《生活中的变量关系》

§1 生活中的变量关系一、学习目标：1、能认识和发现生活中变量间的依赖关系，并能对依赖关系是不是函数关系进行判断。

2、了解依赖关系与函数关系的联系与区别，并理解是函数关系的两个变量中，哪个是自变量，哪个是因变量。

3、通过实例列举，培养学生的观察能力，分析、解决问题的能力。

二、教学重点：变量间依赖关系和函数关系的区分。

三、教学难点：依赖关系和函数关系的差别。

知识链接：常量和变量的概念，正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数等。

预习案1、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？(1)2003年非典时期，在某一天内某人的体温测量，体温与时间的关系；（2）某家庭的月收入与月份之间的关系；（3）某小学生在储蓄罐中所攒的零用钱与时间的关系；（4）某学生在高中三年中，考试成绩与考试日期之间的关系。

探究案例1、下列过程中，变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？在空中，抛出去的手榴弹在空中运动的高度与时间的关系；在弹性限度内，弹簧的伸长长度与弹簧所受力之间的关系；在运动场上，被运动员踢出在水平草地上运动的足球的位置与时间的关系。

例215时回到家，最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？ 何时开始第一次休息？休息了多长时间？ 第一次休息时，离家多远？11:00到12:00他骑了多少千米？他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分别是多少？ 他在哪段时间内停止前进并休息用午餐？例3苹果熟了，小明帮助妈妈到集贸市场去卖刚刚采摘下来的苹果，已知销售量与售价（总根据表格中的数据，售价y 是怎样随销售量的变化而变化的？ 估计当x=15时，y 的值是多少？变式：声音在空气中传播的速度y 与气温C x ︒之间有如下关系：33153+=x y在这一变化过程中，自变量是________,因变量是_____________. 当气温C x ︒=15时，声音速度y=__________米/秒.训练案下列两个变量之间哪些是函数关系？（1）球的半径与体积 （2）人的身高和体重（3）一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系 （4）人体的脂肪含量与年龄之间的关系2、某地电信部门规定：从甲地到乙地的通话m分钟的电话费由[]06.153.0)(+=mmf（元）给出，其中是不大于德最大整数（如[][]301.3,33==），则从甲地到乙地通话时间为 6.5分钟的电话费为（）A. 4.71元B. 4.24元C. 4.50元D. 4.77元。

