第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
【最新考纲】 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
【高考会这样考】 1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程．
要 点 梳 理
1.直线与圆的位置关系
设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，
由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0
消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.
2.圆与圆的位置关系
设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
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1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－
b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.
2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()
解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.
答案(1)×(2)×(3)×(4)√
2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()
A.内切
B.相交
C.外切
D.相离
解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋12＝17.∵3－2答案 B
3.已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为()
A.±3
B.±
3
3 C.±
3
2 D.±1
解析将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.
答案 D
4.已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________.
解析在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋
2，则
|2|
k 2＋1
＝1，所以k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2. 答案 x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝0
5.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________.
解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，
x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，
得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2
＝0的距离为2
2
＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为2 2. 答案 22
题型分类 深度解析考点一 直线与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置关系
【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
(2)(一题多解)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________. 解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1
a 2＋
b 2
＜1，故直线与圆O 相交.
(2)法一 将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)＜0，解得－3＜k ＜ 3. 法二 圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2
k 2＋1
，直线与圆没有公共点的充要条件是d ＞1， 即
2
k 2
＋1
＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案 (1)B (2)－3＜k ＜ 3
规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【变式练习1】 (1)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )
