复合材料细观力学235页PPT

24
11.3.5 面内剪切强度S 面内剪切破坏是由基体和界面剪切损坏引起。面内剪切强度S可用 下式表示：
25
11.4 短纤维复合材料的细观力学分析
11.4.1 应力传递理论
由图示可列出平衡条件： 化简为
积分得 化简为
26
剪应力分布未知，为求解，需对纤维的周围界面和末端材料变形作 假设： （1）纤维长度中点由对称条件得剪应力为零； （2）末端 （3）纤维周围基体是理想刚塑性体，应力-应变关系如图所示。 这样界面剪应力沿纤维长度是常数，其值为基体屈服应力 ，上式 变为：
20
单根纤维在y方向屈曲时位移v用三角级数表示为
21
（1）拉伸型式 经过推导可得，纤维受压时的最小临界应力为：
复合材料最大应力为：
与纤维相比基体基本不受力，即
，则可得：
22
（2）剪切型式 经过推导，
2.横向拉裂理论 横向破坏应变比基体破坏应变小，有经验关系式：
23
即得 11.3.3 横向拉伸强度
11.6 刚度的弹性力学分析方法
11.6.1 弹性力学的极值法 1. E的下限 经过推导得出：
38
2. E的上限
39
11.6.2 精42
2. 的的预测 3.
43
44
11.6.3 接触时的弹性力学解
以后
45
46
11.6.4 Halpin-蔡方程
47
单向纤维增强复合材料的变形： （1）纤维和基体都是弹性变形； （2）基体发生塑性变形，纤维继续弹性变形； （3）纤维和基体都处于塑性变形； （4）纤维断裂或基体开裂导致复合材料破坏；
16
1.等强度分析的纤维
假定纤维应变等于基体应变，则复合材料 的强度为 如果复合材料拉伸强度大于单纯基体强度， 则纤维起增强作用必须超过的临界 值为

第7章大量不规则颗粒随机分布区域的三维数学模型
7.2空间点到颗粒的距离与误差估计
7.2.2求点到 颗粒距离的 搜索法
7.2.1空间点 到颗粒的距 离
7.2.3搜索法 求距离的误 差分析
0 5 2.2.5参数曲面沿向量场的伸缩变形 0 6 2.2.6基本matlab程序
07
o
n
e
第3章大量不规则颗粒随机分布区域的 二维数学模型
第3章大量不规则颗粒随机分布区 域的二维数学模型
3.1平面上点与椭圆的位置关系判别 3.2单颗增强颗粒的参数方程 3.3点到增强颗粒边界的距离 3.4几何模型的建立 3.5二维不规则颗粒模型的matlab 程序 3.2单颗增强颗粒的参数方程 3.3点到增强颗粒边界的距离 3.4几何模型的建立 3.5二维不规则颗粒模型的
6.4搜索法求距离误 差分析
6.5具有大量椭球颗 粒/孔洞的随机分布
区域模拟的算法
6.6视骨料为椭球的 混凝土试件的几何模
拟
作为覆盖的不规则骨料颗粒模型 6.8椭球颗粒模型的matlab程序 6.8椭球颗粒模型的MATLAB程序
第6章大量椭球随机分布区域的数学模型
6.8椭球颗粒模型的matlab程序
6.8.1点到椭球的距 离程序
2
6.8.2椭球作图程序
6.8.3二级配椭球骨 料模型创建程序
11
o
n
e
第7章大量不规则颗粒随机分布区域的 三维数学模型
第7章大量不规则颗粒随机分布区 域的三维数学模型
7.1单颗颗粒的参数方程 7.2空间点到颗粒的距离与误差估计 7.3几何模型的创建 7.4三维不规则颗粒模型的matlab 程序 7.2空间点到颗粒的距离与误差估计 7.3几何模型的创建 7.4三维不规则颗粒模型的 M AT L A B 程 序