第二章函数通过本章的学习，使学生关注现实，了解函数、映射等知识产生的背景．发展对变量的认识，了解现实世界充满变量间的相互依赖关系．通过操作和思考，感受抽象出函数概念的过程和方法．理解函数和映射等概念的本质，并掌握函数的单调性等性质．在初中学习的基础上，能熟练地说出二次函数图像的大小、位置和单调性、最大(小)值等性质．对幂函数和函数的奇偶性有所了解．使学生能借助图像想象出函数的单调性、奇偶性等性质，也能用解析式的特点抽象地得出函数的性质，能熟练地对二次函数配方，会用解析式证明函数的单调性和奇偶性，能根据需要对各种函数的解析式作变形，会对一些有关函数的应用题求解，会对有关数据作相应的处理．培养学生提出、分析、解决问题的能力，表达交流的能力，独立获取数学知识的能力，同时发展学生的应用意识、创新意识和数学地思考问题的意识．引导学生形成批判性、崇尚理性的思维习惯，体会数学美，树立辩证唯物主义的世界观．引导学生热爱数学，帮助他们建立学好数学的信心，并具有一定的数学视野；使其树立坚韧不拔的态度和崇尚科学的理性精神，强化对真善美的追求．在中学，函数的学习大致可分为三个阶段．第一阶段是在义务教育阶段，学习了函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数，了解了它们的图像、性质等．本章学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段，这是对函数概念的再认识阶段．第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习，这是函数学习的进一步深化和提高．在章头语里，把函数的地位和意义作了简单说明．有作为背景的意图，也是想让学生在无形中想到曲线、图像和函数．本书从高速公路的里程和加油站的思考引入，一方面，让学生认识现实中处处充满变量间的依赖关系，另一方面，希望学生能由此及彼想到邮局、机场等实例．函数概念从实际引入，让学生在现实情境中体验和理解数学．函数是核心概念，初中讲了，高中还要深化．它将贯穿整个高中阶段，希望使学生遇到问题的时候，马上会有一种想到函数的潜意识产生．这种意识和函数观点是至关重要的．教材对函数概念，努力改变过去把因变量叫作自变量的函数的做法，而明确提出把对应关系f叫作函数．只是为了与学生过去的认识接轨，才又补充说：习惯上我们称y是x的函数．教材中，提到函数的时候，必须要说明函数的定义域．但是，教材有意弱化了求定义域和值域的技巧，不在这里浪费学生过多时间．本教材力图突出本质，而不在技巧上下更多工夫．考虑到分段函数在实际中会经常出现，明确给出了“分段函数”的概念．一般到特殊、特殊到一般，都是人类创造的重要思维方法，都很重要，只是要根据所遇到的具体情况而决定选用哪一种．考虑到与初中知识的衔接，同时又考虑到学生的认知次序，在函数概念和映射概念的处理上，特意先给出函数的概念再引出映射概念，从特殊到一般地安排了这段教材．在函数性质中，教材突出了更具本质的单调性，而弱化了函数的奇偶性．如前所说，我们没有把奇偶性专门列出一节，而是把它和幂函数放在了一起．有意把幂函数留了个尾巴到下一章，意在顺理成章．因为，此前学生只有整数幂，而分数指数幂、无理数指数幂在下章出现，所以，到下一章再重复一下幂函数，也十分自然．整体设计教学分析在学生学习用集合语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量之间的依赖关系．生活中的变量关系一节，从高速公路的实例引入，“思考交流”则引导学生对类似的情境，如邮局、机场等进行思考并与同伴交流．安排了函数关系与非函数关系的对比．教学中一定要注意以人为本，要尊重学生，为了学生，调动学生参与到教学中．值得注意的是在本节的教学中，一定要给学生“留白”，即为学生留下必要的时间和空间让其自主地活动．当然，学生的数学活动必须以学生的思维为基础，可以是动手实践，也可以是平静的思考．思维，必须以学生独立的悟为前提，在独立思考的前提下，再强调必须与同伴的交流与合作；思维，必须以抓住知识的本质为目的，不能只求热闹．对教材中的“思考交流”应该组织学生进行讨论，不能一说而过．三维目标1．通过公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而使学生认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系．2．