的威胁．为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取只小鼠进行试验，得到如下列联表：参照附表，下列结论正确的是（）A.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”B.在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”C.有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”D.有的把握认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗无关”【答案】A【解析】由公式可得,所以在犯错误的概率不超过的前提下，认为“小动物是否被感染与有没有服用疫苗有关”．故A正确．22、如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，样本质量均在内，其分组为，则样本质量落在内的频数为______.【答案】2023、一组数据共有7个数，记得其中有，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为_______.【答案】9【解析】设这个数为，则平均数为，众数为，若，则中位数为，此时；若，则中位数为，此时，；若，则中位数为，，.所有可能值为，故其和为.24、某高校有教授120人，副教授100人，讲师80人，助教60人，现用分层抽样的方法从以上所有老师中抽取一个容量为的样本.已知从讲师中抽取的人数为16，那么_______. 【答案】72【解析】依题意得，，由此解得.25、某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了次试验.根据收集到的数据(如下表），由最小二乘法求得回归方程，现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为_______.【答案】26、为了检验某套眼保健操预防学生的作用，把名做该套眼保健操的学生与另外名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较，提出假设：“这套眼保健操不能起到预防近视的作用”，利用列联表计算所得的.经查对临界表知.对此，四名同学得出了以下结论：①有的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”；②若某人未做该套眼保健操，那么他有的可能近视；③这套眼保健操预防近视的有效率为；④这套眼保健操预防近视的有效率为.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①【解析】根据查对临界表知，故有的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”，即①正确；仅指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的可信程度，所以②③④错误.27、某报考音乐专业的学生在次音乐测试中，音乐成绩如下表所示：根据上表得到音乐成绩与考次的回归方程为，若直线：与直线：垂直，则________.【答案】28、下表为“民生生鲜超市”的员工工作年限(单位:年)与平均月薪(单位:千元)的对照表.利用最小二乘法求得关于的线性回归方程为,则, ,这三个样本点中落在回归直线上方的个数为_________.【答案】【解析】由表中数据得, , ,样本中心点一定在回归直线上,,解得.当时, ,点在回归直线下方;当时, ,点在回归直线上方;当时, ,点在回归直线下方.29、已知下列命题:①在线性回归模型中,相关指数表示解释变量对于预报变量的贡献率, 越接近于, 表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于;③在回归直线方程中,当解释变量每增加一个单位时,预报变量平均减少个单位;④对分类变量与,它们的随机变量的观测值来说, 越小,“与有关系”的把握程度越大.其中正确命题的序号是________.【答案】①②③【解析】根据统计的相关知识易得①②③均正确,对于④,观测值越大,“与有关系”的把握程度越大,④错误,所以正确命题的序号是①②③.30、某校中午采取回宿舍午休制度以来，学生睡眠质量得到提高，全校人的下午上课的精神状态有了较大提升但仍需改进。