S3-非线性自治系统
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第三章--等价线性化法、谐波平衡法、
B1 sin
3
将上式代入前式，进行谐波平衡，可得
2
1 9
3 4
A1
2
3
A1 A1
3
2 A12
2B12
0
1
3
3 4
B1
A1
3
0
1 2
A1
1 4
A1 3
3
6 A1B1 2
3
3A13
3A1B12 B1
H
1 2
B1
3 4
B1
2
A1
3
2
B12
A12 B1
G
A1 2 B1 2 2
mx
1
2 0
fm
A0 ,
A, sind sin
1
2 0
fm
A0 ,
A, cosd cos
1
2 0
fk
A0 ,
A, sind sin
1
2 0
fk
A0 ,
A,
cosd
cos
F
sin
t
1
2
2 0
f
m
A,
d
1
2
2
0 fk
A0, A,
d
(3-18)
或
mx
1
2
A
2 0
n1
fk x, x a 0 an cosn bn sin n
n1
n 1,2,3,,
(3-5)
对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力
远大于二次及其他高次谐波力，因此可以将后者看作是小量， 近似计算时可略去。这时可取近似值为
fm x, x c1 cos d1 sin
第七章 非线性动力学与混沌 讲义
2. 线性化方程组的解及其稳定性
12
111 21 1
122 222
试探解：1 Aet ,2 Bet
11
21
12
22
A B
0
ij
( fi x j
)0
11 12 0 21 22
2 T 0
T 11 22
系数矩阵的迹
11 22 12 21 系数行列式的值
特征根
❖ 刘式达，刘式适，《非线性动力学和复杂 现象》，气象出版社，1989
§7.1 引言
一. “非线性动力学”的表观含义
数学上：
f (x) ax b
f
(x)
ax2
bx
c
线性 非线性
定义：力或微分方程含有坐标或速度的非线性项的系 统，称为非线性动力学系统，反之称为线性动力学系统。
例：
mx kx 2x2
1. 定态解 xi 0 i 1,2, , n
x2
平衡点，奇点
x1
2. 发散解
xi 之一或几个随时间无限地偏离初值 x2
爆炸，散射
x1
3. 振荡解
既不趋于无穷大，也不终止于某一点，而是在一定区域内不断变化。
❖ 周期振荡
❖ 准周期振荡
x2 闭合曲线
x1
x2 非闭合曲线
x1
❖ 混沌
相轨迹没有确定的形状周 期、貌似随机的运动。
1,2 T
T 2 4 2
特征矩阵
A1 B1
A2 B2
1 c1 A1e1t c2 A2e2t
2
c1B1e1t
c2 B2e2t
渐进稳定
临界情况 不稳定
1,2 T
T 2 4 2
非线性振动-近似求解
这样，方程(10-1)可以写成以下形式：
2 2 2 & &0 + ω 2 && && x 0 x 0 + ε( x1 + ω 0 x1 ) + ε ( x 2 + ω 0 x 2 ) + L &0 ) &0 ) &0 ) &0 ) ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x 0 , x ∂f ( x0 , x & 0 ) + ε x1 &0 &2 +x = ε f ( x0 , x +x + ε 2 x2 & & ∂x ∂x ∂x ∂x 2 2 2 &0 ) & 0 ) 1 1 ∂ f ( x0 , x & 0 ) ∂ f ( x0 , x ∂ f ( x0 , x 1 & & + x12 + x x x 1 1 2 + L & &2 ∂x∂x 2! 2! ∂x 2 ∂x
2 & & + ω0 &) x x = ε 是 x 和 x & ) 是一个小量，以致于可以被看作是 & 的非线性解析函数，ε为小参数，ε f ( x, x 式中的 f ( x, x 一个摄动。当ε = 0，方程(10-1)变为
2 & & + ω0 x x=0
(10-2)
& &0 + ε& &1 + ε 2 & &2 + x 0 + εx1 + ε 2 x 2 + L x x x & 0 + εx &1 + ε 2 x & 2 + L) = ε[1 − ( x0 + εx1 + ε 2 x 2 + L) 2 ]( x