能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系．培养学生广泛的联想能力，树立热爱数学的态度．重点难点区分生活中的变量关系是否为函数关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.现实世界中充满了变化，静止是相对的，运动是永恒的．我们的生活中存在着各种各样的变量关系，其中函数关系是描述这种变化的重要数学模型，也是数学的基本概念，函数思想是研究问题的重要数学思想之一．今天我们学习如何确定函数关系，教师引出课题．思路 2.人的体重和身高是函数关系吗？小麦的亩产量与亩施肥量是函数关系吗？正方体的体积和棱长是函数关系吗？如何判断呢？这就是本节课学习的内容，教师引出课题．推进新课新知探究提出问题1说出初中所学函数定义？2如何确定两个变量之间是函数关系？讨论结果：(1)函数定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，y是因变量．(2)定义法：当且仅当变量x每取一个值，另一个变量y总有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且，y是x的函数．应用示例思路1例1 我国自1998年开始建设高速公路，全国高速公路通车总里程，于1998年底，位居世界第八；1999年底，位居世界第四；2000年底，位居世界第三；2001年底，超过了加拿大，跃居世界第二位．(如下表)771问：(1)高速公路里程数是年度的函数吗？(2)高速公路里程数与年度的变化有什么特点？活动：学生回顾函数的定义及确定函数关系的方法，教师适当提示或点拨．解：不难看出：(1)高速公路里程数随年度的变化而变化．所以，高速公路里程数可以看成因变量，年度看成自变量，从而高速公路里程数是年度的函数．(2)从1988年到2001年，里程数是不断增加的，其中从1999年到2000年增长得最快．点评：本题主要考查函数的定义.变式训练一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，请指出哪些变量是时间的函数．解：一辆汽车在高速公路上行驶的过程中，每个时刻都有唯一的行驶路程与它对应．行驶路程(因变量)随时间(自变量)的变化而变化，故行驶路程是时间的函数．同样，汽车的速度、耗油量也是时间的函数.例2 图2是某高速公路加油站的图片，加油站常用圆柱体储油罐储存汽油．储油罐的长度d、截面半径r是常量；油面高度h、油面宽度ω、储油量v是变量．这些变量中，请指出哪两个具有依赖关系，哪两个变量具有函数关系．图2活动：学生结合生活经验思考．教师可提示，也可介绍相关知识．解：储油量v与油面高度h存在着依赖关系，储油量v与油面宽度ω也存在着依赖关系．并非有依赖关系的两个变量都有函数关系．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量v和它对应，所以，储油量v是油面高度h的函数．而对于油面宽度ω的一个值可以有两种油面高度和它对应，于是可以有两种储油量v和它对应，所以，储油量v不是油面宽度ω的函数．点评：本题主要考查依赖关系和函数关系及其区别．由本题可见，函数关系一定是依赖关系，而依赖关系不一定是函数关系.变式训练1．进一步分析上述储油罐的问题，讨论：(1)还有哪些常量？哪些变量？(2)哪些变量之间存在依赖关系？(3)哪些依赖关系是函数关系？哪些依赖关系不是函数关系？解：(1)常量有圆柱底面积、油罐容积、油的密度等，变量有油的体积、圆柱底面上的弓形面积等；(2)依赖关系有：储油量和油的体积，储油量和圆柱底面上的弓形面积，油的体积和油面宽度；(3)储油量是油的体积的函数，油的体积也是储油量的函数，储油量是圆柱底面上的弓形面积的函数，油的体积不是油面宽度的函数．2．请列举一些与公路交通有关的函数关系．解：如修路中所花的费用和所修公路长度是函数关系等．3．请思考在其他情境下存在的函数关系，例如邮局、机场等．解：在邮局中，邮资是邮件重量的函数等．在机场，飞机票价是路程的函数等.思路2例1 在学校里你能发现哪些函数关系？活动：仔细观察，联系学校中老师、学生、师生的生活、校内物品等．解：(1)学生的学号是学生的函数；(2)教学任务是老师的函数；(3)学校的用电量是时间的函数，用水量也是时间的函数．点评：本题考查观察能力及发现问题、分析问题的能力.变式训练1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．