层 板 模 型
几 种 主 要 的
力
学பைடு நூலகம்
模
型
几种主要的力学模型 层板模型
层板模型
3方向： E 3c = E m • f m + E I •〔1- f m 〕
2方向：
1 fm1fm 2 E2c Em EI
3 1
泊松比〔泊桑比、泊松收缩〕 νij：在i方向加力时，j方向上产生的收缩
23c
2.2 物理性能的复合法那么
对于复合材料，最引人注目的是其高 比强度、高比弹性模量等力学性能。但 是其物理性能(non-structural properties)也应该通过复合化得到提高。 物理性能包括 加和〔平均〕特性 乘积〔传递〕特性 构造敏感特性
复合材料的复合效应
线性效应
加和效应 平均效应 相补效应 相抵效应
✓ 颗粒的尺寸越小，体积分数越大，强化效果越好。
2) 连续纤维增强
并联模型
串联模型
基体 增强体
连续纤维增强〔并联模型，等应变模型〕
复合材料的载荷=基体载荷+纤维载荷 Pc=Pm+Pr
因为P=σ •A，所以σ c •A c= σ m •A m+ σ r •A r ----〔1〕
A c= A m+ A r
有限差分与有限元模型
a x 2 2 b y 2 2 c x 2 y d x e y f g h t 0
❖ 自变量：x、y〔空间〕；t〔时间〕 ❖ 函数：φ〔温度、浓度、电势、动量等〕 ❖ 拉普拉斯方程、泊松方程、高斯方程、
菲克方程、傅立叶方程、胡克方程、柯 西-雷曼方程、纳维-斯脱克斯方程等
非线性效应
乘积效应 系统效应 诱导效应 共振效应

31
课程总结回顾
复合材料力学基础知识
涵盖了复合材料的组成、结构、性能 及其力学行为等方面的基本概念和原
理。
复合材料的力学性能
深入探讨了复合材料的强度、刚度、 韧性等力学性能，以及不同加载条件
下的力学响应。
复合材料的失效与破坏
分析了复合材料的失效模式、破坏机 理和寿命预测方法，为学生提供了对
复合材料耐久性的全面理解。
应力-应变关系
分析复合材料在不同加载条件下 的应力-应变关系，可以揭示其弹 性性能的变化规律。
弹性力学模型
建立复合材料的弹性力学模型， 如层合板理论、等效连续介质模 型等，可以预测其宏观弹性性能。
2024/1/25
16
塑性力学方法
01
屈服准则
通过确定复合材料的屈服准则， 可以判断其在复杂应力状态下的 塑性变形行为。
复合材料力学研究内容
1 2
复合材料的力学性能 研究复合材料的强度、刚度、韧性等力学性能。
复合材料的破坏机理 研究复合材料在不同应力状态下的破坏形式和机 理。
3
复合材料的优化设计 通过改变复合材料的组分、结构等，优化其力学 性能。
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5
复合材料力学发展历程
2024/1/25
起步阶段
01
随着汽车工业向电动化、智能化、轻量化方 向发展，复合材料的应用前景广阔。
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其他领域应用拓展及创新点
体育器材
复合材料可用于制造高性能的体育器材，如自行车 车架、高尔夫球杆、滑雪板等，提高运动成绩和体 验。
医疗器械
复合材料可用于制造医疗器械和人体植入物，如手 术器械、人工关节等，提高医疗器械的性能和人体 相容性。

statistical homogenneity
非均匀材料组分的特征尺寸＜ ＜ RVE尺寸＜ ＜ 结构特征尺寸
第7页/共29页
三、均匀化方法（homogenization theory for heterogeneous）
homogenization
Statistical homogenneity matrix and inclusion
0 ij
n r
r 1 (r) ij
r第122页/共29页
General theory of eigenstrain
1.Definition of eigenstrain（本征应变） 非弹性应变，热膨胀、相变、塑性应变等。 Stress-free transformation
eigenstrain本征应力—无外力及约束情况下，自平衡的内部应力。
第18页/共29页
四、线弹性复合材料的均匀化
对多相复合材料，平均应力、应变等可用体积分数表示
F 1 FdV 1 ( FdV FdV )
V VV
V V1
V2
V1 1 FdV V2 1 FdV
V V1 V1
V V2 V2
v1 F (1) v2 F (2)
ij
n
vi
(i) ij
Ω
ij
eij
ij
eij 弹性应变
D
几何方程
ij
1 2 (ui, j
u j,i )
物理方程
ij
Cijklekl
Cijkl (kl
kl
)
Cijkl
(uk
,l
ห้องสมุดไป่ตู้
kl
)
ij Cijkl kl Cijkluk ,l

1
2

E 2 2

E 2 V f
2 Ef

Vm
2 Em

W
纤维 基体
E2

E fE m V m E f V fE m
E2
1
E m V m V f(E m / E f )
2 与试验值相比，较小，由于纤维随
基体模量正化
机排列，兼有串联和并联的成分 12
刚度的材料力学分析方法
1
Gm
V
m