分岔的数值算法及其应用
分岔的数值算法及其应用对于非线性自治系统),(μx f dtdx = 如果参数μ在某一个值c μ附近微小变化，将引起方程解的性质或结构的突变，此现象称为分岔现象，此时的参数值c μ称为分岔值。
分岔可分为静态分岔和动态分岔，静态分岔有鞍-结分岔、跨临界分岔、叉型分叉，动态分岔主要是Hopf 分岔。
分岔问题的研究起源于 18 世纪以来对天体力学、流体力学和非线性振动中一些失稳现象的探讨，它具有深刻的工程应用背景。
1834 年，Jacobi 在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的平衡图形时，首先引用分岔这个术语．1885 年，Poincare 提出了旋转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论。
固体力学的屈曲(buckling)问题一直是推动分岔研究的重要动力。
20 世纪 30 年代，Van der Pol 和 Andronov 等在非线性振动研究中已经发现大量的分岔现象．然而，在相当长的一段时间里，分岔研究主要是分散在应用领域中单独进行的，没有形成系统的分岔理论。
直到上个世纪 70 年代，微分动力系统、突变、奇异性、非线性分析等方面逐渐形成了现代数学理论，电子计算机和有效计算手段的相继出现，才形成了研究分岔现象的分支学科．到目前为止，尽管分岔理论的各个分支学科仍在发展之中，但分岔理论基本上已经形成了一门完善的学科。
经过一百多年来微分方程理论的发展，特别是近二三十年来，在微分动力系统和数值计算技术的推动下，分岔理论的研究与应用已超越原来的数学学科的界限，广泛应用于力学，物理学，化学，生物学，生态学等学科和自动控制，系统工程，机械振动等工程技术部门，以及经济学和社会科学等领域．分岔问题研究的内容广泛而丰富，对其研究既需要较深厚的数学基础，又需要较宽广的专 业知识。
归纳起来，其主要研究内容大致分为如下几个方面(1) 分岔集的确定，即确定系统产生分岔的必要条件和充分条件，这是分岔问题研究的基本内容。
(2) 分岔定性性态的研究，即研究分岔出现时系统拓扑结构随参数变化的情况，这是分岔研究的重要内容。
一类二维非线性自治系统的定性分析
限 环 ｒ＝ １ ．
关键词 ：零解 ；极 限环 ；稳定性
中图分 类号 ： ７ ０１ ５
文献标志 码 ： Ａ
Ｑｕ ｌ ａ ｉｅＡ ａｙ ｉ ｏ ｉｄ ｏ ｗ － ｍｅ ｓ ｎ Ｎｏ ｌ ｅ ｒＡｕｏ ｏ ｕ ｙ ｔｍ ａｉ ｔ ｎ ｌｓ ｆ ｋ ｎ ｆ ｏＤｉ ｎ ｉ ｎ ｉ ａ ｔｎ ｍｏ ｓＳ ｓｅ ｔ ｖ ｓ ａ Ｔ ｏ ｎ
Ｗ ａ ｇＸｉபைடு நூலகம்ｉｇ 一，Ｚ ａ ｇ Ｙａ ２ ａ ｎ ａｊ ｎ ｈ ｎ ｎ ，Ｂ ｉ Ｙｕ
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆ ｏ ｅｔｙ ｅ ｉｇＦ ｒｓｒ ｉ ｒｉ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ ３ ２ ｃ ｏ ｌ ｆＳ ｉ ｃ ，Ｂ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｒｓｒ ，Ｂ ｉ ｏ ｅｔｙＵｎｖ ｓ ｙ ｅ ｉｇ１ ０ ８ ； ．Ｓ ｈ ｏ ｃ ｎ ｅ ＵＣＥ ｅ ｉｇ １ ０ ４ ） Ｆ ｊ ｎ ｅ ｔ ｊ ｏ ｅ Ａ Ｂ ｉ ０ ０ ４ ｊ ｎ
收稿 日期 ： ０ ８—１ ０ ２０ ０ ７
作者简介 ： 王晓静 （９ ２ ， 讲师 ， １ ７ 一） 女。 博士研究生， 研究方 向： 生态数学
第 ４期
王 晓 静 等 ： 类 二 维 非 线 性 自治 系统 的 定性 分 析 一
ｄＯ
，
６ ７
是稳定 的， 应的零 解为 渐近 稳定 的 ， 当 Ｒｅ １ 对 但 Ａ ＞０ 时奇点 和对应 的零 解 均 为不 稳 定 的 ； Ｒ Ａ ＝０时 当 ｅ１
ＶＯ ． ４ Ｎ Ｏ． １２ ４ Ｄｅ ｅ．２ ８ ００
文 章 编 号 ： ０ ４— ０ １ ２０ ）４ ０ ６ ３ １０ ６ １ （０ ８ ０ —０ ６ —０
一
类二维非线性 自治系统的定性分析
王 晓 静 ． 张 艳 白 羽 一 ．
关键词 ：零解 ；极 限环 ；稳定性
