2.1空间中点、直线、平面之间的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 1、教学重点和难点
重点：空间直线、平面的位置关系。
难点：三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）的转换 2、三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α ，A ∈α ，B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2作用：确定一个平面的依据。
推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面
②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该
点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等．
2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面
L
A ·
α C ·
B
·
A
· α P
· α
L
β
3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0，)；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
共面直线
=>a ∥c
2
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
针对性练习：
1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）
A. α内所有的直线都与a异面；
B. α内不存在与a平行的直线；
C. α内所有的直线都与a相交；
D.直线a与平面α有公共点.
2.已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是（） A.3 B.2 C.1 D.0
3.空间四边形ABCD中，若AB AD AC CB CD BD
=====，则AC与BD所成角为
A、0
90
60 D、0
30 B、0
45 C、0
4. 给出下列命题：
（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面
其中错误命题的个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ）2 （D ）3 5．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8
6. 点P 为ΔABC 所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA=PB=PC ，则点O 是ΔABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心
7.如图长方体中，AB=AD=2
3，CC 1=2
，则二面角
C 1—B
D —C 的大小为（ ）
（A ）300
（B ）450
（C ）600
（D ）900
8.直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）
A 、若a ?α，b ?α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α
B 、若b ?α, a//b 则 a//α
C 、若a//α,α∩β=b 则a//b
D 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A.α内有无穷多条直线与β平行；
B.直线a//α,a//β
C.直线a α?,直线b β?,且a//β,b//α
D.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b 是异面直线，下面四个命题：
①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。 其中正确命题的个数是（ ）Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11.已知直线a//平面α，平面
α
//平面β，则a 与β的位置关系
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1
为 .
12．已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 . 13如图，ABC 是直角三角形，∠ACB=?90，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形
14.α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线, 给出四个论断：
① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 正确的一个命题：______________________________________.
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
15．如图，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：AB ⊥BC
16．在三棱锥S-ABC 中，已知AB=AC ，O 是BC 的中点，平面SAO ⊥平面ABC 求证：∠SAB=∠SAC
17．如图，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥PB ，AB ⊥BC ，AF ⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；
A
B O
C S
P
A
B
C
A
B
C
P
（2）求二面角P—BC—A的大小；（3）求三棱锥P—AEF的体积.
参考答案
1.D；
2.C；
3.D；
4.D；
5.C；
6.B；
7.A；
8.D；
9.D；10.C
11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若②③④则①17.（2）45°
2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定A
B
C P
E
F
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
a β a∩
b = P β∥α
b β a∥α b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
练习巩固：
1、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( d )
A.平行
B.异面
C.相交
D.平行或异面
2、下列结论中，正确的有( a )
①若aα,则a∥α②a∥平面α,bα则a∥b
③平面α∥平面β,aα,bβ,则a∥b④平面α∥β,点P∈α,a∥β,且P∈a，则aα
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.在内
D.不能确定
4、a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是( d )
A.过A有且只有一个平面平行于a,b
B.过A至少有一个平面平行于a,b
C.过A有无数个平面平行于a,b
D.过A且平行a,b的平面可能不存在
5、已知直线a与直线b垂直,a平行于平面α,则b与α的位置关系是( )
A.b∥α
B.bα
C.b与α相交
D.以上都有可能
6、下列命题中正确的命题的个数为( a )
①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α;②若直线a在平面α外，则a∥α;
③若直线a∥b,直线bα,则a∥α;④若直线a∥b,b平面α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.
A.1
B.2
C.3
D.4
7、下列命题正确的个数是( a )
(1)若直线l上有无数个点不在α内，则l∥α
(2)若直线l与平面α平行，l与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线a和平面α内一直线b平行，则a∥α
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：其中真命题是d
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;②若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;
③若mα,nβ,m∥n,则α∥β;④若m、n是异面直线，mα,m∥β,nβ,n∥α,则α∥β.
A.①和②
B.①和③
C.③和④
D.①和④
9、长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1中点,F为BB1中点,与EF平行的长方体的面有(c)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10、对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，M，使得l∥α,l∥β,M∥α,M∥β.
