高二数学 上学期直线的方程定比分点知识的应用例题解析

5
4
7.C 8.C 9.(1)－ (2)
3
3
用心 爱心 专心
y 6 8t
A. y=4x+24
y=4x+6
C.y－ 6=4( x+3)
3.若方程 Ax+By+C =0 表示与两条坐标轴都相交的直线，则
A0 A. B 0
C0
A0 B.
B0
B0 C.
C0
D. y+6=4( x－3) ()
A0 D.
C0
4.直线 l 的方程为 Ax+By+C =0,若 l 过原点和二、四象限，则 ( )
C0 A.
B0
C0 B. B 0
A0
C0 C.
AB 0
C0 D.
AB 0
5.直线 Ax+By+C =0 的系数满足条件
时,直线只与 x 轴相交且与 y 轴平行 .
6.纵截距为－ 4,与两坐标轴围成三角形的面积为 20 的直线的一般式方程为
.
7.两条直线 nx－my－mn=0 与 mx－ny－mn=0( m≠ 0,n≠ 0)的图形可能是下图中的 ( )
图 7— 4
8.过 (x1， y1)和 (x2 ， y2)两点的直线的方程是 ( )
y A.
y1
y2 y1
x x1 x2 x1
y B.
y1
y2 y1
x x1 x1 x2
C.(y2 y1 )( x x1) ( x2 x1 )( y y1) 0
D.(x2 x1 )( x x1) ( y2 y1 )( y y1 ) 0
9.设直线 l 的方程为 (m2－ 2m－ 3)x+(2 m2+m－ 1)y+6－ 2m=0，根据下列条件分别确定实数 m 的值 .

高二数学 上学期两条直线的位置关系例题（八）［例1］求直线x －2y －1=0关于直线x+y －1=0对称的直线的方程.选题意图：考查直线关于直线对称问题的解法.解法1：由⎩⎨⎧=-+=--01012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ∴点(1，0)为两已知直线的交点.设所求直线的斜率为k ,由一条直线到一条直线角的公式得2,11211211=-+=---k k k 故所求直线方程为y =2(x －1),即2x －y －2=0.解法2：由解法1知两已知直线的交点为A (1，0).在直线x －2y －1=0上取一点B (0，－21)，设点B 关于直线x+y －1=0的对称点为C (x 0，y 0)，则 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-⋅---=++-++1)1(2)21(01221200000x y y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==12300y x ∴C 点的坐标为(23，1). 直线AC 的方程为,1231010--=--x y 2x －y －2=0. 即直线x －2y －1=0关于直线x+y －1=0对称的直线方程为2x －y －2=0.说明：求直线l 关于直线l 1对称的直线方程，只要在l 上取两点A 、B ，求A 、B 关于l 1的对称点A ′、B ′，然后写出直线A ′B ′的方程即为所求.［例2］求经过直线3x +2y +6=0和2x +5y －7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.选题意图：考查截距式及分类讨论的思想.解法1：由方程组⎩⎨⎧=-+=++07520623y x y x 得⎩⎨⎧=-=34y x ∴两已知直线的交点为(－4,3).当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等. ∴所求直线的方程为y =－43x , 即3x +4y =0.当所求直线不过原点时，设所求直线方程为x+y=a ,因为点(－4，3)在直线x+y=a 上， ∴－4+3=a ,a =－1，故所求直线方程为x+y +1=0.综上所述，所求直线方程为3x +4y =0或x+y +1=0.解法2：∵所求直线经过直线3x +2y +6=0和直线2x +5y －7=0的交点，所以可设所求直线的方程为3x +2y +6+λ(2x +5y －7)=0(*)在(*)式中，令x =0得y =λλ5267+-, 令y =0得x =λλ2367+-. 由题意得λλ5267+-=λλ2367+-.所以λ=76或λ=31.把λ=76和λ=31分别代入（*）式整理即得3x +4y =0和x+y +1=0. 说明：解法1设直线的截距式时注意了截距为0的情形.故而没有直接设成a y a x +=1的形式，解法2中用到了过两直线A 1x +B 1y +C 1=0与A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程：A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0.［例3］已知两条直线l 1:ax －by +4=0,l 2:(a －1)x+y+b =0,求分别满足下列条件的a 、b 的值.(1)直线l 1过点(－3,－1)，并且直线l 1与直线l 2垂直.(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1、l 2的距离相等.选题意图：考查直线与直线平行及垂直的问题的处理方法.解：(1)∵l 1⊥l 2,∴a (a +1)+(－b )·1＝0.a 2－a －b =0①又点(－3,－1)在l 1上∴－3a +b +4=0②由①②解得a =2,b =2.(2)∵l 1∥l 2且l 2的斜率为1－a .∴l 1的斜率也存在aa b a b a -=-=1,1 故l 1和l 2的方程可分别表示为l 1：(a －1)x+y +aa )1(4-=0, l 2：(a －1)x+y +a a -1=0. ∵原点到l 1和l 2的距离相等.∴4｜a a ｜＝｜a a -1｜，a =2,或a =32. 因此⎩⎨⎧-==22b a 或⎪⎩⎪⎨⎧==232b a说明：在(2)中由于l1∥l2，l2有斜率，从而得出l1有斜率即b≠0.。

