【数学】河南省信阳市2013-2014学年高二上学期期末考试(文)
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5 信阳市2013~2014学年度高二上期期末
数学试卷参考答案(文科)
1．D ∵(x－2)(x－3)＞0，∴x＞3或x＜2.
2．C ﹁p：∀x>1，x2－1≤0.
3．B 由前15项和S15＝215（a1＋a15）＝6可得a1＋a15＝54，即2a8＝54，故a8＝52.
4．A f′(x)＝cos x－sin x，f′(3π)＝21－23.
5．C ∵抛物线过点(1，4)，∴4＝2a，∴a＝2，∴抛物线方程为x2＝41y，焦点坐标为(0，161)．
6．A 由已知得a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝2aba2＋b2－c2＝22，故C＝4π.
7．A 由题得c＝5，又点P在渐近线上，∴a＝2b，且a2＋b2＝25，
∴b2＝5，a2＝20.
8．A 设P(x0，y0)，∵y＝ex，∴y′＝ex，∴y′|x＝x0＝ex0＝e，∴x0＝1，∴P(1，e)．
9．C 画出可行域，可知z＝x＋y＋2在x－y－1＝0与2x＋y＋1＝0的交点(0，－1)处取到最小值，∴zmin＝0－1＋2＝1.
10．D ∵角A、B、C成等差数列，∴A＋C＋B＝π，A＋C＝2B，解得B＝3π.
由sin Aa＝sin Bb，可得sin A＝21，∵b＞a，∴A＜3π，∴A＝6π，从而C＝π－3π－6π＝2π，∴S△ABC＝21ab＝23.
11．A 设等比数列的公比为q，由an＋an＋1＝6an－1知，当n＝2时a2＋a3＝6a1，再由数列{an}为正项等比数列，且a2＝1，得1＋q＝q6⇒q2＋q－6＝0⇒q＝－3或q＝2.∵q＞0，∴q＝2，∴S4＝21＋1＋2＋4＝215.
12．B 由f(e－x)＝f(x＋e)可知f(x)对称轴为x＝e，
(x－e)f′(x)＜0⇒f(x)在(e，＋∞)上递减，f(x)在(－∞，e)上递增．
又e－1＜e＜π＜5，且π－e＜e－(e－1)＜5－e，所以有f(5)＜f(e－1)＜f(π)，故选B.
13．若x2>4，则x>2.
14．4 a9＋b1＝3≥2ab9⇒≥2⇒ab≥4.
15．3x－y－1＝0 ∵y′＝－3x2＋6x，∴y′|x＝1＝－3＋6＝3，
∴切线方程为y－2＝3(x－1)即3x－y－1＝0.
16．(1，2] 因为|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝3|PF2|，所以|PF2|＝a，又因为双曲线的右支上的点P均满足|PF2|≥c－a，所以a≥c－a，得c≤2a，从而1＜e≤2.
17．解：(Ⅰ)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
6 ∴a1＋5d＝10，a1＋3d＝6，∴d＝2，a1＝0，∴an＝2n－2.(6分)
(Ⅱ)b1＋b1q＝3，b1q2＝4，∴1＋qq2＝34，3q2－4q－4＝0，∴q＝2或－32(舍)，b1＝1，
∴Tn＝1－qb1（1－qn）＝1－21－2n＝2n－1.(12分)
18．解：A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}．
(Ⅰ)∵A∩B＝[2，3]，∴m－3＝2，即m＝5.（6分）
(Ⅱ) ∵p是綈q的充分条件， ∴A⊂RB，
∴m－3>3或m＋3<－1，
解得m>6或m<－4.（12分）
19．解：(Ⅰ)由正弦定理得sin A＝2sin Csin A，
∵A、C是锐角，∴sin C＝23，故C＝60°.(6分)
(Ⅱ)S＝21absin C＝23，∴ab＝6.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
∴(a＋b)2＝25，∴a＋b＝5.(12分)
20．解：(Ⅰ)由题意知，f′(x)＝3ax2＋b，
f（2）＝c－16，f′（2）＝0，即8a＋2b＋c＝c－16，12a＋b＝0，∴b＝－12.a＝1，(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12＝3(x－2)(x＋2)，
令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＞0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；
x∈（－2，2）时，f′(x)＜0，故f(x)在（－2，2）上为减函数；
x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．
∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，
在x＝2处取得极小值f(2)＝c－16，
∴16＋c＝28，c＝12.
此时f(－3)＝21，f(3)＝3，f(2)＝－4，
∴f(x)在[－3，3]上的最小值为f(2)＝－4.(12分)
21．解：(Ⅰ)设M(x0，y0)，圆M的半径为r，
依题意得x0＝c＝r＝|y0|.
将x0＝c代入椭圆方程得：|y0|＝ab2，所以ab2＝c.
又b2＝a2－c2，从而得c2＋ac－a2＝0，两边除以a2得：e2＋e－1＝0，
解得e＝25，因为e∈(0，1)，所以e＝25－1.（6分）
(Ⅱ)因为△ABM是边长为2的正三角形，所以圆M的半径r＝2，M到y轴的距离d＝，
又由(Ⅰ)知：r＝ab2，d＝c，
所以c＝，ab2＝2.
7 又因为a2－b2＝c2，解得a＝3，b2＝2a＝6，所求椭圆方程是9x2＋6y2＝1.（12分）
22．解：(Ⅰ)∵a＝1，∴f(x)＝xex－x(21x＋1)＋2＝xex－21x2－x＋2，
∴f′(x)＝(ex－1)(x＋1)，所以当－1 当x<－1或x>0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－1，0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．(6分) (Ⅱ)由f(x)≥x2－x＋2，得x(ex－2a＋2x)≥0，即要满足ex≥2a＋2x， 当x＝0时，显然成立；当x>0时，即xex≥2a＋2，记g(x)＝xex，则g′(x)＝x2ex（x－1）， 所以易知g(x)的最小值为g(1)＝e，所以2a＋2≤e，得a≤2(e－1)．(12分)
