沪科版-数学-八年级上册-三角形内角和定理及外角性质的应用
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初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 54321三角形内角和定理及外角性质的应用
三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．
三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明．
一、求三角形的内角
例1(太原)在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的度数为( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
解：由三角形内角和定理，得∠A=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°，答案选D．
例2(东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿．
解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°，
∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，
由三角形内角和定理，得
∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D．图1
说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，
所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．
二、判断三角形的形状
例3(陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
解：设三个内角分别为2k，3k，5k，由三角形内角和定理，得
2k+3k+5k=180°．解得k=15°，所以2k=30°，3k=45°，7k=105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C． 初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 CBA21ODAl1l2BC21312CBl2l1ADE21CBDA三、求角平分线的夹角
例4 (沈阳)已知△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为＿＿．
解：如图2，由BO平分∠ABC，得∠1=12∠ABC；
由CO平分∠ACB，得∠2=12∠ACB．
所以∠1+∠2=12(∠ABC +∠ACB)=12(180°-∠A)
=12(180°-60°)=60°．
四、求三角形的外角
例5 (贵州)如图5，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为D，BC与直线l2相交于点C，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．
解：如图6，延长AB交l2于点E．
因为l1∥l2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC=∠3．
由AB⊥l1，得∠3=90°．所以∠BEC=90°．
由三角形外角性质，得∠2=∠BEC+∠1=90°+30°=120°．
图5图6
说明：本题也可延长CB交l1于点F，构造△FBD进行求解，完成请同学们完成．
五、比较角的大小
例5 (凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是() 图2 初中-数学-打印版
初中-数学-打印版 (a∥b)ba122112
A B C D
解：A选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B．