中图分 类号 ： ７ ０１ ５
文献标志 码 ： Ａ
Ｑｕ ｌ ａ ｉｅＡ ａｙ ｉ ｏ ｉｄ ｏ ｗ － ｍｅ ｓ ｎ Ｎｏ ｌ ｅ ｒＡｕｏ ｏ ｕ ｙ ｔｍ ａｉ ｔ ｎ ｌｓ ｆ ｋ ｎ ｆ ｏＤｉ ｎ ｉ ｎ ｉ ａ ｔｎ ｍｏ ｓＳ ｓｅ ｔ ｖ ｓ ａ Ｔ ｏ ｎ
Ｗ ａ ｇＸｉபைடு நூலகம்ｉｇ 一，Ｚ ａ ｇ Ｙａ ２ ａ ｎ ａｊ ｎ ｈ ｎ ｎ ，Ｂ ｉ Ｙｕ
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆ ｏ ｅｔｙ ｅ ｉｇＦ ｒｓｒ ｉ ｒｉ ，Ｂ ｉｎ ０ ０ ３ ２ ｃ ｏ ｌ ｆＳ ｉ ｃ ，Ｂ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｒｓｒ ，Ｂ ｉ ｏ ｅｔｙＵｎｖ ｓ ｙ ｅ ｉｇ１ ０ ８ ； ．Ｓ ｈ ｏ ｃ ｎ ｅ ＵＣＥ ｅ ｉｇ １ ０ ４ ） Ｆ ｊ ｎ ｅ ｔ ｊ ｏ ｅ Ａ Ｂ ｉ ０ ０ ４ ｊ ｎ
收稿 日期 ： ０ ８—１ ０ ２０ ０ ７
作者简介 ： 王晓静 （９ ２ ， 讲师 ， １ ７ 一） 女。 博士研究生， 研究方 向： 生态数学
第 ４期
王 晓 静 等 ： 类 二 维 非 线 性 自治 系统 的 定性 分 析 一
ｄＯ
，
６ ７
是稳定 的， 应的零 解为 渐近 稳定 的 ， 当 Ｒｅ １ 对 但 Ａ ＞０ 时奇点 和对应 的零 解 均 为不 稳 定 的 ； Ｒ Ａ ＝０时 当 ｅ１
ＶＯ ． ４ Ｎ Ｏ． １２ ４ Ｄｅ ｅ．２ ８ ００
文 章 编 号 ： ０ ４— ０ １ ２０ ）４ ０ ６ ３ １０ ６ １ （０ ８ ０ —０ ６ —０
一
类二维非线性 自治系统的定性分析
王 晓 静 ． 张 艳 白 羽 一 ．
基于正规摄动法的达芬系统的求解
第50卷第1期2021年1月内蒙古师范大学学报(自然科学版)Journal of Inner Mongolia Normal University(Natural Science Edition)Vol.50No.1Jan.2021基于正规摄动法的达芬系统的求解莘智，侯瑾蓉(内蒙古师范大学数学科学学院，内蒙古呼和浩特010022)摘要：利用正规摄动法求解达芬系统中两种振动的解析解并提高其精度。
首先，利用正规摄动法解决达芬系统受简谐激励的受迫振动的解析解，并将其由二阶提高到三阶。
其次，将多频激励的受迫振动的解析解由一阶提高到二阶。
关键词：正规摄动法；达芬系统；弱非线性系统中图分类号：O302文献标志码：A文章编号：1001—8735(2021)01—0031—05doi：10.3969/j.issn.1001—8735.2021.01.0050引言解析方法是研究非线性振动的定量分析方法，即通过精确地或近似地寻求非线性微分方程的解析解，得到非线性系统的运动规律，以及对系统参数和初始条件的依赖关系。
最早正规摄动法是由泊松提出来的, 1830年泊松在研究单摆的振动时，提出将非线性系统的解按小参数的幂次展开的近似计算方法，称为摄动法或小参数法［12］。
正规摄动法是一种求解弱非线性系统解析解的近似方法，摄动法所得的结果既简单又有效，是解决非线性振动问题重要的方法之一卩6］。
讨论下面带小参数的动力学方程所描述的单自由度非自治系统［］—+氊0x=F()+£f(X,X)。
(1)此动力学方程阻尼项较微弱而被忽略或并入f(——内，在£—0时，此方程退化为方程X+氊0x=F(),(2)这个系统称为原系统(1)的派生系统。
若设X0(t是派生系统方程的周期解，那么当原系统(1)也存在周期解时，就可以在X0t的基础上进行修正作为原系统方程的解，将原系统方程的周期解［］设为x(t£)—X0()+£X1()+£2X2t+…。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
强非线性Duffing方程的摄动解
的标准形式是:
¨
x+
Lxõ +
Ax +
Bx 3 =
Fco s8 t , x ∈ R.
( 1)
其中 A可取0, 1或- 1; B可取1或- 1. 式( 1) 有三个
参数: L, F 和 8 , 它有很丰富的动力学行为。当 A=
0, B= 1时称为日本型的, C. Hayashi 等人研究较多,
其工程背景是电子电路的非线性振荡。当 A=
