概率论与数理统计答案 第四章习题

概率论与数理统计练习题

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第四章 随机变量的数字特征（一）

一、选择题：

1．设随机变量X，且()EX存在，则()EX是

[ B ]

（A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数

2．设X的概率密度为910()900xexfxx，则1()9EX

[ C ]

（A）919xxedx （B）919xxedx （C）1 （D）1

3．设是随机变量，()E存在，若23，则()E

[ D ]

（A）()E （B）()3E （C）()2E （D）()233E

{

4．设随机变量X和Y独立且在(0,)上服从均匀分布，则{min(,)}EXY(考研题 2011)

[ C ]

（A）2 （B） （C）3 （D）4

二、填空题：

1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6,0.3,0.1，则()EX

2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)81()22xfxe，则2(21)EX 9

3．设随机变量X的概率分布 ，则2(3)EXX

116/15

4．设随机变量X的密度函数为||1()()2xfxex，则()EX 0

第四章 大数定律与中心极限定理

4.1 设)(xD为退化分布：

0001)(xxxD

讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？

,2,1},01({)3()};1({)2()};({)1(nnxDnxDnxD其中

解：（1）（2）不是；（3）是。

4.2 设分布函数)(xFn如下定义：

nxnxnnnxnxxFn120)(

问)(lim)(xFxFnn是分布函数吗？

解：不是。

4.3设分布函数列)}({xFn弱收敛于分布函数)(xF，且)(xF为连续函数，则)}({xFn在),(上一致收敛于)(xF。

证：对任意的0，取M充分大，使有

MxxFMxxF,)(;,)(1

对上述取定的M，因为)(xF在],[MM上一致连续，故可取它的k分点：

MxxxMxkk121，

使有

kixFxFii1,)()(1，

再令10,kxx，则有

10,)()(1kixFxFii （1）

这时存在N，使得当Nn时有 10,|)()(|kixFxFiin （2）

成立，对任意的),(x，必存在某个)0(kii，使得),(1iixxx，由（2）知当Nn时有

)()()(11iinnxFxFxF （3）

)()()(iinnxFxFxF （4）

由（1），（3），（4）可得

2)()()()()()(11iiinxFxFxFxFxFxF，2)()()()()()(1iiinxFxFxFxFxFxF

即有2)()(xFxFn成立，结论得证。

4.5 设随机变量序列n同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有1)(P。

.

.

.. .. 习题四

1.设随机变量X的分布律为

X 1 0 1

2

P 1/8 1/2 1/8

1/4

求E（X），E（X2），E（2X+3）.

【解】(1) 11111()(1)012;82842EX

(2) 2222211115()(1)012;82844EX

(3) 1(23)2()32342EXEX

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为

X 0 1 2 3 4 5

P 5905100C0.583C 1410905100CC0.340C 2310905100CC0.070C 3210905100CC0.007C 4110905100CC0C 5105100C0C

故 ()0.58300.34010.07020.00730405EX

0.501,

520()[()]iiiDXxEXP

222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.

3.设随机变量X的分布律为

X 1 0 1

P p1 p2 p3

且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.

【解】因1231PPP……①,

又12331()(1)010.1EXPPPPP……②,

概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第四章

4－1 解：()10.2520.430.240.150.052.3EX

4－2 解： 由22()()[()]DXEXEX得

E(X) E(X2) D(X)

X1 50 2501 1

X2 50 2502 2

∵ D(X1)

4－3 解：

X 0 1 2 3

P 0.75 0.2045 0.0409

0.0045

E(X)=0.3003，E(X2)=0.4086，D(X)=0.3184，[D(X)]1/2=0.5643。

4－4 解：

*()11()[()][()()]0()()()XEXEXEEXEXEXEXDXDXDX

2*2222()11()()[()]()[()]()1()()()XEXDXEXEXEXEEXEXDXDXDXDX

4－5 解：

1212211222210220022()()012()()11sin1112sin(1cos)21()()[()]2xEXxfxdxdxxxxEXxfxdxdxdxxxxttdxtdxDXEXEX

4－6 解：

2220200001()()021()[()](0)22222xxxxxxxEXxfxdxxedxDXEXEXxedxxedxxexedxxeedx；

4－7 解：令 1apa，则 111pa，1pap；

10001111()()(1)(1)11(1)()(1)(1)111(1)1(1)11kkkkkkkkkkkaEXkPXkkkppppkpaadddpppppppppdpdpdppddppppdppdpp21(1)(1)1pppapp

222100121112112122221()()(1)[(1)]11(1)(1)(1)()(1)kkkkkkkkkkkkkkkaEXkPXkkppkkkpaadppkkpkpppppkpdpdpppadp22222223(1)12(1)22(1)1dpappdpppppaaaapp