福建省厦门外国语学校2019届高三上学期第11月月考数学理试题一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分） 1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}x B y y x ==-≥，则A B ⋂=（）A ．∅B ．[0,1)(3,)+∞C ．A D ．B2．已知a b >，则不等式22a b >，11a b <，11a b a>-中不成立的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ）A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥nB ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ==m n m ∥α⇒n ∥β4．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是（） A ．sin(2)4y x π=-B ．sin 2y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．1sin2y x = 5．已知向量a →，b →满足1a →=，2b →=，且a →在b →方向上的投影与b →在a →方向上的投影相等，则a b →→-等于( )A ．1 B. 3 C. 5D ．36．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天7．定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <，且124x x +>，则（）.A ．12()()f x f x > B.12()()f x f x < C.12()()f x f x = D.1()f x 与2()f x 的大小不确定8．数列}{n a 满足12211-=++n n n na a ，且11=a ，若51<na ，则n 的最小值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 69．已知0a >，0b >为3a 与3b 的等比中项，则49aba b+的最大值为（）A ．124B ．125C ．126 D ．12710．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( ) A. 28π B. 32π C. 36π D. 112π311．向量,,m n p →→→满足：122()()2m n m n m p n p m p n p →→→→→→→→→→→→==⋅=--⋅-=-⋅-，，，则p →最大值为（）A ．2C.1D.412．设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．34ln 223ln 32a -<≤-B.34ln 223ln 32a -≤<- C.4ln 22a >- D.3ln 32a ≤- 二、填空题（共4小题，20分）13．设变量x ，y 满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =___________15．已知正方体1111ABCD ABC D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD ABC D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为_____________ 16．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin ,,,n n n n f x x a x a a n N n +=-∈∈，满足：对于 任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________三、解答题（共6题，70分）17.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值．侧视图俯视图234442244正视图18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=. （Ⅰ）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点()1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PAPB+的最大值.19．已知函数()(1)ln 2(1)af x x a x a x=--+++． （I ）若函数()f x 在区间[]2,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围；（II ）是否存在实数0a >，使得函数()y f x =图像与直线2y a =有两个交点？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由．20．已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，2C A =. （I ）求cos A ；（II ）设24491m m a m ++=+（0m >），求ABC ∆的面积的最小值.21．若数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1211,2,n n n n b b a b b nb +==+= （I ）求数列{}n a {}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n c 满足11n n n a c b ++=，数列{}n c 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.22．已知m R ∈，函数11()ln ,()ln m f x mx x g x x x x-=--=+ （I ）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调增函数，求实数m 的取值范围（II ）证明：2*ln 2ln 3ln 4ln ()2342(1)n n n N n n ++++<∈+绝密★启用前厦门外国语学校2018-2019学年高三第二次月考数学（理）试题答案一．选择题（每小题只有一个选项，每小题5分，共计60分）1．1．已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|21,0}xB y y x ==-≥，则A B ⋂=（C ） A ．∅B ．[0,1)(3,)+∞C ．A D ．B2．已知a b >，则不等式22a b >，11a b <，11a b a>-中不成立的个数为 ( D ) A ．0B ．1C ．2D ．33．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（ C ）A ．α∥,,βαβ⊂⊂⇒m n m ∥nB ．,αγβγα⊥⊥⇒∥βC ．α∥,βm ∥n ,αβ⊥⇒⊥m nD ．,,αββγ==m n m ∥α⇒n ∥β4．将函数y ＝sin(x ＋4π)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移4π个单位，所得到的图象解析式是（A ） A ．sin(2)4y x π=-B ．sin 2y x =C ．sin(2)4y x π=+D ．1sin2y x = 5．已知向量a →，b →满足1a →=，2b →=，且a →在b →方向上的投影与b →在a →方向上的投影相等，则a b →→-等于( C )A ．1 B. 3 C. 5D ．36．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（C ） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天7．定义域为{|2}x R x ∈≠的函数()y f x =满足(4)()f x f x -=，(2)()0x f x '-<，若12x x <， 且124x x +>，则 （ A ）.A ．12()()f x f x > B.12()()f x f x < C.12()()f x f x = D.1()f x 与2()f x 的大小不确定8．数列}{n a 满足12211-=++n n n n a a ，且11=a ，若51<n a ，则n 的最小值为 ( C ) A3B4 C5 D69．已知0a >，0b >3a 与3b 的等比中项，则49aba b+的最大值为（ B ）A ．124B ．125C ．126D ．12710．一个几何体的三视图如图所示，该几何体外接球的表面积为 ( D )A.28πB. 32πC.36πD.112π311．向量,,m n p →→→满足：122()()2m n m n m p n p m p n p →→→→→→→→→→→→==⋅=--⋅-=-⋅-，，，则p →最大值为（ D ）A ．2C.1D.412．设函数()(2ln 1)f x x x ax a =--+，其中0a >，若仅存在两个正整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ A ） A ．34ln 223ln 32a -<≤-B.34ln 223ln 32a -≤<- C.4ln 22a >- D.3ln 32a ≤- 二、填空题（共4小题，20分）13．设变量x ，y 满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为．314．