0. 025 00 0. 162 28 0. 226 53 6. 407 9 6. 406 5 6. 407 5 6. 407 9
0. 050 00 0. 236 07 0. 324 92 6. 548 8 6. 542 2 6. 546 6 6. 548 7
0. 075 00 0. 298 22 0. 404 15 6. 710 2 6. 693 2 6. 704 3 6. 710 0 0. 100 00 0. 356 39 0. 474 77 6. 898 7 6. 863 3 6. 885 7 6. 898 3 0. 125 00 0. 414 21 0. 541 20 7. 124 6 7. 058 5 7. 098 5 7. 123 4
文章编号: 1007-9432( 2000) 05-0516-05
V ol. 31 N o. 5 Sep. 2000
强非线性 Duffing 方程的摄动解
李银山, 郝黎明, 树学锋
( 太原理 工大学应用力学研究所)
摘 要: 用参数展开摄动法和改进的 L -P 方法求解强非线性 D uf f ing 方程。与寻常的摄动法相 比, 具有较高的精度。
( 31)
其中:
A=
两个非线性微分方程的超全局渐近稳定性
文 章 ■ 号 ：０ ５—２ ９ （ ０ ２ ０ 一０６ —０ １０ ９２２０ ）Ｉ ０５ ３
两 个 非 线 性 微 分 方 程 的超 全 局 渐 近 稳 定 性
程 荣 福
（ 华 大 学 职 业 技 术 学院 ． 北 吉林 吉韩 １２ ２ ） ３ ０ Ｉ
摘
妻 ： 非标 准 分 析 为 工 具 ， 论 了 两 个 非 线 性 微 分 方 程 的 超 全 局 稳 定 性 ， 大 削 弱 了 经 典 理 论 以 讨 大
０ ０ 则 称 此 方程 组 的零 解 是 超 全 局 渐 近 稳定 的 。 ） ，
基本定理 设 （ 是无穷大的正定函数， ） 若存在数集 Ｍ使得通过方程竿 ＝， ）ＦＯ ：０ Ｖ ） （ ，（） 的 （
的导满 ｓ， Ｍ 在集 ： Ｉ ： 上整包方组 ）ｏ 全数 足 ∈ ， 数 ｍ ｛ ０不个含程警：（，０ 的 ０ 且 ） ）（：
第２ ２誊
任 何 初 始 值 满 足 解 的 唯 一 性 杀件 。
定理 １ 若 方程组 （）中函数 ， ） ｇ ） 足广义霍尔维茨（ ｕｗｔ 条件 ：ｉ （ １ （ 和 （ 满 Ｈ ｒｉ） ｚ （ ）＞０ ≠ ０ ） ， （
０（ ｒ （ｄ ＞，≠ （ ） 方 组１ 解０） 超 局 近 定 ，吸 域 。 ）ｉ ） ｏ ｏ 则 程 （零 （０ 全 渐 稳 的且 引 为 ” ；） ０ ｉ ） ，是
则称 无限接近于 Ｙ 记作 — 对于 ∈ Ｒ ， 的单因子 ， （） 义为 （ ， 一 Ｕ ０定 ｏ ）： ｝ Ｙ∈ Ｒ ， 一 集 （）＝ ｝ ∈ Ｒ ， ０ ” ０ 为无穷小集合 ， ０ 为正无穷小集台。 ； ＋（ ） ｖ； ｌ 数
定 义 １ 对 于任 意 的 ∈ Ｒ ， 如果 ｐ ， （ ）＞ ０时 有 （ ）＞Ｏ 或 （ （ ）＜０ 成 立 ， 称 （ 为 正 ） 则 ）
模型参考MRAC自适应控制
注：参数 mˆ 的校正是基于系统的信号，自适应控制系统具有非线性本质，从而控制器（1.3）也是非线性的。
仿真分析：设物体的真实质量是 m 2 ，选择零作为 mˆ 的初值，这表明预先不知道真实质量。自适应增
益为 0.5 ，分别选择其他设计参数为 1 10 ， 2 25 ， 6 。
图 1.3 跟踪性能和未知质量参数的估计， r(t) 0
例如，简单模型 x x u ，控制器是非线性非自治的（例如 u x2 sin t )。
线性时不变装臵的自适应控制器往往使闭环系统变为非线性和非自治的。
自治系统和非自治系统的基本区别在于：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻，而非自治系统一般不是这 样。
3．平衡点
定义 2.2 状态 x* 称为系统的一个平衡态（或平衡点），如果一旦 x(t) x* ，则此后状态永远停留在 x* 。
2
1.2 模型参考自适应控制方法(MRAC)和自校正控制方法（STC）的关系