V
f
G G
m f

基体
1
纤维
基体
m/2 f

14
刚度的材料力学分析方法
进一步工作
采用各种不同的模型，可以给出不同的弹性常数
欧克凡尔考虑了由于纤维约束引起在基体中的三向 应力状态而得到了如下的混合率表达式
E1

Ef Vf

E
' m
V
m
E2

E
f
E
' m
Vm
E
f
(1


2 m
)
时 1 1 m m 2 2 m 2 m 2 d E E d d V V d d 1 1 d d 2 2 d 2 d 2 E m m E V m m V m
U* 0

24
证明：表观弹性模量的上限
U *221 1d 4 d d 2 d 222EdV d1 1m m 4 m 2 m 222Em V mV
由于 UU*
1 2E2V221 1d 4 d d 2 d 222EdV d1 1m m 4 m 2 m 222Em V mV

混凝土＝水泥+砂+石
复合材料的种类
金属基
陶瓷基
按基体相分
聚合物基
水泥基
复 合 材
按增强相 的形态分
颗粒增强 纤维增强 晶须增强
碳纤维 玻璃纤维 有机纤维
复合纤维
料
编织物增强
按用途分
结构复合材料 承受载荷，作为承力结构使用
功能复合材料
电、磁、光、热、声、摩 擦、阻尼、化学分离性能
复合材料的特点
多相: 至少两相 复合效应：不仅保留了原组成材料的特色，而且
3、石墨/镁复合材料
这种材料密度低、线膨胀系数为零，尺寸的稳定性好，是金属基复合材料中具 有最高比强度和比弹性模量的复合材料。可在石墨纤维表面沉积TiB2，提高石 墨纤维的润湿性。
金属基复合材料
长纤维增强金属基复合材料
4、碳化硅/钛复合材料
碳化硅纤维比强度高、比模量高，高温强度高，耐热、耐氧化，与金属的反 应小，润湿性好。
主要应用于飞机发动机部件和涡轮叶片以及火箭发动机箱体材料。
5、氧化铝/铝复合材料
氧化铝纤维在氧化气氛中稳定，能在高温下保持其强度、刚度， 且硬度高，耐磨性好。这种复合材料具有高强度和高刚度，可用于 汽车发动机活塞和其他发动机零件。
金属基复合材料
1、氧化铝/铝复合材料
短纤维/晶须增强金属基复合材料 2、碳化硅/铝复合材料 3、氧化铝/镍复合材料
突出特点
性树脂基体—热塑性玻璃钢。
密度低：1.6～2.0g/cm3；
比强度高：较最高强度的合金钢还高3倍；
耐烧蚀
耐腐蚀
应用
航空航天工业：如雷达罩、机舱门、燃料箱、行李架和地板等。 火箭：发动机壳体、喷管。 汽车工业：如汽车车身、保险杠、车门、挡泥板、灯罩、内部装饰件等。 石油化工工业：如玻璃钢贮罐、容器、管道、洗涤器、冷却塔等

总论 复合材料的基体材料 复合材料的增强材料 复合材料的界面 聚合物基复合材料 金属基复合材料 碳/碳复合材料
第一章
总 论
1.1 发展概况
1.2 复合材料定义、命名 和分类 1.3 复合材料的基本性能
第一章 总 论
1.1 发展概况
材料发展历史： 石器、铜器、铁器时代等 实现生产、科学目的： 新材料研究 材料科学历史： 四十多年
问 题： （1）复合产物能否为液体或气体？ （2）复合材料是不是只能是一个
连续相与一个分散相的复合？
1.2.2 命名
例：玻璃纤维增强树脂基复合材料命名
玻璃钢 玻纤增强塑料、玻璃塑料、玻璃布 层压板、玻璃纤维复合材料
命名原则：
增强材料+基体材料+复合材料
例：碳纤维环氧树脂复合材料 书写： 碳/环氧复合材料
亚短钢纤维（长度40—60mm) 短钢纤维（长度20—35mm) 超短钢纤维（长度＜15mm)
横截面形状：圆形、矩形截面 钢纤维主要品种：不锈钢、低碳钢
图 15
高架桥
1.3.6 三种复合材料性能比较 （1）使用温度、硬度 使用温度： CMC >MMC > PMC 硬 度: CMC >MMC > PMC
纤维增强树脂基复合材料：
● 基体强韧性降低裂纹扩展速度 ● 纤维对裂纹阻隔作用，使裂纹 尖端变纯或改变方向
裂纹扩展路径曲折、复杂
图12 三种材料疲劳性能比较
1—碳纤维复合材料
3—铝合金
2—玻璃钢
金属疲劳强度=20—50%抗张强度
碳纤维复合材料疲劳强度=
70—80%抗张强度
（3）减振性能好 影响自振频率因素：
1.3.2 聚合物基复合材料及主要性能

