选修2-1第二章距离的运算
- 格式：docx
- 大小：1.06 MB
- 文档页数：14
明目标、知重点 掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点到直线的距离和点到平面的距离．
1．两点间的距离的求法．设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝a21＋a22＋a23，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dAB＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
2．点到直线距离的求法
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．
作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA→在s上的投影的大小|PA→·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离．d＝|PA→|2－|PA→·s0|2.
3．点到平面的距离的求法
设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度，而向量PA→在n上的投影的大小|PA→·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|PA→·n0|.
探究点一 两点间的距离
思考1 怎样认识两点间的距离的地位？
答 两点间的距离是几何中最基本的距离，计算图形的任何距离都可以转化为两点间的距离．
思考2 怎样利用向量求两点间的距离？
答 利用基向量或坐标表示向量后，两点间的距离就转化为向量的模，可以利用向量的数量积进行计算． 设a＝(a1，a2，a3)，则|a|＝a21＋a22＋a23；
若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
dAB＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.
例1 已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3.沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求B、D间的距离．
解 方法一 过D和B分别作DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，
则由已知条件可知AC＝5，
∴DE＝3×45＝125，BF＝3×45＝125.
∵AE＝AD2AC＝95＝CF，
∴EF＝5－2×95＝75，
∵DB→＝DE→＋EF→＋FB→.
∴|DB→|2＝(DE→＋EF→＋FB→)2
＝DE→2＋EF→2＋FB→2＋2DE→·EF→＋2DE→·FB→＋2EF→·FB→.∵面ADC⊥面ABC，DE⊥AC，
∴DE⊥面ABC，
∴DE⊥BF，即DE→⊥FB→，
∴|DB→|2＝DE→2＋EF→2＋FB→2＝14425＋4925＋14425＝33725，
∴|DB→|＝3375.故B、D间的距离是3375.
方法二 过D作DE⊥AC于E，过B作BF⊥AC于F，过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，EP、EC、ED所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．
由方法一知DE＝FB＝125，EF＝75，
∴D0，0，125，B125，75，0，
∴DB→＝125，75，－125， ∴|DB→|＝ 1252＋752＋－1252＝3375.
即B、D间的距离是3375.
反思与感悟 计算两点间的距离的基本方法：
(1)把线段用向量表示，然后利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|.
(2)求解的图形适宜建立空间直角坐标系时，可用坐标法求向量的长度(或两点间距离)．
跟踪训练1 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，CA1⊥BC1.求证：AB1＝CA1.
证明 以A为原点，AC为x轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系．设B(a，b,0)，C(c,0,0)，A1(0,0，d)，
则B1(a，b，d)，C1(c,0，d)，AB1→＝(a，b，d)，
BC1→＝(c－a，－b，d)，CA1→＝(－c,0，d)，
由已知AB1→·BC1→＝ca－a2－b2＋d2＝0，
CA1→·BC1→＝－c(c－a)＋d2＝0，
由此可得c2＝a2＋b2.
再由两点间距离公式可得：|AB1|2＝a2＋b2＋d2，
|CA1|2＝c2＋d2＝a2＋b2＋d2，即AB1＝CA1.
探究点二 点到直线的距离
思考1 怎样利用向量求点到直线的距离？
答 如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一点
d＝|PA→|2－|PA→·s0|2
(|PA→·s0|是PA→在s上的投影)
思考2 请你总结求点A到直线l的距离的求法？
答 求点A到直线l的距离d，要过该点A引直线l的垂线段AA′，再在直线l上取垂足A′以外的任一点P和直线l的方向向量s，构造出Rt△PA′A，计算|PA→|和|PA→·s0|，利用勾股定理，求出点A到直线l的距离d.
