三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲

板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =s 2s 1bDC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．板块二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =××△△ EDCBADE CBA图⑴ 图⑵【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平例题精讲4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型方厘米，求ABC △的面积．EDC BAEDCB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===××△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===××△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =××△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【答案】70【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E DC B A AB C DE【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷ ，∴1515ABC ADE S S == ． 【答案】15【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E D CBAA B CDE 甲乙【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S = ，∴6ABC BDE S S = ，5S S =乙甲．【答案】5【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．ED CBA EDCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===××△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=×+×△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =××+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【答案】50【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326×=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648×=(平方厘米)．【答案】48【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =××=××=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =××=××=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =××=××=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S −−−△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【答案】24【例 5】 如图16-4，已知．AE=15AC ，CD=14BC ，BF=16AB ，那么DEF ABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABC S S =AE AC，所以ABE S =AE AC ×ABC S =15ABC S同理有AEF S =AF AB ABE S ,即=AEF S =15×56ABC S =16ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =18ABC S ．所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =61120ABC S ．即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120． 【答案】61120【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？DCEB A【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE °∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =××=××=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5×=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【答案】12.5【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =，13CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，五年级，初赛【解析】 由题意知13AE AC =、13CF BC =，可得23CE AC =．根据”共角定理”可得，():():()12:(33)2:9CEF ABC S S CF CE CB AC =××=××=△△；而66218ABC S =×÷=△；所以4CEF S =△；同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S ÷×△，6CDF S =△故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+−=+−=△△△△(平方厘米)．【答案】10【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．FEDCB AAB CDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S = ，1ABC S = ， ∴S 1DBC = ．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅× ． 又1ABC S = ，所以8FCE S = ． 同理可得6ADF S = ，3BDE S = ．所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++= ．【答案】18【例 9】 如图，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，有 EAD 、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EADABD ABD EAS S S AB== ． 同理36EAHEAD EAD ABD AHS S S S AD=== ．类似的，还可得 6FCG BCD S S = ，有()66EAH FCG ABD BCD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米． 连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFB ABC S S = ，6DHG ACD S S = ， 有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米.