数学知识点：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数 f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）为偶函数（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（二）函数的周期性1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期2.简单理解：一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集三、考点逐个突破1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1 x ；(3)f(x)＝x－2＋2－x；(4)f(x)＝1－x2＋x2－1；(5)f(x)＝(x－1)1＋x1－x.解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎨⎧1－x≠01＋x1－x ≥0⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数． 2.奇偶性的应用 例3.已知函数对一切，都有，（1）求证：是奇函数；（2）若，用表示解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中，令，得，令，得，∴，∴，即， ∴是奇函数（2）由，及是奇函数，得例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，，则的解析式为（2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （）例5设为实数，函数，（1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值解：（1）当时，，此时为偶函数；当时，，，∴此时函数既不是奇函数也不是偶函数（2）①当时，函数，若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；若，函数在上的最小值为，且②当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且；若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)．解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2， ∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]， ∴f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)． 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x －4)＝(x －4)2＋2(x －4)＝x 2－6x ＋8. 从而求得x ∈[2,4]时，f(x)＝x 2－6x ＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0. 4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R 的函数f(x)＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．①求a 、b 的值；②若对任意的t ∈R ，不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0恒成立，求k 的取值范围． 解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0， 即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1， 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2.②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2，即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13.一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D.由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知当x ＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1C ．x ＝12D ．x ＝－12解析：选A.∵y ＝f (x ＋1)是偶函数，∴f (1＋x )＝f (1－x )，故f (x )关于直线x ＝1对称．3．函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：选B.f (a )＝a 3＋sin a ＋1，①f (－a )＝(－a )3＋sin(－a )＋1＝－a 3－sin a ＋1，② ①＋②得f (a )＋f (－a )＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x(x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1，∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )．又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f (－5)D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52解析：选B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)， ∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－5)．二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x，∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2. 答案：－2 三、解答题9．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2； (2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0，－x 2－2x －3x <0.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )． ②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )． ③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2，解得－1≤m ≤3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减， ∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1， 即－2<m <1.②综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：选B.令f (x )＝x 3－x ＝0， 即x (x ＋1)(x －1)＝0， 所以x ＝0,1，－1，因为0≤x ＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为2. 因为f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数， 所以2≤x ＜4,4≤x ＜6上也分别有两个零点， 由f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0， 知x ＝6也是函数的零点，所以函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 二、填空题3．若f (x )＝12x －1＋a 是奇函数，则a ＝________.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即12－x －1＋a ＝－12x －1－a ，得：2a ＝1，a ＝12.答案：124．(2013·长春质检)设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，下面关于f (x )的判定：其中正确命题的序号为________．①f (4)＝0；②f (x )是以4为周期的函数； ③f (x )的图象关于x ＝1对称； ④f (x )的图象关于x ＝2对称． 解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－(－f (x ＋2＋2))＝f (x ＋4)， 即f (x )的周期为4，②正确．∵f (x )为奇函数，∴f (4)＝f (0)＝0，即①正确． 又∵f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，∴f (x )的图象关于x ＝1对称，∴③正确， 又∵f (1)＝－f (3)，当f (1)≠0时，显然f (x )的图象不关于x ＝2对称，∴④错误．答案：①②③ 三、解答题5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R . (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )， 此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋a ＋34，∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34，∵a≥－12，故函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值为f(a)＝a2＋1.综上得，当－12≤a≤12时，函数f(x)的最小值为a2＋1.。