3、 K 23 K m
Vf Vm 1 K f K m K m Gm
（平面应变体积模量）
4、 G12 G m
G f (1 V f ) G mVm G f Vm G m (1 V f )
5、
G23
可由三相模型求得： 利 用 在 r 处 施 加
纯剪均匀应力边界
1 1 * U ij ij dv Cijkl ij kl v 2 v 2
3）有效模量的严格理论解 并可由RVE的解向邻近单元连续拓展到整体时，所得的有效
只有按上述两种均匀边界条件算得的有效弹性模量一致，
弹性模量才是严格的理论解。
则只有满足上述条件的复合材料的宏观弹性模量才能通 过体积平均应力、应变进行计算；或按应变能计算。
* ij
对椭圆形夹杂，Eshelby已经证明
而在夹杂以外为零，且有：
在夹杂内部是均匀的，
S 0 0 c * 0 c Cijkl ( kl kl kl ) Cijkl ( kl kl )
c ij * ijkl kl
其中 Sijkl 为Eshelby张量； kl 为因夹杂的出现而形成的 0 kl 为无限远处的均匀应变。 干扰应变；
4V f Vm (v f v m ) 2 E1 E f V f E mVm Vm V f 1 K f K m Gm
V f Vm (v f v m )(
2、
21 f V f mVm
1 1 ) Km K f
Vm V f 1 K f K m Gm
Mf
其中：
（M表示
E2 , G12或 23 ）
*
Mm Mf Mm

纳米绘画艺术—— 纳米中国
这是中国科学院化学所的科技人员利用 纳米加工技术在石墨表面通过搬迁碳原子而绘制 出的世界上最小的中国地图。
碳纳米球（富勒稀）
The Nobel Prize i n Chemistry 1996 for discovery of fullerenes（C60).
碳原子组成的小单元看起来和 足球一样。碳原子的活性差， 导电，非常稳定。绝佳的材料 和电性能
材料的创新：新材料的出现为产品设计提供更广阔 的前，由于其独
有的体积和表面效应，它从宏观上显示出许多奇妙 的特征。
制备纳米粒子的物理方法
1．球 磨
实施方法
2．振动 球磨
3．振动磨
4．搅拌磨
5．胶体磨
6．纳米气流粉碎 气流磨
球磨 (Milling)
新型日光温室复合材料 温室骨架和纵拉杆全部采用复合材料制成
绿可木，生态木塑 复合材料，木塑复
合材料吸音板
复合材料（玻璃 钢）制品
采用高分子复合材料制作浮雕和雕塑
碳纤维/树脂复合 材料
碳/碳复合材料
生物医学制品和体育运动
复合材料被用来预防受伤， 矫正生理机能，和帮助病人 复原。
生物医学制品和以体育运动器 材为主的碳纤维复合材料制品
• 台湾碳纤维约有3000吨/年的产能。
体育休闲用品应用
山地车
工业应用
这是一个覆盖甚广，内容甚多，也是一个发展最快， 前景最好的应用领域。
1、基础设施领域（混凝土结构加固补强）
基础设施（Infrastructure）系指建筑领域的房屋 、桥梁、隧道、涵洞、地铁及其相关的混凝土工程，其修 复、更新、加固已构成复合材料目前极重要的应用领域。
② 碳纤维增强复合材料 由碳纤维与酚醛、环氧、聚酯、聚四氧乙烯 等树脂组成的复合材料 特点：密度更低，比强度和比模量更高 具有优良的疲劳性能、耐冲击性能、自润滑 性能和耐磨、耐蚀、耐热性能