STC 更新参数是为了使得输入—输出之间 的拟合误差最小 具有更高的灵活性，可以将不同的估计 器和控制器耦合起来（即估计和控制分 离） 一般很难保证自校正控制器的稳定性 和收敛性。通常要求系统的信号足够丰 富，才能使得参数估计值收敛到真实 值，才能保证系统的稳定性和收敛性。 从随机调节问题的研究中演化而来
（1.4）
其中， s 是组合跟踪误差，定义为
s ~x ~x
（1.5）
信号量 v 定义为 参数估计误差 m~ 定义为
v xm 2~x 2~x m~ mˆ m
方程(1.4)表明组合跟踪误差 s 与参数误差通过一个稳定滤波器相关联。
mˆ 的参数更新规律
mˆ vs
（1.6）
其中正常数 称为自适应增益。
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i
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
例：考虑系统
（3）分岔特征
1 r r 3 , r
u u C v v
f h
u u 1 B JB v v
1 0 C 0 2
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
a c
2
b 0 d
aij
( p1 , p2 )
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
练习：确定下列方程的平衡点及其类型、稳定性。
3 ⑴ u 2au u u 0
⑵
3 u 2au u u 0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 非线性系统典型特征之一：多重孤立的平衡点
x1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
A
1
1.5
B
2
A
B
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔 例：考虑系统
1 x1 x13 x 2 x2 x 1 x1 x13 x 2 x2 x
① 0 (0, 0)
(0, 0) ② 0 ( , 0) ( , 0)
0
1
1
0
0.5
0.5
0
0
-0.5
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
0.5h ' ( x1 ) 0.5 J 0.3 0.2
0.063 X 0.758 0.285 (2) X 0.610
以二阶连续线性系统为例：
ax by x cx dy y
a b J c d
x x J y y
x u e y B v B g
1 x12 x 2 x2 x
（1）求解平衡点 （2）稳定性分析
0 ( ,0);( ,0)
2 x1 J 0 0 1
①
( ,0)
1 2 0, 2 1 0
② ( ,0)
1 2 0, 2 1 0
① 0
(0,0)不稳定； ( ,0)稳定 (0,0)稳定； ( ,0)不稳定
② 0
3.4 典型分岔类型 3.4.2 跨临界分岔 例：考虑系统
1 x1 x12 x 2 x2 x
（3）相图
0.1
1
1
0
1
0.1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
(0, 0) ① 0 ( , 0) ( , 0)
② 0 (0, 0)
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔
超临界叉形分岔
亚临界叉形分岔
安全分岔
危险分岔
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
《非线性系统理论》
Section 1 非线性系统简介
Section 2 非线性离散系统 Section 3 非线性自治系统 Section 4 非线性非自治系统
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.1 相平面分析法
3.4 典型分岔类型
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
二阶自治系统的特性由其
平衡点和极限环的模式及 稳定性决定。
在无穷小的扰动下系统能否保持其特性？
鞍结点分岔 跨临界分岔 平衡点 平衡点
叉形分岔
Hopf分岔 平衡点 极限环
3.4 典型分岔类型 3.4.1 鞍结点分岔 例：考虑系统
