专题13 化归与转化思想
一、 考点回顾
化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有：
1、等与不等的相互转化
等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化
对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化
对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化
整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化
事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化
通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化
二、 经典例题剖析
例1、（2007安徽卷 理）设0a≥，2()1ln2ln(0)fxxxaxx．
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合
数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；
函数与方程
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的„„等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
高考冲刺 转化与化归的思想
编稿：孙永钊 审稿：张林娟
【高考展望】
解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“转化与化归的思想方法”
转化与化归思想在高考中占有相当重要的地位，可以说比比皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.
高考对本讲的考查为：
（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。
（2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。
（3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。
（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。
【知识升华】
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止.
1．转化与化归应遵循的原则
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和方法来解决.
（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统一的形式，或者转化命题，使其有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
1. 引言
1.1 转化与化归思想在高考数学题中的重要性
在高考数学题中，转化和化归思想是非常重要的。转化思想指的是将原问题转化为一个易解的问题，从而简化问题的求解过程。在解决高考数学题时，很多题目可能会涉及到复杂的计算或者几何图形，如果能够巧妙地运用转化思想，将题目转化为熟悉的形式，就会大大减少解题的难度。而化归思想则是将原问题化归为已知问题或者基本形式，通过对问题的重新组织和变换，将其简化为易于解决的形式。化归思想通常适用于代数题目，通过找到问题之间的联系和规律，可以有效地解决复杂的代数问题。
在高考数学中，很多题目都需要考生灵活运用转化和化归思想，只有具备这种思维方式，才能更快地解决问题，提高解题效率。转化与化归思想在高考数学题中扮演着至关重要的角色。培养这种思维方式不仅可以帮助考生更好地解决数学问题，还有助于提高数学学科的学习兴趣和能力。对于高考数学考生来说，掌握转化与化归思想是至关重要的，也是解决数学难题的有效方法之一。
2. 正文
2.1 转化思想在高考数学题中的运用 转化思想在高考数学题中的运用是非常重要的。在解决数学问题的过程中，常常需要通过转换问题的形式或者思路来找到解决问题的方法。转化思想可以帮助我们从不同角度去看待问题，找到问题的本质，从而更有效地解决问题。
在高考数学题中，转化思想通常可以表现为将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，然后再逐步解决。在解决代数方程的过程中，可以通过代数运算的性质将方程化简，将未知数提取出来，从而得到更简单的形式。又在解决几何题的过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法将原问题转化为一个更易解的几何问题。
转化思想的运用可以帮助我们更快地找到解题的突破口，提高解题的效率。通过不断练习和积累经验，我们可以逐渐提高转化思想的运用能力，更加熟练地解决高考数学题。在备战高考的过程中，我们应该注重培养转化思想，不断尝试将问题转化为更简单的形式，从而更好地应对各种数学题目。【字数: 206】