其中可以判断两个平面α与β平行的条件有（b）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题【共4道小题】
1、在棱长为a的正方体ABCD—A
1B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是棱A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点，P是棱AD上一点，
AP=,过P、M、N的平面与棱CD交于Q，则PQ=_________.
参考答案与解析:解析：由线面平行的性质定理知MN∥PQ(∵MN∥平面AC，PQ=平面PMN∩
平面AC，∴MN∥PQ).易知DP=DQ=.故. 答案：
2、如果空间中若干点在同一平面内的射影在一条直线上，那么这些点在空间的位置是__________.
参考答案与解析:共线或在与已知平面垂直的平面内
3、若直线a和b都与平面α平行，则a和b的位置关系是__________.
参考答案与解析:相交或平行或异面
4、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1中点，则BD1与过点A，C，E的平面的位置关系是_________.
参考答案与解析:解析：如图所示，连结BD，设BD∩AC=O，连结BD 1，在△BDD1
中，E为DD1的中点，O为BD的中点，∴OE为△BDD1的中位线.∴OE∥BD1.
又平面ACE，OE平面ACE，∴BD1∥平面ACE.答案：平行
三、解答题【共3道小题】
1、如图，直线AC，DF被三个平行平面α、β、γ所截.
①是否一定有AD∥BE∥CF；
②求证：.
参考答案与解析:解析：①平面α∥平面β，平面α与β没有公共点，
但不一定总有AD∥BE.
同理不总有BE∥CF.
②过A点作DF的平行线，交β，γ于G，H两点，AH∥DF.过两条平行线AH，DF的平面，交平面α,β,γ于AD，GE，HF.根据两平面平行的性质定理，有AD∥GE∥HF.
AGED为平行四边形.∴AG=DE.
同理GH=EF.
又过AC，AH两相交直线之平面与平面β,γ的交线为BG，CH.根据两平面平行的性质定理，有BG∥CH.
在△ACH中，.而AG=DE，GH=EF，∴.
2、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的
中点.
求证：SA∥平面MDB.
参考答案与解析:解析：要说明SA∥平面MDB，就要在平面MDB内找
一条直线与SA平行，注意到M是SC的中点，于是可找AC的中点，构造与SA平行的中位线，再说明此中位线在平面MDB内，即可得证.
证明：连结AC交BD于N，因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点.又因为M是SC的中点，所以MN∥SA.因为MN平面MDB，所以SA∥平面MDB.
3、如图,已知点M 、N 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的两棱A 1A 与A 1B 1的中点，P 是正方形ABCD 的中心，
求证：MN ∥平面PB 1C.
参考答案与解析:证明：如图，连结AC ，
则P 为AC 的中点，连结AB 1， ∵M 、N 分别是A 1A 与A 1B 1的中点，∴MN ∥AB 1. 又∵
平面PB 1C ，
平面
PB 1C ，故MN ∥面PB 1C.
4、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面
11BB D D ．
答案：证明：如图，取11D B 的中点O ，连接OF ，OB ，
OF ∵ 平行且等于1112
B C ，BE 平行且等于111
2
B C ，
OF ∴ 平行且等于BE ，则OFEB 为平行四边形， EF ∴//BO ．
EF ?∵平面11BB D D ，BO ?平面11BB D D ，
∴EF //平面11BB D D ．
5、如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，
M ，N 分别是AB ，PC 的中点． 求证：MN //平面PAD ．
答案：证明：如图，取CD 的中点E ，连接NE ，ME ∵M ，N 分别是AB ，PC 的中点， NE PD ∴//，ME AD //，
可证明NE //平面PAD ，ME //平面PAD ． 又NE
ME E =，
1A
1B
1D 1C
F
E
A
B
C
D
1A 1B
1D
1C F
E
A B
C
D O
A
E
B
H
F
D
G
C
∴平面MNE//平面PAD，
又MN 平面MNE，∴MN//平面PAD．
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。