有四边形EFGH 的面积为 EAH, FCG , EFB, DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有 EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，EA AHAB AD××=2×3=6，所以EAH S =6ABD S ．类似的，还可得FCG S =6BCD S ，有EAH S +FCG S =6（ABD S +BCD S )=6ABCD S =30平方厘米． 连接AC ，还可得EFB S =6ABC S ，DHG S =6ACD S ，有EFB S +DHG S =6（ABCS +ACD S ）=6ABCD S =30平方厘米．有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅×===⋅×△△．又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【答案】118【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A A B CDEGH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =××=△△，即2CGF CDB S S =△△同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形所以66513.2ABCD S ÷四边形平方米【答案】13.2【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CDEF GH【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++−=+−==．【答案】60【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，∴224111ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅×===⋅×△△． 又2ABC S = ，所以0.5FCE S = ． 同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++−=++−=△△△△△【答案】3.5【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS S ．SGF E DCBA【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =××××=△．【答案】110【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三角形ABG 的面积是多少平方厘米？ABCDEF GABC DEF G【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．因为218164BCF CDE S S ==×=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S = ，8EFG S = ，再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC S = ，32ABFE S =，24ABF S = ，所以12ABG S = 平方厘米．【答案】12【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF，则AGF∆与CEH∆都是正三角形．假设正六边形的边长为为a，则AGF∆与CEH∆的边长都是4a，所以大正三角形DEF的边长为4217×−=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF的面积为496．由于4FA a=，3FB a=，所以AFB∆与三角形DEF的面积之比为43127749×=．同理可知BDC∆、AEC∆与三角形DEF的面积之比都为1249，所以ABC∆的面积占三角形DEF面积的1213134949−×=，所以ABC∆的面积的面积为4913136496×=．【答案】136【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE的面积是．BDCEA【考点】三角形的鸟头模型【难度】4星【题型】解答【解析】从图中可以看出，虚线AB和虚线CD外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六边形的面积；虚线BC和虚线DE外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363×+×=，所以五边形的面积是12103633−=．【答案】263【例17】仅用下图这把刻度尺，最少测量次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的面积比。

模型二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图(1)(或D在BA的延长线上，E在AC上如图2)，则ABC : ADE -(AB AC)： (AD AE)厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD ： AB =2 ：5 =(2 4): (5 4),S A ABE : S A ABC = AE : AC = 4 ： 7 = (4 5) : (7 5)，所以S^ADE: S^ ABC= (2 4) : (7 5),设S A ADE= 8 份，则S A ABC =35份，S A ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比三角形等高模型与鸟头模型【例1】如图在△ ABC中, D,E分别是AB,AC上的点，且AD: AB =2:5 ,AE:AC =4:7 , S^ADE =16 平方图⑵【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形么三角形ABC的面积是多少？•/ EC =3AE--S A BC = 3S ABE又••• AB =5AD--S|_ADE = S_ABE 5 = S_ ABC 15 ,••• S ABC如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD=DC=4 , BE=3 , AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？•/ BE =3 , AE =6 --AB = 3BE , S ABD=3S BDE又T BD =DC =4 ,--S ABC =2S ABD，…S ABC - 6S BDE ,【例2】如图在△ ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD =5: 2 , AE:EC=3:2 , S A ADE =12平方厘米，求△ ABC的面积.【解析】连接BE , S A ADE : S A ABE= AD： AB =2:5 =(2 3): (5 3) S AABE : S A ABC=AE： AC =3:(3 2)=(3 5): 1(3 2) 5】,所以S A ADE : S A ABC - (3 2) : 5 (3 2^ - 6 : 25，设S A ADE = 6 份，贝V S A ABC = 25 份，S A ADE =12 平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例3】如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF =2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？ADE的面积等于1，那= 15S ADE =15 .【巩固】【解析】连接AD .