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.3 极限环
当系统具有一个周期解：
x(t T ) x(t ), t 0
在相图中周期解的图形是一条闭合的曲线，即极限环（LCO）
系统有一个幅度为r的持续振荡，称为谐振器。
线性振荡器振荡的幅值取决于初始条件，非线性振荡器 线性振荡器振荡是结构不稳定的，非线性振荡器是结构
的幅值与初始条件无关；
稳定的。
3.3 极限环
3
经典的范德波尔振子：
1 x2 x 2 x x (1 x 2 1 1 ) x2
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
（1）求解平衡点 (0, 0)
f1 （2）稳定性分析 x J 1 f 2 x 1 f1 2 x2 3x12 x2 f 2 1 2 x1 x2 x2 1 2 x1 x2 2 x12 3x2
例：隧道二级管的状态模型为
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
h( x1 ) 17.76 x1 103.79 x12 229.62 x13 226.31x14 83.72 x15
问题：如何求解？如何判性？如何判稳？ 计算机程序实现
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.4 典型分岔类型
分岔是一种普遍的自然现象。力学 上指一种力学状态在临界点发生的 转变、分开或一分为二。 如：一根受力的弹性压杆当压力超 过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。
在P—s 平面上： 当 P<Pc 时，杆的唯一平衡状态是保持直线； 当 P>Pc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同 平衡状态的分岔点为 Pc。
r
x
y
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
2 2 2 2 2 1 x1 x ( x x ) ( x x 1 2 1 2 ) x2 2 2 2 2 2 2 x2 x ( x x ) ( x x 1 2 1 2 ) x1
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型 【自治系统平衡点稳定性判定】
雅可比矩阵特征值有一个正实部，平衡点不稳定。
【自治系统平衡点类型】
中心点：两个特征值为纯虚数
焦点：两个特征值都是复数 结点：两个特征值都是实数，且符号相同 鞍点：两个特征值都是实数，但一个为正，一个为负
3.2 平衡点及稳定性
3 2 1 0 -1 -2 -3 -3
0.2
2 1 0 -1 -2 -3 -3 8
6 4 2 0 -2 -4 -6
1.0
5.0
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
-8
-5
0
5
当t趋于无穷大时，极限环邻域内的所有轨线最终都收敛于极限环。
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.4 典型分岔类型 3.4.1 鞍结点分岔
例：考虑系统
1 x12 x 2 x2 x
（3）相图
0.01
1
1
0
1
0.01
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-0.2
-0.1
0
0.1
-1 0.2 -0.2
-0.1
0
0.1
-1 0.2 -0.4
二阶自治系统可由两个标量微分方程表示：
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
若其解为
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t )]T
T
x2
始于 x0 的轨线
x0
给定初始状态 x0 [ x10 , x20 ]
x1
x1 x2
状态平面（相平面）
1 a11 ( x1 p1 ) a12 ( x2 p2 ) H.O.T. x 2 a21 ( x1 p1 ) a22 ( x2 p2 ) H.O.T. x
