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不定方程的解法(龙老师)

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不定方程的解法

设a、b、c、d为整数，则不定方程cbyax有：

定理1：若,),(dba且d不能整除c，则不定方程cbyax没有整数解；

定理2：若),(00yx是不定方程cbyax且的一组整数解(称为特解)，则atyybtxx00(t为整数)是方程的全部整数解(称为通解). (其中dba),(,且d能整除c).

定理3：若),(00yx是不定方程1byax，1),(ba的特解，则),(00cycx是方程cbyax的一个特解. (其中dba),(,且d能整除c).

求整系数不定方程cbyax的正整数解，通常有以下步骤：

① 判断有无整数解；②求出一个特解；③写出通解；④有整数t同时要满足的条件(不等式组)，代入③中的表达式，写出不定方程的正整数解.

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例一：求下列不定方程的整数解(1)862yx ；(2)13105yx；(3)417741yx。

例二：求方程213197yx的所有正整数解.

1． 求下列不定方程的整数解(1)211147yx ；(2）11145yx. (3)131733yx。

(4)34732zyx。 (5)求方程组3675352975zyxzyx。的正整数解。

2．求方程2654731y的正整数解.

3．若ba,都是正整数，且2001500143ba，求ba的值．

4．求不定方程72xyyx的整数解

5．设正整数m，n满足698mnnm，则m的最大值为___________。

6．某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日。 7．大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.

8．如果三个既约真分数6432ba，，的分子都加上b，这时得到的三个分数之和为6。求这三个既约真分数的和。

9．我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？

10．甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个。问：三个小组共有多少名同学？

11．一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.

(1) 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？

(2) 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？

12．设非负整数n，满足方程nzyx2的非负整数(x,y,z)的组数记为na.

(1)求3a的值； (2)求2001a的值.

13．一辆汽车下坡的速度是72 km/h，在平地上的速度是63 km/h，上坡的速度是56 km/h。汽车从A地到B地用了4 h，而返程用了4小时40分，求AB两地的距离。

14．一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？

15．求不定方程332yxyx的正整数解.

16．求不定方程019262yxyxyx的整数解.

17．旅游团一行50人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天20元，二人间的每人每天30元，单人间的每天50元，如果旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？

18．证明：15994144241xxx无整数解。

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第七讲--不定方程

第七讲--不定方程

第一讲 不定方程

【专题导引】

当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x-3y=9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制的条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x-3y=9的解有：

4.21xy，7.25.1xy，32xy，06.31.2xy，6.33xy，……

如果限定x,y的解是小于5的整数，那么解就只有x=3,y=2这组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。

解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后在一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数前面系数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。

对于有3个未知数的不定方程组，可用消去法把它转化为二元一次不定方程后再求解。

解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。

【典型例题】

【例1】求3x+4y=23的自然数解。

【试一试】

1、求3x+2y=25的自然数解。

2、求4x+5y=37的自然数解。

【例2】求下面方程组的正整数解。

25375263zyxzyx

【试一试】求下面方程组的正整数解。

1、723421423zyxzyx 2、68119752975zyxzyx

【例3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？

【试一试】

1、某校六（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只（大、小船都有）？

2、甲级铅笔7角钱一支，乙级铅笔3角钱一支，小花用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几支？

【例4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？

五年级奥数不定方程

五年级奥数不定方程

五年级奥数 五年级奥数教程与训练 第一讲

不定方程

【知识要点与基本方法】

方程的个数少于未知数的个数的方程（或方程组）称为不定方程（或不定方程组），它的解是不定的，一般地说，如果没有给不定方程某种制约的条件，那么它就有无限多个解，本讲中所涉及的不定方程根据题目的要求和实际情况局限在一定的范围内，它可能有解，也可能无解，如果有解，也只能是有限个解。

【例题解析】

例1.求下列方程的整数解（x>0,y>0）

11x+3y==89

解：原方程整理得：

y=（89-11x）÷3

因为x和y都是大于零的整数，11x<89,所以x<9,由上式得：

x=1,y=26,或者x=4,y=15,或者x=7,y=4

例2．邮局买了助动车和自行车若干辆，共付出11700元，已知每辆助动车2500元，每辆自行车350元，问：邮局买这两种车各多少辆？

解：设买了x辆助动车，y辆自行车。由题意得：

2500x+350y=11700

y=（11700-2500x）÷350

解得 x=3,y=12

答：邮局买了3辆助动车和12辆自行车。

例3.有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都在10以内，把三张牌洗完后，分别发给甲，乙，丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌，发牌，记数。这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别是13，15，23.问：这三张牌的数字是多少？

解：设三张牌按照从大到小排列为x，y，z，再设共发了n轮（每轮发三张），x+y+z=S则有：n×S=13+15+23=51=3×17

只有n=3，S=17. x+y+z=17，则x>17/3,所以x可取的值为6，7，8，9.