【解析】【解析】 连接FB•三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形 AFB 面积是三角形 AEF 面积的2 倍，所以三角形 ABC 面积是三角形 AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形 ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的(3 2)= 6倍•因此，平行四边形的面积为8 6 =48(平方厘米).【例4】已知△ DEF 的面积为7平方厘米，BE =CE, AD =2BD,CF =3AF ，求△ ABC 的面积.【解析】BDE ：S S BC =(BDBE) ：(BA BC)=(1 1):(2 3) =1:6 , S ^CEF : S ^ABC =(CECF) : (CB CA)=(13): (2 4) =3:8S ^ADF : S ^ABC = (AD AF ): (AB AC) = (2 1) : (3 4) =1:6设 S A ABC =24 份，则 S A BDE = 4 份，S ^ ADF =4 份，S ^ CEF = 9 份，S ^ DEF = 24 - 4- 4 - 9 = 7 份，恰好是 7 平方厘米，所以 S A ABC =24平方厘米如图，三角形 ABC 的面积为3平方厘米，其中 AB:BE=2:5 , BC:CD=3:2，三角形BDE 的面积 是多少？由于.ABC • . DBE =180，所以可以用共角定理，设 AB = 2份，BC =3份，贝U BE = 5份，BD =3 2=5 份，由共角定理 S A ABC ： S A BDE =(AB BC):(BE BD)=(2 3):(5 5^ 6:25，设S A ABC =6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5=12.5平方厘米，三角 形BDE 的面积是12.5平方厘米【例6】(2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，AE 」AC ,CF 」BC .33角形DEF 的面积为 ________ 平方厘米.【例5】 【解析】 DFA 'B【解析】由题意知AE =1 AC、CF =1BC，可得CE二？AC •根据”共角定理”可得，3 3 3S A CEF : S A ABC = (CF x CE): (CB x AC) =(1x2》(3x3) =2:9 ;而S A ABC =6沃6壬2 丄8 ;所以S A CEF =4 ;同理得，S A CDE : S A ACD = 2 ：3 ；, S A CDE =18-：-3 2 =12 , S A CDF =6故S A DEF=S A CEF■S A DEC-S A DFC = 4 1^6 =10(平方厘米)•ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB ;延长BC至E，使CE =2BC ;延长= 3AC，求三角形DEF的面积.(法1)本题是性质的反复使用.连接AE、CD •SABC1- ,S ABC - I ,S LDBC 1--S DBC =1•同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18 •(法2)用共角定理•••在ABC和LCFE中，.ACB与.FCE互补,.S JABC AC BC 1 汇1 1…S FCE FC CE _4 2 _8 •又S ABC =1，所以S FCE -8•同理可得ADF - 6 , §BDE =3•所以S LDE F = S_ABC ' S_FCE ' S ADF S BDE -1 8 6 '3=18 •【例8】如图，平行四边形ABCD , BE =AB , CF =2CB , GD =3DC , 面积是2 ,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.【解析】连接AC、BD •根据共角定理•••在△ABC和A BFE中，• ABC与・FBE互补, .S A ABC _ AB BC 二1 勺二1"S A FBE一BE BF 1 3 3 •又S A ABC ~1，所以S A FBE =3 • 冋理可得S A GCF =8 , S A DHG =15 , S A AEH =8 •【例7】如图，已知三角形CA至F，使AF【解析】HA二4AD，平行四边形ABCD的□=S A AEH S^ CFG S^ DHG S A BEF S ABCD =8 8 15+3+2 =36 .【解析】连接BD •由共角定理得S A BCD：S A CGF =(CD CB)： (CG CF) =1： 2，即S A CGF=2S A CDB冋理S A ABD : S A AHE =1： 2，即S A AHE =2 S A ABD所以S A AHE+S A CGF =2(S A CBD +S A人。

【知识要点-讲解】
3、梯形蝴蝶模型
A
D
A
D
O
O
B
CB
C
面积相等：⑴ △ABC＝△DBC ⑵ △BAD＝△CAD ⑶ △ABO＝△OCD
1
【例1】(★)
如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米， BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积。
【例2】2003年全国小学数学奥林匹克(★★)
一轮复习——五大模型之共边模型、鸟头模型
本讲主线 1、共边模型。 2、平行线性质。 3、共角模型。
【知识要点-讲解】
1、等高模型 ⑴ 等高的两个△，面积之比＝底边长度之比 ⑵ 特点，从顶点向底边做分割线。
A
ABD BD ADC DC
B
D
C
【知识要点-讲解】
2、平行线性质 ⑴ 夹在平行线间的两个等底△，面积相等. ⑵ 推导，梯形蝴蝶模型。
其中正方形GFEB的边长为10厘米，求阴影部分的面积。
D
C
G Q
F
P
O
H
K
A
B
E
【知识要点-讲解】 【例5】(★★★)
E、M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且DQ、CP、ME彼
此平行，若 AD=5， BC=7，AE=5 ， EB=3。求阴影部分的面
积。
A
D
Q
M
E
B
C
P
【知识要点-讲解】
2、鸟头模型(共角模型)：角相等或互补的两个三角形，
如图，由面积分别为2、3、5、7的四个三角形拼成一个大三 角形，已知：S△ADE 2, S△AEC 5, S△BDF 7, S△BCF 3, 那么 △BEF的面积为___________。

1 2
SAHB
、 SFHB
1 2
S
CHB
、 SDHG
1 2
SDHC
，而 SABCD
SAHB
SCHB
SCHD
36 ，
即 SEHB
SBHF
SDHG
1 2
(SAHB
SCHB
SCHD )
1 36 18 2
；
而 SEHB
SBHF
SDHG
S阴影
SEBF
， SEBF
1 BE BF 2
那么阴影部分的面积就是 AEF 与 ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD
面积的 1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 1 1 3 ，为 36 3 13.5 ．
84
848
8
（法 2）寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如右上图．
可得： SEHB
2 【答案】120
【例 4】 如图，长方形 ABCD 的面积是 56 平方厘米，点 E 、 F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点， H 为 AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．
连接 BH 、 CH ．
平
方厘米．
【考点】三角形的等高模型 【难度】2 星 【题型】解答
【关键词】2008 年，四中考题
【解析】连接 CD ．根据题意可知， DEF 的面积为 DAC 面积的 1 ， DAC 的面积为 ABC 面积的 1 ，所
3
2
以 DEF 的面积为 ABC 面积的 1 1 1 ．而 DEF 的面积为 5 平方厘米，所以 ABC 的面积为 23 6