2．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？答案：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．3．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？答案：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t，路程为s，则s＝20t(t≥0)．4．由下列式子是否能确定y是x的函数？(1)x2＋y2＝2；(2)x－1＋y－1＝1；(3)y＝x－2＋1－x.解：(1)由x2＋y2＝2，得y＝±2－x2，因此由它不能确定y是x的函数；(2)由x－1＋y－1＝1，得y＝(1－x－1)2＋1，所以当x在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y与之对应，故由它可以确定y是x的函数；(3)由{x－2≥0， 1－x≥0得x∈ ，故x无值可取，y不是x的函数.例2 新华网北京2006年3月24日电：中国卫生部24日通报，上海市确诊一例人感染高致病性禽流感病例，患者3月13日发病，后因病情加重，经抢救无效，于3月21日死亡．为了更好地对付禽流感病毒，某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间近似满足图3所示的曲线关系．请根据图3中给出的变化曲线，试判断每毫升血液中含药量y(毫克)与时间x(小时)之间是否构成函数关系．图3解：时间的变化范围是数集A＝{x|x≥0}，每毫升血液中含药量y(毫克)的变化范围是数集B＝{y|4≥y≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间x，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的y与它相对应．所以每毫升血液中含药量y(毫克)是时间x(小时)的函数．点评：本题主要考查实际问题中的函数关系.变式训练从20世纪70年代开始，我国就致力于控制人口过快增长，并逐步制定和完善了严格控制人口增长的政策措施.2002年我国颁布了第一部《人口与计划生育法》，将计划生育从一项基本国策上升为国家法律．根据国家统计局普查资料显示，我国人口再生产类型已经转入低生育、低死亡、低增长的发展阶段，进入了世界低生育水平国家行列.2005年底，我国总人口为13.075 6亿人，约占世界人口的20.12%.自实行计划生育以来，全国累计少生人口近3.1个亿．图4请根据图4中给出的我国人口出生率变化曲线，试判断我国人口出生率p和时间t(年)是否构成函数关系．解：时间t的变化范围是数集A＝{t|t≥1950}，我国人口出生率p的变化范围是数集B＝{p|p≥0}，并且，对于数集A中的每一个时间t，按照图中的曲线，数集B中都有唯一确定的p与它相对应，所以我国人口的出生率p是时间t(年)的函数.知能训练1．自由落体运动中，有哪几个常量，哪几个变量？这些变量之间有怎样的关系？答案：常量有：自由落体的质量和重力加速度；变量有：时间t、速度v和位移s，其中，速度依赖时间变化，关系是v＝gt；位移也依赖时间变化，关系是s＝12gt2.2．银行的存款利息表算不算函数？答案：是函数关系．拓展提升思考：字母一定是变量吗？探究：一般地，在研究一个问题的变化过程中，变量通常是一个字母，也就是说，只有字母才可以取不同的值来表示不同的量，那就是变量．但能否这样说，在变化过程中，字母就一定是变量呢？答案是否定的．例如，我们所熟悉的二次函数y＝ax2(a≠0)，它表示y与x之间存在依赖关系，这时，x、y都是变量，它表示的是y关于x的函数．虽然函数随着a的变化而表示不同的函数，但它是二次项的系数，是一个常量．如果把y＝ax2看作表示y与a只存在依赖关系，则y＝ax2＝x2a在x≠0时是一个y关于a的一次函数，这里y，a是变量，x是常量．课堂小结本节课学习了：用定义法判断变量之间的函数关系．作业习题2—1 A组1,2.设计感想本节课内容比较简单，在设计过程中，注重了与下节函数概念的联系．备课资料[备选例题]【例1】答案：是函数关系．【例2】农业科学家研究玉米的生长过程，把生长过程分为32个时间段，通过实验得到了各时间段与植株高度之间的相关数据，如图5所示．图5观察上图，植株高度是时间的函数吗？答案：是函数关系．。

