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专题二：函数的周期性和对称性
【高考地位】
函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研
究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我
们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【方法点评】
一、函数的周期性求法
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：第一步合理利用已知函数关系并进行适当地变形；
第二步准确求出函数的周期性；
第三步运用函数的周期性求解实际问题.
例 1 (1) 函数 f ( x) 对于任意实数x 满足条件 f (x 2)
1
5 ，则 f ( f (5)) （）
，若 f (1)
f ( x)
A． 5 B ． 5 C ．1
D ． 1
5 5
【答案】 D
考点：函数的周期性．
(2) 已知f x 在 R 上是奇函数，且满足 f x 5 f x ，当 x 0,5 时， f x x2 x ，则 f 2016 （）
A、 -12 B 、 -16 C 、 -20 D 、 0
【答案】 A
试题分析：因为 f x 5 f x ，所以 f x 10 f x 5 f x ， f x 的周期为 10 ，因此
f 2016 f 4 f 4 16 4 12 ，故选A．
考点： 1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性．
【点评】 (1) 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利
用函数周期性求值．(2) 求函数周期的方法
【变式演练1】已知定义在R上的函数f ( x)满足f ( x) f ( x) ， f (3 x) f ( x) ，则 f (2019) （）A．3 B．0C．1D．3
【答案】 B
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【变式演练 2】定义在 R 上的函数
f x 满足 f x 2 f x 0, x 0,2 时，f x
3x 1，则 f 2015 的值为（
）
A.-2
B.0
C.2
D.8
【答案】 A
试题分析： 由已知可得 f ( x 4) f ( x 2)
f (x)
f
x 的周期 T 4 f 2015f (3)
f (1) 2 ，故选 A. 考点：函数的周期性 .
【变式演练 3】定义在 R 上的偶函数 y
f (x) 满足 f ( x 2) f ( x) ，且在 x [ 2,0] 上为增函数， a 3
f ( ) ，
2
b
f ( 7
) ， c f (log 1 8) ，则下列不等式成立的是（
）
2 2
A ． a b c
B ． b c a
C
． b a c
D
． c a b
【答案】 B
试题分析：因为定义在 R 上的偶函数 y
f ( x) 在 x [ 2,0] 上为增函数，所以在 x [0, 2] 上单调递减，又 f (x
4) f ( x) ，所以 b
f ( 7
) f 1 , c f (log 1 8)
f
3 f 1 ，又
1
1 3 ，所以 b c a ．
2 2 2
2
2
考点： 1．偶函数的性质； 2．函数的周期性．
二、函数的对称性问题
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：记住常见的几种对称结论：
第一类
函数 f ( x) 满足
第二类
函数 f ( x) 满足
f ( x a)
f (b x) 时，函数 y
f ( x) 的图像关于直线
a b x
对称；
2
f ( x a)
f (b x) c 时，函数 y
f ( x) 的图像关于点 (
a b , c
) 对称；
2
2
第三类
函数 y f ( x
a) 的图像与函数 y f (b
x) 的图像关于直线 x
b a
对称 .
2
例 2 ．（从对称性思考） 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x)f (x) ， f (3
x)
f ( x) ，则 f (2019)
（ )
A ． 3
B ． 0
C ． 1
D ． 3
【答案】 B
精品文档【易错点晴】函数 f (x) 满足f (- x) - f (x), 则函数关于中心对称， f (3 x) f (x) , 则函数关于x 2
（0，0）轴对称，
3
常用结论：若在R 上的函数 f ( x) 满足 f (a x) f ( a x), f (b x) f (b x) ，则函数 f ( x) 以 4 | a b | 为周期.
本题中，利用此结论可得周期为 4 0 - 2
6 ，进而 f (2019) f (3) ， f (3) 需要回到本题利用题干条件赋值即可. 3
例 3 已知定义在 R 上的函数 f x 的图象关于点3
,0 对称 , 且满足 f x f x 3 , 又4 2
f 1 1, f 0 2 ,则 f 1 f 2 f 3 ... f 2008 （）
A．669 B ． 670 C ． 2008 D ． 1
【答案】 D
试题分析：由 f x f x 3 得 f x f x 3 ，又 f 1 1, f 0 2 ，
2
f ( 1) f ( 1 3) f (2) ， f (0) f (3) ， f x 的图象关于点3
,0 对称，所以4
f 1 f ( 1 ) f ( 1 3) f (1), f (1) f (2) f (3) 0 ，由 f x f x 3 可得
2 2 2
f 1 f 2 f 3 ... f 2008 669 ( f 1 f 2 f 3 ) f (1) f (1) f ( 1) 1，故选 D.
考点：函数的周期性；函数的对称性．
例 4 已知函数 g( x) a x2 ( 1 x e, e 为自然对数的底数）与 h( x) 2ln x 的图像上存在关于x 轴对称的点，则
e
实数 a 的取值范围是（）
A．[1, 1
B．[1,e 2 2]
1 2 2
) 2 2] C．[ 2 2,e 2] D．[ e 2,
e e 【答案】 B
考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题.