定比分点的向量式及其应用举例河北陈庆新课本上的例习题大都具有典型性，示范性与实用性等特点，仔细研究，深入挖掘其使用价值，一定会使我们受益匪浅．人教版高一数学(下)第五章107页例5是这样一个题目：如图1，−→−OA、−→−OB不共线，−→−AP＝t−→−AB(t∈R)，用−→−OA、−→−OB表示−→−OP．这道例题是在本章的第3节中学过的，它主要考查了我们对于向量加、减法及共线向量等知识，略解如下：−→−OP＝−→−OA＋−→−AP＝−→−OA＋t−→−AB＝−→−OA＋t(−→−OB－−→−OA)＝(1－t)−→−OA+t−→−OB．本例的结果揭示出点P在直线AB上的应满足的一个条件关系式，事实上也刻画出了直线AB的向量式方程．现在我们学完定比分点的内容后，再从另外的角度重新审视这道题目，是不是会有新的发现与认识呢？对本例的结果可作如下变形：−→−OP＝(1－t)−→−OA＋t−→−OB＝ttOBtOAt+-+-−→−−→−)1()1(＝ttOBttOA-+-+−→−−→−111，其中t≠1．令t 1－t ＝λ，则有−→−OP＝λλ+⋅+−→−−→−1OBOA(λ≠－1)，此式与定比分点的坐标公式结构一致，为此我们称其为：定比分点的向量式，其中λ为点P分有向线段−→−AB所成的比．特殊地，当λ＝1，即t＝12时，此时点P为线段AB的中点，有−→−OP＝2−→−−→−+OBOA(中点的向量公式)．又由−→−OP＝λλ+⋅+−→−−→−1OBOA＝11+λ−→−OA＋λ1+λ−→−OB，且发现11+λ＋λ1+λ＝1 若令m＝11+λ，n＝λ1+λ，则本例的结果−→−OP＝(1－t)−→−OA+t−→−OB可变形为：−→−OP ＝OABP图1m −→−OA +n −→−OB ，其中m ＋n ＝1，即A 、B 、P 三点共线的充要条件是：m ＋n ＝1．通过对上述例题的引申与变形，我们揭示出这样两个重要结论： (1)O 、A 、B 三点不共线，则P 、A 、B 三点共线的充要条件为：−→−OP ＝m −→−OA ＋n −→−OB ，m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1；(2) O 、A 、B 三点不共线，点P 分有向线段−→−AB 所成的比为λ，则有−→−OP ＝λλ+⋅+−→−−→−1OBOA (λ≠－1)； 特殊地，当特殊地，当λ＝1，即t ＝12时，此时点P 为线段AB 的中点，有−→−OP ＝2−→−−→−+OBOA ． 事实上，我们发掘的上述结论颇具实用价值，在解题中有着广泛的应用，尤其是在处理有关几何图形中的多点共线或与线段的中点或定比分点有关的问题时，有着特有的优越性。

高中数学例题：直线方程的综合应用例6．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0 x+13y+5=0【解析】 BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =， ∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0． 设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0． ∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式． 举一反三：【变式1】下列四个命题中真命题是( )（A ）经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示；（B ）经过任意两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示；（C ）不经过原点的直线都可以用方程a x +by ＝1表示；（D ）经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示.【答案】（B ）【变式2】 已知倾斜角为45°的直线l 过点A （1，－2）和点B ，B在第一象限，||AB =，求点B 的坐标．【答案】（4，1）【解析】设B 点坐标为(),(0,0)x y x y >>，直线l 的方程为：21y x +=-，因为B 在直线l上，且||AB =，所以3y x =-⎧=，解之得：4x =或2x =-（舍去），所以B 点坐标为（4，1）。