空间向量 ●
高考复习
考点知识汇集
一、空间向量的含义
1、定义：空间中，具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模。
2、规定：①长度为0的向量叫做零向量，记为0
；
②模为1的向量称为单位向量；
③与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量。记为a
④方向相等且模相等的向量称为相等向量。 3、性质：向量具有平移不变性。
二、空间向量的坐标表示
1、空间直角坐标系Oxyz 是过空间定点O （原点）作三条互相垂直的数轴，具有相同的单位长度。
①三条数轴分别称为x 轴(横轴：单位长度i
)、y 轴(纵轴：单位长度j )、z 轴(竖
轴：单位长度k
)，统称为坐标轴；
②由坐标轴确定的平面叫坐标平面。
2、设点P 为空间的一个定点，过点P 分别作垂直于x 、y 、z 轴的平面，依次交x 、y 、z 轴于点M 、Q 、R 。设点M 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标分别为x 、y 、z ，那么就得到与点P 对应惟一确定的有序实数组 z y x ，，。
3、向量P （O 为原点）的坐标记作：
= z y x ，， = k z j y i x
。
4、①点A （x ，y ，z ）：关于x 轴的对称点为（x ，y ，z ）；关于xOy 平面的对称点为（x ，y ，z ）。
②在y 轴上的点设为（0，y ，0）；在平面yOz 中的点设为（0，y ，z ）。 5、若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长度为1，这个基底叫单位正交基底，用
k j i ，，表示。空间中任一向量 z y x k z j y i x a ，，
。
三、空间向量的直角坐标运算公式
设： 321a a a a ，，
， 321b b b b ，，
1、法则
①向量和运算： 332211b a b a b a a b b a ，，
向量差运算： 332211b a b a b a b a ，，
数乘运算： 321a a a a ，，
R
数乘分配律：
b a b a
332211b a b a b a ，，
R
数量积运算、交换律：332211b a b a b a a b b a • •
；
2a = 2
3
2221a a a a a •
b a b a b a
• • •
②不满足乘法结合律：
c
b a
c b a
•• ••
2、共线向量
①含义：空间中，有向线段所在的直线平行或重合，这些向量叫共线向量或平行向量。
②定理：b a
// 存在实数 ，使b a
3
322
11b a b a b a 0321 b b b ③三点共线：A 、B 、C 三点共线
1 v x
④与a
共线的单位向量为a
a
3、共面向量
①定义：一般，能平移到同一平面内的向量叫共面向量。（空间任意的两向量都共面）
②定理：如果两个不共线向量a 、b ，p 与a 、b
共面的条件是：存在实数x 、y ，使
b y a x p
。
③四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面
1 z v x
4、向量垂直
b a
0332211 b a b a b a
四、空间向量的基本定理
1、定理：如果三个向量a 、b 、c
不共面，那么对空间任一向量p ，存在实数组x 、y 、z ，
使c z b y a x p
。
三个向量a 、b 、c 不共面，我们把{a ，b ，c }叫空间的一个基底，a 、b
、c
叫基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
2、推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x 、
v 、z ，使
。
五、空间向量的应用
★设： 111z y x A ，，， 222z y x B ，，；
= 321a a a a ，，
，
= 321b b b b ，，
★垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。每一个平面存在无数个法向量。 1、向量的模长
两点间距离∣∣
=
221221221z z y y x x
2、向量的中点坐标
的中点坐标：
222
212121z z y y x x ，，
3、定比分点公式
=
：则 z y x P ，，坐标为
111212121z z y y x x ，，；
存在 111z z y y x x ，， = z z y y x x 222，， 。 4、向量间夹角
向量间夹角 2
3
22212322213
32211cos b b b a a a b a b a b a b
a b a b a •
••
，
5、空间向量与立体几何
①线线夹角 900， 两线的方向向量1n 、2n
的夹角或夹角的补角：
21cos cos n n
，
②线面夹角 900， ：先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可；
若为钝角，则取其补角：n AP
，cos sin
③面面夹角（二面角） 900， ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量1n
、
2n 的夹角；若两面的法向量同进同出，则二面角等于两法向量1n 、2n
的夹角的补角：
21cos cos n n
，
④点面距离h ：求点 00y x P ，到平面 的距离：在平面 上取一点 y x Q ，，得向量
，
计算平面的法向量n
，接着求h 。（线面距离、面面距离转化为点面距离求）
