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数学建模作业2

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佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目汽车的刹车距离模型及黄灯持续时间分析模型
专业班级
一、问题提出
问题一：
司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到车完全停住汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。

（1）已知交通部门提供的一组汽车的刹车距离数据如下：
车速29.3 44 58.7 73.3 88 102.7 117.3 实际刹车距离42 73.5 116 173 248 343 464
分析刹车距离与车速之间具有怎样的关系，利用以上数据，求出具体的数学模型。

并在同一幅图中画图，对计算出的刹车距离与实际刹车距离进行比较。

问题二：
（2）在城市道路的十字路口，都会设置红绿交通灯。

为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而又无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。

试建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。

二、问题分析
问题一：
汽车的刹车距离大致可分为反应距离和制动距离。

反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、视野等)和制动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间)，对于一般规则可以视反应时间为常数，且在这段时间内车速尚未改变。

这里，我们取多数人的平均反应时间为0.75秒。

制动距离与制动器作用力(制动力)、车重、车速以及道路、气候等因素有关，制动器是一个能量耗散装置，制动力作的功被汽车动能的改变所抵消．设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与车的质量成正比，使汽车的减速度基本上是常数，这样，司机和乘客少受剧烈
的冲击．至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的。

问题二：
设汽车行驶速度为法定速度0v ，一定的刹车距离为1S ，通过十字路口的距离为2S ，车身的长度为L ，则黄灯的时间应t 使距停车线1S 之内的汽车能通过路口，即021/)(v L S S t ++≈，如果考虑到司机有一定的反应时间，则黄灯持续的状态就也包括驾驶员的反应时间。

根据分析，下面建立十字路口黄灯亮的时间的数学模型。

三、模型假设
(1)假设道路，天气和驾驶员等条件相同，汽车没有超载，也没有故障；
（2）假设汽车在平直道路上行驶，驾驶员紧急刹车，一脚把刹车踏板踩到底，汽车在刹车过程没有转方向；
（3）假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间做匀速直线运动；
（4）假设汽车在制动过程做匀减速直线运动，减速度a 是常数，制动力所做的功等于汽车动能的损失； 符号说明：
引入以下符号，并说明单位：
ν
~ 车速（m/s ）; d ~ 刹车距离（m ）； 1d ~ 反应距离（m ）
2d ~ 制动距离（m ）； 1t ~反应时间（s ）. 2t ~汽车通过十字路口的时间;
3t ~停车距离的驾驶时间; t ~通过红绿灯时间; 则有123t t t t =++.
四、模型建立
（显示模型函数的构造过程） 由d =1d +2d 和11*d v t = 又因为 20.5(^2)umgd m v = 所以2(^2)/2d v gu =
所以可得21d t v kv =+
根据动能定理:212fs mv =
21
2
fs mv =,f umg =;可得2(0.75)k s v v ∙-⨯=
问题(2):
在十字路口行驶的车辆中,主要的是机动车辆.当车辆驶近交叉路口时,驾驶员在看到黄色信号后要作出决定,是停还是要通过路口,如果他按法定速度(或低于法定速度)行驶,当决定停车时,他必须有足够的停车距离,少于此距离时不能停车,大于此距离时必须停车,等于此距离时可以停车,也可以通过路口,当决定通过路口时,他必须有足够的时间使他完全通过路口,这包括作出决定的时间,通过十字路口的时间以及通过停车所需的最短距离的驾驶时间.
于是,黄灯应该持续的时间包括驾驶员的决定时间(反应时间),他通过十字路口的时间和停车距离的驾驶时间
五、模型求解
（显示模型的求解方法、步骤及运算程序、结果）
程序代码：
v=[29.3000 44.0000 58.7000 73.3000 88.0000 102.7000 117.3000 ];
d=[42 73.5 116 173 248 343 464 ];
fun=inline('0.75*v+k(1)*v.^2','k','v')
k=lsqcurvefit(fun,0,v,d);
fprintf('0.75*v+k*v.^2µÄ²ÎÊýk=%.4f\n',k)
jsd=0.75*v+0.0255*v.^2
hold on
plot(v,d)
plot(v,jsd,'r+')
hold off
运算程序：
运算结果：
拟合曲线图
问题(2):
设法定行驶速度为0v ,十字路口的长度为l ,典型车身长度为L ,则汽车通过十字路口的时间为
2T =
l L
v +.停车过程是驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力,使汽车减速直至停止,设m 为汽车质量,f 为刹车摩擦系数,0
()
0.75l L X t t V ++=+
()x t 为行驶距离,刹车制动力为fmg ,由牛顿第
二定律,刹车过程满足下述运动方程:2
2dx m fmg dt =-.根据问题(1)得出的刹车距离可得
30
()
x t T v =
.
所以黄灯闪烁的时间为:0
()
0.75l L X t t V ++=+。