例2 如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，求点A1到B1D的距离． 解 由题意得：A1(0,0,3)，B1(1,0,3)，D(0,2,0)，
B1D→＝(－1,2，－3)，A1B1→＝(1,0,0)，
则A1B1→在B1D→上的投影为
d＝A1B1→·B1D→|B1D→|＝－11＋4＋9＝－1414，
|A1B1→|＝1，
∴点A1到B1D的距离为 |A1B1→|2－A1B1→·B1D→|B1D→|2
＝ 1－114＝18214.
反思与感悟 利用向量求点到直线的距离，可以不作垂线而直接根据公式计算．
跟踪训练2
已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与面对角线BC1所在直线间的距离是( )
A.62a B．a C.2a D.a2
答案 A
解析 如图建立空间直角坐标系A1B→＝(0，a，－a)，BC1→＝(－a,0，a)．
∴所求距离的
|A1B→|2－A1B→·BC1→|BC1→|2
＝2a2－122a2＝62a.
探究点三 点到平面的距离
思考1 点到平面的距离的概念？
答 一点到它在一个平面内正射影的距离叫做点到这个平面的距离．
思考2 怎样利用向量求点到平面的距离？
答 如图所示，设n是平面α的法向量，PA是平面α的一条斜线，则点A到平面α的距离d＝|PA→·n0|.
思考3 如何求与平面平行的直线到该平面的距离？如何求平行平面间的距离？
答 两者均转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解简单为准则．
例3 如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，若PA＝AD＝3，CD＝6.求点F到平面PCE的距离．
解 如图，建立空间直角坐标系．
A(0,0,0)，P(0,0,3)，D(0,3,0)，
E62，0，0，F0，32，32，C(6，3,0)．设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，
EP→＝－62，0，3，
EC→＝62，3，0.
n·EP→＝0，n·EC→＝0，即 －62x＋3z＝0，62x＋3y＝0.
取y＝－1，得n＝(6，－1,1)，又PF→＝0，32，－32，
故点F到平面PCE的距离为
d＝|PF→·n||n|＝－32－3222＝324.
反思与感悟 利用向量求点到平面的距离就是求从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量在平面的法向量的投影的绝对值．
跟踪训练3 已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E、F分别为AB、BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1，12，0，
F12，1，0.∵AC∥EF，AC 平面PEF，EF平面PEF，
∴AC∥平面PEF.
∴AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离．
又AE→＝0，12，0，
平面PEF的一个法向量为n＝(2,2,3)，
则点A到平面PEF的距离为
d＝|AE→·n||n|＝0，12，0·2，2，317＝1717.
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为( )
A．10 B．3 C.83
D.103
答案 D
2．在空间直角坐标系中，已知P(－1,0,3)，Q(2,4,3)，则线段PQ的长度为( )
A.10
B．5 C.29 D.34
答案 B
解析 线段PQ的长度为|PQ→|＝32＋42＋02＝5.
3．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则点A到平面B1D1DB的距离为( )
A.2 B．2 C.22 D.322
答案 C
解析 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，则A(1,0,0)，C(0,1,0)，则AC→＝(－1,1,0)，容易证明AC→是平面B1D1DB的法向量，于是A到面B1D1DB的距离为d＝|AC→·AB→||AC→|＝12＝22.
4．已知向量n＝(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线l上，则点P(－4,0,2)到直线l的距离为__________．
答案 366161
解析 AP→＝(－6,0,0)，
d＝AP→·n|n|＝－3636＋9＋16＝366161.
[呈重点、现规律]
1．两点间的距离可利用向量的模计算数量积求得；点线距可用公式d＝|PA→|2－|PA→·s0|2求得．
2．点面距可利用向量在平面的法向量上的投影求得．
线面距、面面距均可转化为点面距．
一、基础过关
1．已知△ABC的顶点A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD的长等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 AC→＝(0,4，－3)，BC→＝(－4,9，－3)，
BC→·AC→|AC→|＝36＋925＝9，
|BC→|＝16＋81＋9＝106，
BD＝|BC→|2－92＝25＝5.
2．若O为坐标原点，OA→＝(1,1，－2)，OB→＝(3,2,8)，OC→＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