当x=6时，y+z=11，而y+z最多只能是9，所以不符合题意。

当x=7时，y+z=10，而只有y=6，z=4，但是丙三次牌数字之和是23，而23显然不可能表示为（7，6，4）中任意三个数之和。故也不符合题意。

高中数学解题技巧之不定方程求解

高中数学解题技巧之不定方程求解

高中数学解题技巧之不定方程求解

不定方程在高中数学中是一个重要的概念，涉及到求解方程中的未知数的取值范围。本文将介绍不定方程的求解方法和一些解题技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。

一、不定方程的定义和基本概念

不定方程是指含有未知数的方程，但未知数的取值范围不确定，需要通过一定的条件来求解。常见的不定方程包括线性不定方程、二次不定方程等。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7，其中x和y为未知数。这个方程的解是指满足条件的x和y的取值，使得等式成立。

二、线性不定方程的求解方法

1. 列举法：对于简单的线性不定方程，可以通过列举的方法来求解。例如，解线性不定方程3x + 4y = 7，我们可以列举出一些满足条件的整数解，如(1, 1)、(3, 1)等。通过观察这些解的规律，我们可以发现解的特点，进而得到一般解。

2. 欧几里得算法：对于形如ax + by = c的线性不定方程，可以利用欧几里得算法来求解。首先，我们需要找到一个特殊解(x0, y0)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。

例如，求解线性不定方程3x + 4y = 7。我们可以先找到一个特殊解(3, -2)，然后利用欧几里得算法求出方程的通解。具体步骤如下：

步骤一：利用欧几里得算法求出3和4的最大公约数d，同时求出一组整数解(u0, v0)，使得3u0 + 4v0 = d。

步骤二：将方程两边同时除以d，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。 步骤三：将特殊解(3, -2)代入上式，得到(3/d)x + (4/d)y = 7/d。通过观察我们可以发现，方程的通解为x = 3 + 4k，y = -2 - 3k，其中k为整数。

三、二次不定方程的求解方法

二次不定方程是指含有二次项的不定方程，例如x^2 + y^2 = 25。对于这类方程，我们可以利用一些特定的方法来求解。

1. 分类讨论法：对于形如x^2 + y^2 = n的二次不定方程，我们可以通过分类讨论的方法来求解。首先，我们需要确定n的奇偶性，然后根据n的不同情况进行讨论。

不定方程解法范文

不定方程解法范文

不定方程解法范文

不定方程是指形如 ax + by = c 的方程，其中 a、b、c为已知数，x、y为未知数，且要求x、y为整数。

解不定方程的方法有多种，下面将介绍三种常见的解法。

1.暴力穷举法

暴力穷举法是最简单直接的方法，通过遍历所有可能的x、y的取值，寻找满足方程的整数解。

步骤如下：

-首先确定x、y的取值范围。可以通过观察方程中系数的最小公倍数来确定。

-在确定的范围内，依次计算所有可能的x、y的组合，直到找到满足方程的解。

例如，求解方程3x+7y=91，观察发现3和7的最小公倍数为3*7=21，因此x、y的范围可以设定为0到21

依次计算3x+7y是否等于91，直到找到满足条件的x、y。

2.辗转相除法

辗转相除法是一种通过求解方程的最大公约数来求解不定方程的方法。

步骤如下：

- 首先求解方程的最大公约数gcd(a, b)，可以使用欧几里得算法来求解。 - 如果 c mod gcd(a, b) 不等于 0，则方程无整数解，结束。

- 如果 c mod gcd(a, b)等于 0，则方程有整数解。

-通过扩展欧几里得算法求解方程的一组特解x0、y0。

- 方程的所有解可以通过 x = x0+ k * b/gcd(a, b)，y = y0 - k *

a/gcd(a, b) 来表示，其中k取任意整数。

例如，求解方程 3x + 7y = 91，首先求解gcd(3, 7)，得到1，因此方程有整数解。

然后使用扩展欧几里得算法求解方程3x+7y=1的一组特解，得到x0=3，y0=-1

再根据公式x=3+k*7，y=-1-k*3，可以得到方程3x+7y=91的所有解。

3.模线性方程组

模线性方程组的方法适用于形式为 ax + by ≡ c (mod m) 的不定方程，其中 a、b、c、m为已知数，x、y为未知数，且要求x、y为整数。

步骤如下：

- 首先求解方程的最大公约数gcd(a, m)，如果 c mod gcd(a, m)