y1 x1 p1; y2 x2 p2
1 a11 y1 a12 y2 y 2 a21 y1 a22 y2 y
(a d ) (ad bc) 0
2 T D 0
u u C v v
T T 2 4D 1, 2 2
1u u 2 v v
u (t ) e 1t u0 v(t ) e 2t v0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 例：考虑有摩擦力的单摆方程
1 x2 x 2 10sin x1 x2 x
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
例：考虑系统
（3）分岔特征
1 r r 3 , r
u u C v v
f h
u u 1 B JB v v
1 0 C 0 2
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
a c
2
b 0 d
aij
( p1 , p2 )
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型
练习：确定下列方程的平衡点及其类型、稳定性。
3 ⑴ u 2au u u 0
⑵
3 u 2au u u 0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 非线性系统典型特征之一：多重孤立的平衡点
x1
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.5
A
1
1.5
B
2
A
B
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔 例：考虑系统
1 x1 x13 x 2 x2 x 1 x1 x13 x 2 x2 x
① 0 (0, 0)
(0, 0) ② 0 ( , 0) ( , 0)
0
1
1
0
0.5
0.5
0
0
-0.5
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
0.5h ' ( x1 ) 0.5 J 0.3 0.2
0.063 X 0.758 0.285 (2) X 0.610
以二阶连续线性系统为例：
ax by x cx dy y
a b J c d
x x J y y
x u e y B v B g
1 x12 x 2 x2 x
（1）求解平衡点 （2）稳定性分析
0 ( ,0);( ,0)
2 x1 J 0 0 1
①
( ,0)
1 2 0, 2 1 0
② ( ,0)
1 2 0, 2 1 0
① 0
(0,0)不稳定； ( ,0)稳定 (0,0)稳定； ( ,0)不稳定
② 0
3.4 典型分岔类型 3.4.2 跨临界分岔 例：考虑系统
1 x1 x12 x 2 x2 x
（3）相图
0.1
1
1
0
1
0.1
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
(0, 0) ① 0 ( , 0) ( , 0)
② 0 (0, 0)
3.4 典型分岔类型 3.4.3 叉形分岔
超临界叉形分岔
亚临界叉形分岔
安全分岔
危险分岔
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
《非线性系统理论》
Section 1 非线性系统简介
Section 2 非线性离散系统 Section 3 非线性自治系统 Section 4 非线性非自治系统
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.1 相平面分析法
3.4 典型分岔类型
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
二阶自治系统的特性由其
平衡点和极限环的模式及 稳定性决定。
在无穷小的扰动下系统能否保持其特性？
鞍结点分岔 跨临界分岔 平衡点 平衡点
叉形分岔
Hopf分岔 平衡点 极限环
3.4 典型分岔类型 3.4.1 鞍结点分岔 例：考虑系统
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.3 极限环
当系统具有一个周期解：
