5.3三角函数

第5章 三角函数
5.3任意角的正弦函数、 余弦函数、正切函数
动脑思考
探索新知
三
角 函 数
y x sin cos r r
y tan x
在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照 相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别
有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的
函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统 称为三角函数．
创设情景
兴趣导入
0, y 0，
当角α的终边在第三象限时，点 的终边在第一象限时，点 的终边在第二象限时，点 的终边在第四象限时，点P在第一象限，x 所以， sinα 0,cosα 0,tanα 0；
sinα>0
cosα<0
y
sinα>0
19 3 ； （4） ． 4 6
2．根据条件 sin 0 且 tan 0 , 确定 是第几象限的角．
归纳小结 自我反思
三
角 函 数
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
布置作业 继续探究
三
角 函 数
阅读
书面
实践
教材章节5.3
学习与训练5.3
0， 27 0， cos 5 0，
0． 0．
0，
巩固知识 典型例题
三
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
角 函 数
y
y
+ o
sinα
+
x
+
o
-
+
-
x
tanα
应用知识 强化练习

课时教案课题 5.3-1三角函数的概念课时 1 课型新授课教学目的掌握任意角的三角函数的定义，会利用定义求任意角的三角函数值．重点任意角的三角函数的概念难点任意角的三角函数值符号的确定关键教师的例题讲解与学生的练习相结合教具资料直尺学生准备用品笔、本教学环节教学内容教育教学调控组织教学师生问好,查出缺席1分钟引入以直角三角形中角A的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的相关知识导入新课．5分钟新授内容将锐角三角形放到直角坐标系中，如右图所示．设点C的坐标为(,)x y，AC边的长度为r，则角A的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割可以分别写作:sinyAr=；cosxAr=；tanyAx=；cotxAy=；cscryα=；secrxα=.下面，把这个定义推广到任意角.如右图所示，设角α是任意大小的角,在角α的终边上取不与原点重合的任意点(,)P x y,它到原点的距离是220r x y=+>，则角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别定义为由于角α的余割、正割、余切分别是角α的正弦、余弦、正切的倒数，因此只需重点研究正弦函数、余弦函数与正切函数.由定义可以看出，正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下：三角函数定义域sinαRcosαRtanα｛2,Zk kααπ≠π+∈｝15´sinyrα=；cos xrα=；tan yxα=；cot xyα=；sec rxα=；csc ryα= .当角α采用弧度制时,角α的取值集合与实数集R 之间具有一一对应的关系,所以三角函数是以实数α为自变量的函数.2．概念的强化（利用课件演示、讲授，启发学生回答，6分钟）例1（讲授）已知角α的终边经过点(2,3)P -,求sin α、sin α和tan α.解 因为 2x =, 3y =-，所以222(3)13r =+-=.于是 3313sin 1313y r α-===-； 2213cos 1313x r α===； 3tan 2y x α==-．注意 知道角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要求出点P 到坐标原点的距离r ，然后利用三角函数的定义直接进行计算．巩固练习1．已知点P (3,4)为角α终边上一点，求sin α、cos α和tan α． 2．已知点P (1,0)为角α终边上一点，求sin α、cos α和tan α．答案：1．4sin 5α=；3cos 5α=；4tan 3α=． 2．sin 0α=；cos 1α=；tan 0α=．综合应用 13´小结: 本节需掌握任意角的三角函数的定义，并会利用定义来求三角函数 2´。

图5.3.1-9
知识点2 正弦函数、余弦函数的性质
例2-2 (2024·北京四十四中期中)若函数 = sin 和 = cos 在区间上都是增函数，
则区间可以是( D
A. 0,
π
2
)
B.
π
,π
2
C. π,
3π
2
D.
3π
, 2π
2
【解析】函数 = sin 和 = cos 在区间D上都是增函数，则区间D为
性质：值域为[0,1]；是偶函数；周期为π ；
π
π
在区间[− + π, π] ∈ 上单调递增，在区间[π, + π] ∈ 上单调递减.
2
2
例12 (2024·江西省宜春市宜丰中学月考)函数 = cos ⋅ ln
上的图象大致为( B
)
A.
B.
【解析】 − = cos − ⋅ ln
1 = −1 ，又 1 = − −1 ，因此 1 = −1 = 0，故C正确;对于D，

1
2
= −
3
2
，所以
1
2
+
3
2
= −
3
2
+
3
2
= 0，故D错误.
知识点4 正弦型函数 = + 及余弦型函数 = +
的性质
例4-7 (2024·山西省晋城一中月考)函数 = 2sin
2 3
3
π
此时− ≤ sin 2 + ≤ 1,
2
3
π
∴ − 3 ≤ 2sin 2 + ≤ 2.
3
∴ 函数 = 2sin 2

y
的终边
y
P1 ( x, y )
的终边
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) tan
终边关于原点对称
的终边 y
P( x, y ) P3 ( x, y )
P( x, y )
O
的终边
x
x
O
的终边
1
= sin 180° + 30° = −sin30° = − 2 ．
故选：B
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练2】sin
1
89π
6
=（
）
1
A． 2
B．− 2
C．
3
2
D．−
【答案】A
【解析】sin
故选：A．
89π
6
= sin 15π −
π
6
π
1
= sin 6 = 2 ．
3
2
作出与的终边关于直线 = 对称的角的终边, 并指出该角的大小.
= cos155° = cos 90° + 65° = −sin65°，
故选：D．
D．−sin65°
典型例题
题型一：利用诱导公式求解给角求值问题
【对点训练1】sin −1230° =（
1
A． 2
1
B．− 2
）．
C．
3
2
D．−
3
2
【答案】B
【解析】sin −1230° = sin −360° × 4 + 210° = sin210°
诱导公式一~四
公式一
( + ) =