环氧树脂
定义：含有两个以上环氧基的高聚物 分类：双酚A型环氧树脂，非双酚A型环 氧树脂，脂肪族环氧树脂和酯环族环氧 等
酚醛树脂
含炭量高，可用于制造耐烧蚀材料 价格便宜，吸附性不好，收缩率高，成 型压力高，制品空隙含量高。
热塑性树脂
PE、PP、PVC、PS等
聚酰胺、聚碳酸酯及聚砜等
博采众长
巧夺天工
1+1＞2
1 绪论
发展历程：古代 — 近代 — 先进复合材料
古代：草梗合泥筑墙、漆器（麻纤维+土漆） 近代：玻璃纤维增强塑料（1940年～1960年） 先进复合材料（1960年～） ：
碳纤维、Kevlar增强环氧树脂
碳纤维增强金属基复合材料
陶瓷基复合材料、功能复合材料、智能复合 材料
•颗粒增强体成本低，易于批量生产
表5-1 几种增强材料的性能
Specific Density Tensile Modulus of Specific Elasticity Modulus Strength Material (g/cm3) Strength (ksi) (×106psi ) (×107 in. ) (×106 in. ) Polymers: Kevlar 1.44 650 18.0 34.7 12.5 0.97 480 25.0 13.7 71.0
延性颗粒增强体（Ductile Particle Reinforcement）
主要为金属颗粒，加入到陶瓷基体和玻璃陶瓷基体中增强其 韧性，如Al2O3中加入Al，WC中加入Co等。金属颗粒的加 入使材料的韧性显著提高，但高温力学性能会有所下降。
•颗粒增强体的特点是选材方便，可根据不同的性能要求选 用不同的颗粒增强体。

C.废水管道
D.垃圾桶
3.航天飞机机身上使用的隔热陶瓷瓦是 B A.仿生复合材料 B.陶瓷和纤维复合而成的材料 C.纳米复合材料 D.分子复合材料
4.飞机、火箭的机翼和机身以及导弹的壳体、 尾翼中的复合材料是 A A.金属基复合材料 B.树脂基复合材料 C.绝缘基复合材料 D.智能复合材料
同学们，能分享一下你们的收 获吗？
航空航天领域的复合材料
机翼、机身、导弹壳体和尾翼的复合材料
基体
金属 铝、镁、钛等密度小的轻金属
增强体
纤维
碳纤维、硼纤维、碳化硅纤维、 氧化铝纤维等
性能 耐高温、强度高、导电导热性好、不吸 湿和不易老化，密度小。
哥伦比亚号航天飞机坠毁
机身隔热复合材料 基体 陶瓷 增强体 碳纤维、碳化硅纤维、氧化铝纤维 性能 耐高温、韧性好
鲁科版教材必修1
第3节 复合材料
天然复合材料
竹、木、茅草、贝壳、骨骼
传统复合材料
麻刀（纸筋）石灰、 土坯（草秆、粘土）、 钢筋混凝土
一、复合材料
1、定义
将两种或两种以上的性质不同的材 料经过特殊的加工制成的材料称为复合 材料。
2、组成
复合材料
增强体
骨架作用骨基体黏接 Nhomakorabea用肉
二、形形色色的复合材料
隔热陶瓷瓦
中国自主研发大飞机面临两大难题 ——发动机与复合材料
2017年5月5日中国首架国产大型客机起飞
机械 制造
体育
医学
运输业
复合材料
航空
航天
生活
练一练
1.下列不属于玻璃钢具有的性能的是 A A. 易碎 B.易燃 C.耐水 D.耐磨
2.下列各项中不能用玻璃钢制造的是 B

第一章、引言
复合材料力学
随直径减小，玻璃纤维拉伸强度趋 向于原子间的内聚强度11,000MPa
随直径减小，玻璃纤维拉伸强度 趋向于玻璃板材的强度170MPa
这是因为细小的纤维直径直接导致以下结果: 1) 更少、更小的微观裂纹；
2) 聚合物链延展并取向；
3) 结晶更少并且晶体间的断层密度更低；等等。
第一章、引言
复合材料力学
宏观力学(Macromechanical or phenomenological) 理论: 根据沿某些特定方向测试得到的复合材料的 宏观力学性能预报其受其它任意载荷的力学特性。 细观力学(Micromechanical)理论: 仅仅根据组成 材料的力学性能预报复合材料受任意载荷作用的 力学特性。 细观理论与宏观理论相比的优点: • 只需一次性确定组成材料的性能参数, 大大节省时间与金钱； • 可以事先由组成材料设计复合材料的性能。
第一章、引言
1.3 组成材料
1.3.1 增强体
复合材料力学
典型增强纤维
1) 玻璃纤维（Glass fiber） 分为E型、 S型、A型和C型，主要成份为SiO2, 另 含有些其它氧化物。 E (electrical insulator)型玻璃纤维应用最广, 1938 年实现商业化生产。现代复合材料诞生于1940年。 S型玻璃纤维比E型纤维的模量、强度及韧性都高， 但价格更高，最初主要是军用。
复合材料是由两种或两种以上性能各异的单一材 料，经过物理或者化学的方法组合而成的一种新 型材料。
复合材料分为天然与人工合成两大类。天然复合 材料种类繁多，包括一些动、植物组织如人的骨 格。我们只讨论人工合成复合材料 。 大多数人工合成的复合材料都是由两相构成：一个 是增强相，为非连续体；另一个是基体(matrix)相， 为连续体。