x(t T ) x(t ), t 0
在相图中周期解的图形是一条闭合的曲线，即极限环（LCO）
系统有一个幅度为r的持续振荡，称为谐振器。
线性振荡器振荡的幅值取决于初始条件，非线性振荡器 线性振荡器振荡是结构不稳定的，非线性振荡器是结构
的幅值与初始条件无关；
稳定的。
3.3 极限环
3
经典的范德波尔振子：
1 x2 x 2 x x (1 x 2 1 1 ) x2
2 1 x1 ( x12 x2 x ) x2 2 2 x2 ( x12 x2 x ) x1
（1）求解平衡点 (0, 0)
f1 （2）稳定性分析 x J 1 f 2 x 1 f1 2 x2 3x12 x2 f 2 1 2 x1 x2 x2 1 2 x1 x2 2 x12 3x2
例：隧道二级管的状态模型为
1 0.5[h( x1 ) x2 ] x 2 0.2[ x1 1.5 x2 1.2] x
h( x1 ) 17.76 x1 103.79 x12 229.62 x13 226.31x14 83.72 x15
问题：如何求解？如何判性？如何判稳？ 计算机程序实现
3.2 平衡点及稳定性 3.3 极限环
3.4 典型分岔类型
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3.4 典型分岔类型
分岔是一种普遍的自然现象。力学 上指一种力学状态在临界点发生的 转变、分开或一分为二。 如：一根受力的弹性压杆当压力超 过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。
在P—s 平面上： 当 P<Pc 时，杆的唯一平衡状态是保持直线； 当 P>Pc 时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向 +s 或-s 方向,不同 平衡状态的分岔点为 Pc。
r
x
y
3.4 典型分岔类型 3.4.4 Hopf分岔 例：考虑系统
2 2 2 2 2 1 x1 x ( x x ) ( x x 1 2 1 2 ) x2 2 2 2 2 2 2 x2 x ( x x ) ( x x 1 2 1 2 ) x1
3.2 平衡点及稳定性 3.2.1 平衡点类型 【自治系统平衡点稳定性判定】
雅可比矩阵特征值有一个正实部，平衡点不稳定。
【自治系统平衡点类型】
中心点：两个特征值为纯虚数
焦点：两个特征值都是复数 结点：两个特征值都是实数，且符号相同 鞍点：两个特征值都是实数，但一个为正，一个为负
3.2 平衡点及稳定性
3 2 1 0 -1 -2 -3 -3
0.2
2 1 0 -1 -2 -3 -3 8
6 4 2 0 -2 -4 -6
1.0
5.0
-2
-1
0
1
2
3
-2
-1
0
1
2
3
-8
-5
0
5
当t趋于无穷大时，极限环邻域内的所有轨线最终都收敛于极限环。
Section 3 非线性自治系统
目录
3.1 相平面分析法
3.4 典型分岔类型 3.4.1 鞍结点分岔
例：考虑系统
1 x12 x 2 x2 x
（3）相图
0.01
1
1
0
1
0.01
0.5
0.5
0.5
0
0
0
-0.5
-0.5
-0.5
-1
-0.2
-0.1
0
0.1
-1 0.2 -0.2
-0.1
0
0.1
-1 0.2 -0.4
二阶自治系统可由两个标量微分方程表示：
1 f1 ( x1 , x2 ) x 2 f 2 ( x1 , x2 ) x
若其解为
x(t ) [ x1 (t ), x2 (t )]T
T
x2
始于 x0 的轨线
x0
给定初始状态 x0 [ x10 , x20 ]
x1
x1 x2
状态平面（相平面）
1 a11 ( x1 p1 ) a12 ( x2 p2 ) H.O.T. x 2 a21 ( x1 p1 ) a22 ( x2 p2 ) H.O.T. x
y1 x1 p1; y2 x2 p2
1 a11 y1 a12 y2 y 2 a21 y1 a22 y2 y
(a d ) (ad bc) 0
2 T D 0
u u C v v
T T 2 4D 1, 2 2
1u u 2 v v
u (t ) e 1t u0 v(t ) e 2t v0
3.2 平衡点及稳定性 3.2.2 多重平衡点 例：考虑有摩擦力的单摆方程
1 x2 x 2 10sin x1 x2 x