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最新数学建模案例分析2双层玻璃的功效

最新数学建模案例分析2双层玻璃的功效

精品文档双层玻璃的功效北方城镇的有些建筑物的窗户是双层的，即窗户上装两层厚度为d 的玻璃夹着一层厚度为l 的空气，如左图所示，据说这样做是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失 .我们要建立一个模型来描述热量通过窗户的热传导(即流失) 过程，并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗 (如右图，玻璃厚度为2d )的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果 .一、模型假设1. 热量的传播过程只有传导，没有对流.即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的；2. 室内温度T 和室外温度T 保持不变，热传导过程已处于稳定1 2状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3. 玻璃材料均匀，热传导系数是常数 .二、 符号说明T ——室内温度 1T ——室外温度2 d ——单层玻璃厚度l ——两层玻璃之间的空气厚度T —— 内层玻璃的外侧温度aT ——外层玻璃的内侧温度bk ——热传导系数Q ——热量损失三、 模型建立与求解由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的 物理规 律：厚度为 d 的均匀介质，两侧温度差为 T ，则单位时间由温度高 的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为 Q ，与 T 成正比，与d 成反比，即T Q = kd(1)其中 k 为热传导系数.1. 双层玻璃的热量流失记双层窗内窗玻璃的外侧温度为 T ，外层玻璃的内侧温度为 T ，a b玻璃的热传导系数为 k 1 ，空气的热传导系数为 k 2 ，由(1)式单位时 间单位面积的热量传导(热量流失)为：Q = k 1T T 1ad = k 2 T T ab d = k 1 T T b 2d(2)由 Q = k 1 T T 1ad及 Q = k 1 T T b2d可得 T a T b = (T 1 T 2 ) 2Qdk 1再代入 Q = k就将(2)中 T a 、 T b 消去，变形可得：k 1 (T 1 T 2 ) k l d (s + 2) k 2 d(3)2. 单层玻璃的热量流失对于厚度为 2d 的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为：Q, = k 1 1 23. 单层玻璃窗和双层玻璃窗热量流失比较比较(3) (4)有： Q = 2Q, s + 2(4) (5)显然， Q < Q, .为了获得更具体的结果，我们需要 k 1 , k 2 的数据，从有关资料可 知，不流通、干燥空气的热传导系数 k 2 = 2.5 104(J/cm.s .ºC)，常用玻璃的热传导系数 k 1 = 4 103 ~ 8 103 (J/cm.s.ºC)，于是k 1= 16 ~ 32 k 2在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们 作最保守的估计，即取 k 1 = 16 ，由(3) (5)可得：2Q 1 =Q, 8h + 1k Q = , s = h1 , h = lh =(6)T Td2d精品文档4. 模型讨论比值Q Q,反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与h = l d 有关，下图给出了Q Q, ~ h的曲线，当h由 0 增加时，Q Q,迅速下降，而当h超过一定值(比如h > 4)后Q Q,下降缓慢，可见h不宜选得过大.四、模型的应用这个模型具有一定的应用价值.制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的 .通常，建筑规范要求h = l d 必 4 .按照这个模型，Q Q, 必 3%，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃材料制成的单层窗节约热量 97%左右.不难发现，之所以，而这有如此高的功效主要是由于层间空气的极低的热传导系数k2要求空气是干燥、不流通的.作为模型假设的这个条件在实际环境下精品文档当然不可能完全满足，所以实际上双层玻璃窗的功效会比上述结果差一些.。