【变式演练4】定义在R上的奇函数f ( x)，对于x R ，都有 f (3
x) f (
3
x) ，且满足 f ( 4) 2 ，4 4
f (2) m 3
，则实数 m 的取值范围是. m
【答案】或
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试题分析：由 f (
3
x) f (
3
x) ，因此函数
f ( x) 图象关于直线 x
3 对称，又 f ( x) 是奇函数，因此它也是周期函
4 4
4
3
3 ，∵ f (4) 2 ，∴ f (
4)f (4) 2 ，∴ f (2)
f (2 3 2) f ( 4) ，即 m 3 数，且 T 4
2 ，解得
4
m
x
1或0 x 3 .
考点：函数的奇偶性、周期性
.
【高考再现】
1. 【 2016 高考新课标 2 理数】已知函数
f (x)( x R ) 满足 f ( x)
2
x 1
与 y
f (x) 图像的交
f ( x) ，若函数 y
x
m
点为 (x 1, y 1 ),( x 2 , y 2 ), ,( x m , y m ), 则 ( x i y i ) （
）
i 1
（ A ） 0 （ B ） m
（ C ） 2m
（ D ） 4m
【答案】 C
试题分析：由于
f
x f x
2 ，不妨设 f x
x 1 ，与函数 y
x
1
1
1
1,2 ,
1,0 ，故
x
的交点为
x
x 1 x 2 y 1 y 2 2 ，故选 C.
考点： 函数图象的性质
【名师点睛】 如果函数 f (x) ， x
D ，满足 x D ，恒有 f (a x)
f (b x) ，那么函数的图象有对称轴 x
a b ；
2
如果函数 f ( x) ， x D ，满足 x D ，恒有 f ( a x)
f (b x) ，那么函数的图象有对称中心 .
2. 【 2016 高考山东理数】已知函数
f(x)的定义域为 R.当 x<0 时，
f (x) x 3
1 ；当 1 x 1 时， f ( x) f (x) ；
当 x
1 时， f (x 1) f ( x 1
)
2
2 2
.则 f(6)= （ ）
（ A ） - 2 （ B ） - 1
（ C ） 0
（ D ） 2
【答案】 D
考点： 1.函数的奇偶性与周期性；
2.分段函数 .
【名师点睛】本 题主要考查分 段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容
.本题具备一定难度 .解答此
类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化
.本题能较好的考查考生分析问题解决
问题的能力、基本计算能力等
.
3. 【 2016 年高考四川理数】已知函数
f ( x) 是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0＜ x ＜ 1 时， f (x) 4x ，则
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f (
5
) f (1) =
.
2
【答案】 -2
考点：函数的奇偶性和周期性
.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把
f (
5
) 和 f (1) ，利用奇偶性与周期性
2
化为 (0,1) 上的函数值即可．
x a, 1 x 0,
5. 【 2016 高考江苏卷】设
f (x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 [ 1,1)上， f ( x)2
x ,0 x
其中
5 1,
a R. 若 f (
5) f ( 9
) ，则 f (5a) 的值是.
2
2
【答案】
2
5
【解析】 f ( 5
1
) f ( 9
1 1 1
2 3
) f (
)
f ( )
a
2 a
，
2 2
2
2 2 5
5
因此 f (5a) f (3)
f (1)
f ( 1)
3 2
1
5
5
考点：分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的 考查方向注重 对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么 .函数周期性质可
以将未知区间上的自变量转化到已知区间上
.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是
分段函数结合点处函数值
.
【反馈练习】
1. 【 2016 届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理
4】设函数 y f ( x) 定义在实数集 R 上，则函数 y f (a x) 与
y f ( x a) 的图象（
）
A ．关于直线 y 0 对称
B
．关于直线
x 0 对称 C ．关于直线 y a 对称
D
．关于直线 x a 对称
【答案】 D
2．【 2017 届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数
f x 是定义在 R 内的奇函数，且
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A． -2B．2 C ． -98 D ． 98
【答案】 A
试题分析：由 f x 4 f x 得 f x 的周期 T 4 f 2015 f (3) f ( 1) f (1) 2 ，故选 A.
考点： 1、函数的奇偶性；2、函数的周期性 .