– Electrical conductivity, σe: Replace E by σe. – Thermal conductivity, k: Replace E by k.
Center for Composite Materials, Harbin Institute of Technology
CMCs: Increased toughness
Center for Composite Materials, Harbin Institute of Technology
CMCs: Increased toughness
• (A) Crack Deflection (偏转) – A crack meeting the reinforcement is deflected along the interface where energy is used to effect separation
– The properties of the fibre
– The properties of the resin
– The ratio of fibre to resin in the composite (Fibre Volume Fraction)
– The geometry and orientation of the fibres in the composite
TERMINOLOGY / CLASSIFICATION
• Composites
– Multiphase material w/significant proportions of ea. Phase
• Matrix — The continuous phase
– Purpose is to transfer stress to other pБайду номын сангаасases， protect phases from environment

铺层优化设计
通过调整复合材料的铺层顺序、纤维方向和厚度分布等参数，实现结构的最优化。
制造工艺优化
针对复合材料的制造工艺进行优化，提高生产效率和产品质量。
试验验证与反馈
对优化后的复合材料结构进行试验验证，并将结果反馈至设计阶段，不断完善和优化设计方案。
优化设计策略探讨
06
CHAPTER
复合材料加工与制造技术
自动铺放技术及应用实例
自动铺放技术概述
自动铺放技术是一种高效、精确的复合材料制造方法，主要包括自动铺带技术和自动铺丝技术。
应用实例
自动铺放技术在航空航天、汽车、船舶等领域具有广泛应用。例如，在航空航天领域，自动铺放技术可用于制造飞机机翼、机身等部件，提高生产效率和产品质量。
树脂传递模塑（RTM）是一种闭模成型技术，将低粘度树脂注入到闭合模具中，浸润增强材料并固化成型。
航空航天领域
汽车工业领域
体育器材领域
分享汽车轻量化设计中的复合材料应用案例，如车身、底盘、发动机罩等部件。
介绍高尔夫球杆、网球拍、自行车车架等体育器材中复合材料的设计与应用。
03案例分享
01
02
03
04
有限元分析
利用有限元分析方法对复合材料结构进行力学性能和热学性能分析，以指导优化设计。
07
CHAPTER
复合材料回收利用与环保问题探讨
当前复合材料回收利用率较低，大量废弃物未得到有效利用。
回收利用率低
复合材料种类繁多，回收处理技术复杂，难以实现高效、低成本回收。
技术挑战
缺乏成熟的复合材料回收市场，回收产业链尚不健全。
市场机制不完善
回收利用现状及挑战
生产成本增加
环保法规的实施导致企业生产成本增加，对产业发展带来一定压力。

EL E f f Emm E f f Em 1 f （8.6）
这就是复合材料沿纤维方向的弹性模量混
合律。EL与f具有线性关系，当f由0~1变化时，
EL从Em~Ef按线性变化，如图8.4所示。
图8.4 EL和f的关系
假设代表性体积单元长度为l，宽度为w，而且w=wf+wm(见图8.3)。当单
变形为w，如图8.6所示。根据沿2方向的平衡条件，
纤维和基体必然承受相同的横向应力，均等于单元受
到的横向应力，有 f 2 m2 2
纤维和基体的横向应变为
f2
2
Ef
,
m2
2
Em
单元的横向变形是纤维和基体的变形之和，则有
w wf wm f 2wf m2wm
（8.8）
图8.6 代表性体积单元体 2方向拉伸示意图
纤维与基体的相对比例是决定复合材料性能的重要因素，常用质量分数和
体积分数表示各相材料所占的比例。长为l，横截面为A的代表性体积单元，其
质量为m，密度为；该单元的纤维质量为mf，密度为f；基体质量为mm，密 度为m；纤维和基体的横截面分别为Af和Am。则有关系式
m m f mm （8.1）
Al Af l Aml
于是单元的
横向应变2为
2
w w
f
2
wf w
m2
wm w
f2
Ef
f
m2
Em
m
引入横向弹性模量ET，可建立单元的应变与应力关系为： 2 由以上各式可将复合材料的表观横向弹性模量
2
ET
ET表示为：
1 f m f 1 f
ET E f Em E f Em
（8.9）
式（8.9）表示沿2方向的弹性模量倒数（柔量）满足混合律，该式可改写