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n S =___________1)23(-n15．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上（点M 异于B 、C 两点），点N 为线段1CC 的中点，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为_______________1(0,]2A ．1(0,]3 B ．1(0,]2C ．2[,1)3D ．1[,1)216．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，()()[]*11sin ,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________侧视图俯视图234442244正视图三、解答题（共6题，70分）17.如图，菱形ABCD 与正三角形BCE 的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且FD =（Ⅰ）求证：//EF 平面ABCD ；改编（Ⅱ）若60CBA ∠=︒，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值． 解：（Ⅰ）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接.HDEH ∴=平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD平面BCE 于BC ，∴EH ⊥平面.ABCD又FD ⊥平面ABCD，FD =//.FD EH ∴∴四边形EHDF 为平行四边形. //.EF HD ∴EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面,ABCD //EF ∴平面.ABCD ………6分B（Ⅱ）连接.HA 由（Ⅰ），得H 为BC 中点，又60CBA ∠=︒，ABC ∆为等边三角形，∴.HA BC ⊥分别以,,HB HA HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则(1,0,0),(B F E A -(BF =-，(BA =-，(1BE =-设平面ABF 的法向量为2222(,,)x y z =n .由2200BF BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n得2222230.0x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令21y =，得2,2)=n.sin cos ,28EF n α=<>=18.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin ,x t y t αα⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()221sin 8ρθ+=.（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）设点()1P --，l 与C 的交点为,A B ，求11PA PB+的最大值. 解.（1）把0,2Q πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入曲线C 可得2,2Q π⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,2Q ，又l 过点()1P --，得直线l 的普通方程为2y x =+； ()221sin 8ρθ+=可化为()22sin 8ρρθ+=. 由222,sin x y y ρρθ=+=可得()2228x y y ++=，即曲线C 的直角坐标方程为2228x y +=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得，(()22cos 2sin 18t t αα-+-=，化简得()()22sin 14sin 60t t ααα+-+=，①()()224sin 24sin 1ααα⎡⎤∆=--+⎣⎦可得()1212224sin 6,0sin 1sin 1t t t tαααα+==>++，故1t 与2t 同号12121212121111t t t t PA PB t t t t t t +++=+==4sin 33πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以6πα=时，4sin 33πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值43. 此时方程①的340∆=>，故11PA PB +有最大值43. 19．已知函数()(1)(2ln )af x x a x x=-++-． （I ）若函数()f x 在区间[]2,3上不是单调函数，求实数a 的取值范围；（II ）是否存在实数0a >，使得函数()y f x =图像与直线2y a =有两个交点？若存在，求出所有a 的值；若不存在，请说明理由． 解（I ）由（I ）得2()(1)()x a x f x x --'=.要使函数()f x 在区间[]2,3上单调递增,即要使2()(1)()0x a x f x x--'=≥在区间[]2,3上恒成立. .（II ）由()2f x a =得(1)ln 20ax a x x--++=有两个实根 令()(1)ln 2a g x x a x x =--++则2()(1)()x a x g x x --'=， （2）当1a =时，22(1)()0x g x x -'=≥∴函数()y g x =在(0,)+∞是增函数，不合题意；（3）当01a <<时，函数()y g x =在(0,),(1,)a +∞上是增函数;在(,1)a 上是减函数(1)3a 0g =-≠要使函数()g x 有两个零点则只需()0g a =解得a e =不合题意；（4）当1a >时，函数()y g x =在(0,1),(,)a +∞上是增函数;在(1,)a 上是减函数 要使函数()g x 有两个零点则只需()0g a =或(1)0g =解得a e =或3a = 综上所述，a e =或3a =.20．已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且,,a b c 成等差数列，2C A =. （1）求cos A ；（2）设24491m m a m ++=+（0m >），求ABC ∆的面积的最小值.21.解：（1）C=2A,B=A 31800-因为c b a ,,成等差数列 所以b c a 2=+得B C A sin 2sin sin =+sin 2sin cos 2sin32sin(2)2sin cos 22cos sin 2A A A A A A A A A A +⋅==+=⋅+⋅=)1cos 4(sin 22-A A 整理得：03cos 2cos 82=--A A解之得：43cos =A 或21cos -=A (舍去) - （2）∵244994(1)4124811m m a m m m ++==++-≥-=++1()2m =当且仅当时取等号 又43cos =A ，47sin =A ,873sin =C Cc A a sin sin =,32c a =-b c a 2=+，54b a =-所以A bc S ABC sin 21=∆2≥即所求的△ABC 面积的最小值为21．若数列是公差为2的等差数列，数列满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.（1）求数列,的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n 项和为，若不等式 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.(1) ∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.∴ n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1.又数列{a n }是公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴ 2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n ＝2n －1.(2)由数列{c n }满足c n ＝＝＝，数列{c n }的前n 项和为 T n ＝1＋＋＋…＋，∴ T n ＝＋＋…＋＋， 两式作差，得 ∴T n ＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－， ∴T n ＝4－.不等式(－1)n λ<T n ＋，化为(－1)n λ<4－， 当n ＝2k (k ∈N *)时，λ<4－，取n ＝2， ∴λ<3.当n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ<4－，取n ＝1，∴λ>－2. 综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).22．已知m R ∈，函数11()ln ,()ln m f x mx x g x x x x-=--=+ （I ）若()()y f x g x =-在[)1,+∞上为单调增函数，求实数m 的取值范围（II ）证明：2*ln 2ln 3ln 4ln ()2342(1)n n n N n n ++++<∈+ 【答案】(1)1. (2). （3）证明见解析.【解析】分析：（1）先求的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值。