举例说明生活中的变量
标题，生活中的变量。

生活中充满了各种各样的变量，它们时刻影响着我们的生活。

从天气的变化到
人际关系的变动，都是我们无法控制的变量。

让我们通过一些例子来看看生活中的变量是如何影响我们的。

首先，天气是一个常见的变量。

在夏天，天气可能会变得非常炎热，而在冬天
则可能会变得非常寒冷。

这种变化会影响我们的日常生活，比如我们可能会选择不同的衣服来适应不同的天气，或者改变我们的活动计划来应对天气的变化。

其次，人际关系也是一个重要的变量。

我们的家人、朋友和同事都会影响我们
的生活。

他们的情绪、行为和决定都会对我们产生影响。

比如，如果我们的朋友突然改变了计划，可能会影响我们原本的安排。

或者如果我们的同事情绪低落，可能会影响我们的工作效率。

另外，经济状况也是一个重要的变量。

通货膨胀、失业率和股市波动都会对我
们的生活产生影响。

比如，如果通货膨胀导致物价上涨，我们的购买力可能会下降。

或者如果失业率上升，我们可能会面临失业的风险。

总之，生活中的变量无处不在，它们时刻影响着我们的生活。

我们无法完全控
制这些变量，但我们可以通过适应和调整来应对它们。

在面对变量时，我们需要保持灵活性和适应性，以便更好地适应生活的变化。

生活中常见的自变量和因变量的例子1.喝水量（自变量）和体重（因变量）。

当一个人喝了更多的水时，他的体重通常会增加。

2.学习时间（自变量）和考试成绩（因变量）。

学生花费更多时间学习时，通常会获得更好的成绩。

3.消费金额（自变量）和信用卡账单（因变量）。

当人们消费的金额增加时，他们的信用卡账单通常也会相应地增加。

4.运动量（自变量）和睡眠质量（因变量）。

当人们运动量增加时，他们的睡眠质量通常会提高。

5.温度（自变量）和冰淇淋销量（因变量）。

当天气变得更热时，人们通常购买更多的冰淇淋。

6.研究时间（自变量）和论文质量（因变量）。

当研究者花费更多的时间进行研究时，他们的论文质量通常会提高。

7.饮食习惯（自变量）和健康状况（因变量）。

当人们养成更健康的饮食习惯时，他们的健康状况通常也会得到改善。

8.年龄（自变量）和记忆力（因变量）。

当人们年龄增加时，他们的记忆力通常会下降。

9.交通方式（自变量）和二氧化碳排放量（因变量）。

当人们使用公共交通工具而不是开车上班时，城市中的二氧化碳排放量通常会减少。

10.睡眠时间（自变量）和情绪状态（因变量）。

当人们睡眠时间不足时，他们通常会感到疲倦和情绪低落。

11.节食（自变量）和身体健康（因变量）。

当人们采用不适宜的节食方式时，他们的身体健康通常会受到损害。

12.儿童看电视时间（自变量）和学业成绩（因变量）。

研究发现，当儿童花费更多时间看电视时，他们的学业成绩通常会下降。

13.个人收入（自变量）和幸福感（因变量）。

当人们的收入增加时，他们的幸福感通常也会增加。

14.社交活动（自变量）和心理健康（因变量）。

当人们积极参与社交活动时，他们的心理健康通常会得到提高。

15.家长教育程度（自变量）和儿童成就感（因变量）。

研究表明，家长的教育程度与儿童的成就感有密切关系。

16.空气质量（自变量）和健康状况（因变量）。

当空气污染严重时，人们的健康状况通常会受到影响。

17.工作压力（自变量）和心理健康（因变量）。

2.1生活中的变量关系【学习目标】通过高速公路上的实际例子，引起积极的思考和交流，从而认识到生活中处处可以遇到变量间的依赖关系。

能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系中有的是函数关系，有的则不是函数关系。

培养广泛联想的能力和热爱数学的态度。

让学生领悟生活中处处有变量，变量间充满了联系。

【学习重点】生活中变量间依赖关系和函数关系的区分。

【学习难点】依赖关系和函数关系的差别。

【课前预习案】一、温故知新：◇初中学习的函数定义是什么?答：________________________________________________________________________________________________________◇下图为运行中的电梯,它离地面高度h与时间t是否存在函数关系?◇下图为行驶中的汽车,它行驶速度v与时间t是否存在函数关系?二、课本导读：阅读课文23—24页，在高速公路情境下的函数问题1.课本高速公路情景下研究了哪些函数关系？请指出它们的自变量和因变量。

2.对实例分析3，储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？3.请以高速公路为背景再研究一些函数关系，并思考自变量与因变量交换后是否为函数关系。

4.请同学们尝试归纳依赖关系与函数关系的区别与联系。

区别：_______________________________联系：________________________________三、预习自测1.给出下列关系：①（她）拥有的财富之间的关系；②橘子的产量与气候之间的关系；③某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试次数之间的关系；其中不是函数关系的有____________2.小明从北京给榆林的爷爷打电话，电话费和时间这两个变量间存在依赖关系吗？这种关系是函数关系吗？3.一年之中有许多节日，如春节、元宵节、清明节等，试问：今年的各个节日和日期（公历）之间是否存在依赖关系？这是一种函数关系吗？4.某校建立学生电子档案，主要信息有：档案序号、姓名、学号、照片、家庭住址等。

高一年级班第组学生姓名组评：编写时间：2014 年9 月日授课时间：年月日共第课时课题：生活中的变量关系主备人李厦厦审核人学习目标1.通过实例，认识生活中存在的一些变量间的依赖关系2.能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关系的区别与联系3.了解变量之间有函数关系应该具备的条件学习重难点重点：体会变量之间的依赖关系与函数关系难点：对变量之间函数关系的理解课时安排 1 教学用具教学过程师生笔记学习流程学习内容自主学习自主预习学案问题1、阅读课文P23-25页实例分析：书上在高速公路情境下的问题。

在高速公路情景下，你能发现哪些函数关系？问题2、储油量v对油面高度h、油面宽度w都存在依赖关系，两种依赖关系都有函数关系吗？预习展示1．生活中变量及变量之间的依赖关系随处可见，并非有依赖关系的两个变量都有函数关系，只有满足，才称它们之间有函数关系。

2．构成函数关系的两个变量，必须是对于自变量的每一个值，因变量都有值与之对应。

3．确定变量的依赖关系，需分清谁是自变量，谁是因变量，如果一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么这个变量是，另一个变量是。

探究交流1.依赖关系与函数关系的联系与区别2.反映变量间的关系的两种方式3.具备函数关系的两变量的表示方法训练达标1.判一判：(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)生活中任意两个变量都存在依赖关系.()(2)两个变量之间不一定都具有函数关系.()(3)函数关系中的自变量和因变量交换位置后还是函数关系.()2.做一做：(请把正确的答案写在横线上)(1)人的健康状况与饮食之间的关系是关系.(2)球的半径与体积之间的关系是关系.(3)家庭收入与支出之间的关系是关系.3.选择题(1)张大爷种植了10亩小麦,每亩施肥x千克,小麦总产量为y千克,则()A.x,y之间有依赖关系B.x,y之间有函数关系C.y是x的函数D.x是y的函数4.下列各组中的两个变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?(1)圆的面积和它的半径长.(2)商品的价格与销售量.(3)一个人的身高与体重.(4)某同学的学习时间与其学习成绩.课内小结作业布置教学反思备注。