3. 【 2017 届河南新乡一中高三9月月考数学，文 8】定义在R上的偶函数 f (x) 满足 f (x 3) f ( x) ，对x1 , x2 [0,3]
且 x1 x2，都有f ( x1 ) f ( x2 )
0 ，则有（）
x1 x2
A．f (49) f (64) f (81) B．f (49) f (81) f (64) C．f (64) f (49) f (81) D． f (64) f (81) f (49) 【答案】 A
【解析】
试题分析：因为 f (x 3) f (x) ，所以 f ( x 6) f (x 3) f x ，及 f x 是周期为 6 的函数，结合 f ( x)是偶函数可得， f (49) f 1 , f (64) f 2 f 2 , f (81) f 3 f 3 ，再由x1 , x2 [0,3] 且 x1 x2，
f ( x1 ) f (x2 )
0 得 f ( x) 在 [0,3] 上递增，因此 f (1) f (2) f (3) ，即 f (49) f (64) f (81) ，故选A．
x1 x2
考点： 1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．
4. 【 2017 届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R上的函数f ( x)满足：y f (x 1) 的图
象关于点对称，且当x 0 时恒有3 1 x
(1,0) f ( x ) f ( x ) ，当x [0, 2) 时， f ( x) e ，则
2 1
2
f (2016) f ( 2015) （）
A．1 e B ． e 1 C ． 1 e D ． e 1 【答案】 A
试题分析： y f ( x 1) 的图象关于(1,0) 点对称，则 f x 关于原点对称 . 当 x 0 时恒有 f ( x 3 ) f (x 1
) 即函
2 2
数 f x 的周期为2.所以 f (2016) f ( 2015) f 0 f 1 1 e .
考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数．
5. 【 2016-2017 学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理 11】已知函数f ( x) a x2 (1 x 2) 与g(x) x 2 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围是（）
A．[9
, ) B ．[
9
,0] C ． [ 2,0] D ． [2, 4] 4 4
【答案】 C
精品文档【解析】
考点：构造函数法求方程的解及参数范围.
6. 【2017 届河北武邑中学高三上周考8.14 数学试卷，理
1 f ( x) 9】若对正常数m和任意实数x，等式f (x m)
f ( x)
1
成立，则下列说法正确的是（）
A．函数 f (x) 是周期函数，最小正周期为2m C．函数 f (x) 是周期函数，最小正周期为4m 【答案】 C B．函数 f ( x) 是奇函数，但不是周期函数D．函数 f ( x) 是偶函数，但不是周期函数
考点：函数的周期性．
7. 【 2017 届四川成都七中高三10 月段测数学试卷，文10】函数f (x)的定义域为R，以下命题正确的是（）
①同一坐标系中，函数y f ( x 1) 与函数 y f (1 x) 的图象关于直线x 1 对称；
②函数 f ( x) 的图象既关于点( 3
,0) 成中心对称，对于任意x ，又有f ( x 3 ) f (x) ，则 f ( x)的图象关于直线4 2
x 3
对称；2
③函数 f ( x) 对于任意 x ，满足关系式 f (x 2) f ( x 4) ，则函数 y f ( x 3) 是奇函数. A．①②B ．①③ C ．②③ D ．①②③
【答案】 D
【解析】
试题分析：
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①正确，因为函数 y f x 与 y
f x 关于 y 轴对称，而 y f x 1 和 y
f 1 x 都是 y
f x 与 y
f
x 向
右平移 1 个单位得到的，所以关于直线 x 1对称；
②正确，因为函数关于点
- 3
，0 成中心对称，所以 f
3
x
f x ，而 f (x
3) f ( x) ，所以
4
2
2
f
3
xf
3 x ，即 f
x
f x ，又根据 f (x
3) f (x) ，可得函数的周期 T 3, 又有 f
x
f x ，
2
2
2
所以 f 3 f
x
3 f x
3 ，所以函数关于直线
x
3 对称；
x
2
2 2
2
x
2
x 4
3，所以函数 f x 关于点
3,0 对称，而函数 y f x 3 是函数 y f x 向左平
③正确，因为
2
移 3 个单位得到，所以函数 y f x 3 是奇函数 . 故 3 个命题都正确，故选 D.
考点：抽象函数的性质
2 x 2 4x 1(x 0)
8. 【 2015-2016 学年东北育才学校高二下段考二试数学，文
12】函数 f ( x)
2x
的图像上关于原点
( x 0)
e
对称的点有（ ）对
A. 0
B. 2
C. 3
D.
无数个
【答案】 B
2x 2 4x 1( x 0)
y 2x 2
4x 1 关于原点对称的图象，记
试题分析：作出函数 f (x)
2x
的图象如图所示，再作出
(x 0)
e
为曲线 C . 容易发现与曲线 C 有且只有两个不同的交点，所以满足条件的对称点有两对，即图中的
A, B 就是符合题意
的点，故选 B.
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考点：函数的图象与性质及应用．
9. 【 2015-2016 学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R 上的函数 f x 满足
f x f x 2 0 ， f (4 x) f ( x) .现有以下三种叙述：① 8是函数f x 的一个周期；② f x 的图象关于直线x 2 对称；③ f x 是偶函数.其中正确的是（）
A．②③ B.①②C．①③ D.①②③
【答案】 D
考点：函数周期性、对称性和奇偶性．