数学建模模版之指派问题2

数学建模模版之指派问题2

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 x (xij ) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
三. 求最大化指派问题 (max cx) 1. 可以将之最小化 min - cx . 2. 为方便起见，可令
c~ij M cij 0 , M max { cij } 转化为 min c~x.
对第5行打√, 检查第5行，对第1列打√，检查第一列
对第3行打√, 检查第3行，打√操作终止。
画线：没打√的行划横线和打√的列划竖线。
Step 4. 变换新矩阵 B (bij ), 使零元素增加 : ①在B中没被直线覆盖的各元 素中找出最小元素 ;
②对B中没被画直线的各行减 去;对B中已画直线的 各列加上
⑤ 对于没有√的行画横线，对所有打√号的列画竖线， 产生覆盖所有零元素的最少直线，直线数目应等于
0 的个数。
例： 5 0 2 0 2 2 3 0 0 0
B 0 10 5 7 5 9 8 0 0 4 0 6 3 6 2
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 5√ 9 8 0 0 4 0√ 6 3 6 2√
1, (i, j) J xij
0, (i, j) J
为指派问题的最优指派决策.
二、匈牙利法的步骤
Step 1. 将C零元素化,得到矩阵B，使B中每行每列中均有 零元素 ① C中的各行减该行最小元素； ② C中的各列减该列最小元素；
例： (本章例3，n=4)
-4 -2
3 14 10 5 -3
k (可正、可负)后，形成新矩阵 B (bij )nn ,则以B为效益矩 阵的指派问题与原问题 有相同的最优解 , 但新问题的最优值 ~z *与原问题的最优值 z *满足~z * k z * ( 你能证明吗？)
数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

数学建模实验二：微分方程模型Matlab求解与分析

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

章绍辉数学建模第二章

章绍辉数学建模第二章

第二章 习题二1.（1）按照“两秒准则”表明前后车距与车速成正比，这和“一车长度准则”是类似的。

在2.2节的基础上引入下面的符号: D ～前后车距（m ） v ～车速（m/s ）K ～按照“两秒准则”，D 与v 之间的比例系数（s ）,在“两秒准则”中，K=2 于是“两秒准则”的数学模型为（2）D K v K =⨯=而刹车距离的数学模型为212d kv k v =+ 要考虑“两秒准则”是否安全，即要比较D 与d 的大小212d D kv k v K v -=+-⨯（1） 代入k 1=0.75v ，k 2=0.082678，K=2，所以当d>D ，即刹车距离的理论大于前后车距时，认为不够安全；当d<D ，即刹车距离的理论小于前后车距时，认为足够安全。

计算得到当速度超过15.12 m/s 时，“两秒准则”就不安全了，也就是说“两秒准则”适用于车速不是很快的情况。

另外，还可以通过绘图直观解释为什么“两秒准则”不够安全，用以下程序把刹车距离实测数据与“两秒准则”都画在同一幅图中：v=(20:5:80).*0.44704;d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678; K=2; d1=[v;v;v].*k1;d=d1+d2;plot([0,40],[0,K*40],'k')hold onplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')plot([v;v;v],d,'ok')title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')legend('两秒准则','刹车距离理论值',...'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)xlabel('车速v（m/s）')ylabel('距离（m）')hold off（2）“两秒准则”的不安全性在于，其刹车距离随着车速增长的速度赶不上理论刹车距离的增长速度，为此我们提出一个“t秒准则”，通过不断增加t的值使得刹车距离总是大于理论刹车距离。